ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 2, с. 141-151
УДК 543.544.5;66.021.3;66.061.35
АНАЛИЗ ЦИКЛИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА МНОГОСТУПЕЧАТОГО ПРОТИВОТОЧНОГО МАССООБМЕНА © 2014 г. А. Е. Костанян
Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова РАН, Москва
kost@igic.ras.ru Поступила в редакцию 05.09.2013 г.
На примере жидкостной экстракции проведен теоретический анализ циклического процесса про-тивоточного массообмена в каскаде равновесных ступеней. Каждый цикл процесса состоит из двух стадий: первая стадия — движение потока исходного раствора (фазы рафината); вторая стадия — движение потока экстрагента (фазы экстракта). Впервые получены аналитические зависимости, описывающие профили концентраций в каскаде равновесных ступеней на первой и второй стадиях процесса для каждого цикла и изменение концентраций в выходящих потоках фаз рафината и экстракта. Анализ полученных зависимостей показал, что с увеличением продолжительности циклов сокращается время выхода на квазистационарный режим. Увеличение объема фазы экстракта в аппарате, так же как и увеличение коэффициента распределения, замедляет установление квазистационарного режима. Продолжительность циклов слабо влияет на эффективность процесса. Увеличение объема фазы экстракта в аппарате ведет к резкому увеличению степени извлечения.
DOI: 10.7868/S0040357114020080
ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на большое число выполненных в свое время исследований [1—10] циклического режима противоточного массообмена, характеризуемого циклической подачей потоков контактирующих фаз в чередующейся последовательности в аппарат, этот способ проведения процессов разделения до настоящего времени не нашел широкого применения в промышленности. Фирма Artisan Industries (www.artisanind.com/ps/docs/ps_ handbook.pdf) разработала и выпускала промышленные установки циклической экстракции [11]. Циклический режим подачи фаз был разработан и успешно реализован в промышленных ректификационных колоннах [12].
В последнее время активно исследуется применение циклического режима в процессах жидкость-жидкостной хроматографии [13—26]. Анализ процесса элюентной колоночной хроматографии для циклического и стационарного режимов движения потока подвижной фазы показал, что в циклическом режиме достигается более высокая степень разделения [20—22]. Особый интерес представляют противоточные циклические процессы разделения, которые можно осуществить в центробежных хроматографических аппаратах, представляющих собой каскад камер, расположенных на поверхности цилиндра или дисков, закрепленных на валу центрифуги [13—19] или в системе последовательно соединенных многосту-
пенчатых колонн [22—25]. Эффективность таких устройств оценивается сотнями теоретических ступеней. При этом возможны различные варианты реализации циклических многоступенчатых процессов разделения. Для оценки эффективности и выбора оптимальных режимов работы упомянутых устройств, которые могут быть использованы не только в аналитических целях, но и как высокоэффективные экстракционные аппараты для производства высокочистых веществ в промышленных масштабах [18], необходимо иметь математическое описание проводимого в них процесса массообмена.
Целью настоящей работы является получение аналитических зависимостей, необходимых для расчета циклического процесса многоступенчатого противоточного массообмена, и анализ влияния режимных параметров на эффективность процесса. Результаты анализа могут быть использованы и при разработке циклических процессов разделения в каскаде смесительно-отстойных экстракторов.
МАТЕМАТИЧЕСКОМАЯ МОДЕЛЬ ЦИКЛИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА МНОГОСТУПЕЧАТОГО ПРОТИВОТОЧНОГО МАССООБМЕНА
Рассмотрим циклический процесс противо-точного массообмена в аппарате, состоящем из цепочки ступеней идеального перемешивания,
(а)
хн, Рх
0 1 2 к - 1 к к + 1 п
хп, Рх
(б)
Уo, Ру
у 0 1 2
к 1 к
к + 1
Ру
Рис. 1. Схема модели циклического процесса противоточного массообмена в каскаде равновесных ступеней: (а) — стадия движения потока фазы рафината; (б) — стадия движения потока фазы экстракта.
на примере жидкостной экстракции. Для упрощения принимаем, что в каждой из ступеней достигается равновесное распределение переходящего компонента между фазами, и коэффициент распределения не зависит от концентрации. Процессы разделения веществ в экстракционных колоннах и в аппаратах жидкость-жидкостной хроматографии контролируются в основном двумя явлениями — продольным перемешиванием и межфазным массообменом. Оба эти явления могут быть учтены в используемой в настоящей работе модели теоретических (равновесных) ступеней [18, 19, 26-28].
На рис. 1 показана схема модели циклического процесса противоточного массообмена в каскаде равновесных ступеней. Каждый цикл состоит из двух стадий (полупериодов): 1 — стадия движения потока исходного раствора (фазы ра-фината); 2 — стадия движения потока экстрагента (фазы экстракта). Следует отметить, что такой процесс можно рассматривать как процесс жидкостной хроматографии, в котором подвижная и неподвижная фаза периодически меняются местами и направлением движения. Правда, в отличие от хроматографии проба подается не в виде импульса, а непрерывно с исходным раствором в течение полупериодов его подачи в систему. С учетом принятых допущений и согласно рис. 1 математическая модель процесса может быть представлена следующей системой уравнений: стадия движения потока фазы рафината (рис. 1а):
Ь. ^ + VI ^ = (VX + ту) ^ = р - р (1) N йт N йт N йт 1
у* йхк + Уу йуь = (Ух + туу) йхк
N йт N йт
й ~ Рххк-1 Рххк, (2)
N
к = 1,2,..., п;
стадия движения потока фазы экстракта (рис. 1б):
Ух йх„ + Уу йУп = (у х/т + У у) йу„ =
N йх N йх N йх у
(3)
N йт N йт
= руук+1 - руук, (4)
Ух йхк + Уу й¥к = (у х!т + Уу) йу^
йт N йт
к = п -1,п -2,...,2,1,0.
В уравнениях (1)—(4) приняты следующие обозначения:
х — концентрация в фазе рафината, ху — начальная концентрация в фазе рафината (в потоке питания), у — концентрация в фазе экстракта; т — коэффициент распределения, т = у/х; к — номер ступени (нумерация начинается со стороны входа в систему фазы рафината; ступень входа фазы ра-фината имеет номер ноль, ступень ее выхода из системы — п); N = 1 + п — общее число ступеней в системе (аппарате); ух и уу — объем, занимаемый соответствующей фазой в аппарате; Рх и Ру — объемные расходы фаз; т —время.
Для упрощения математических выкладок принимаем, что каждая стадия циклического процесса начинается со времени т = 0.
Введем безразмерные переменные: х Р
х х — безразмерное время в полупериоде
{х =
движения фазы рафината; Т Р
tУ =
— безразмерное время в полупериоде
движения фазы экстракта;
X = —, У = —--безразмерные концентрации в
х1 х1 фазах.
Перепишем систему уравнений (1)—(4) в новых переменных.
Стадия движения потока фазы рафината:
у
1йХо _ у у
= Х1 - Хо,
а шх
1 йХ
1 йХк = Хк-1 - Хк, к = 1,2,...,п. а (И^
(5)
п
V
у
Стадия движения потока фазы экстракта: 1 ИУп
Ь
= У
(7)
1 ИУ
1 аУ = Ук+1 - Ук; к = п -1,п - 2,...,2,1,0, (8) Ь а1„
где
N , N с о а =-, Ь =-;-= аБт, Б - —.
1 + Бт 1 + 1/(Бт) V,:
Принимаем, что процесс начинается с движения фазы рафината, тогда начальные условия для уравнений (5)—(6) для первого цикла можно записать в виде
^ = 0: X = X = Хк = 0. (9)
Используя результаты работы [29], решение системы уравнений (5)—(6) можно представить в виде
к I
Xц(1„ к) = 1 - е X ^.
г!
г=0
(10)
Зависимость для концентрации в рафинате (на выходе из аппарата) в первом цикле получим, подставляя в уравнение (10) значение к = п
п г
Х(х) = Хц&, п) = 1 - е ^ Х^. (11)
Обозначим длительность первого полупериода каждого цикла
^ =
ТьЛ
длительность второго полупериода каждого цикла
Т2уРу
12у =
. г-к
У1,2(?у, к) = е ~Ь1у XX УлС*, г),
У, 1(11х, г) = X1,1(11 х, г)т.
(13)
Зависимость для концентрации в покидающем в первом цикле систему экстракте получим, подставляя в уравнение (13) значение к = 0
У,(1у) = У,2(?у,0) = е -Ыу X ^ Уд(/1х, г). (14)
г!
Подобно зависимости (12) запишем начальные условия для второго и последующих циклов. Для уравнений (5)—(6):
1Х = 0: Худ(к) = У]-1,2(12у, к)т. (15)
Для уравнений (7)—(8):
1у = 0: У^(к) = Х^, к)т, (16)
где У;-12(12у, к) — распределение концентраций, устанавливающееся в системе в конце второго полупериода предыдущего цикла; Х)д(11х, к) — распределение концентраций, устанавливающееся в системе в конце первого полупериода рассматриваемого цикла j, ] = 2, 3, 4,.... Решением уравнений (5)—(6) и (7)—(8) с соответствующими начальными условиями (15) и (16) получены следующие зависимости:
к I
Х^, к) = 1 - е ^ Х^ +
г=0 !
,(а11х)
к-I
+ е у, 0,
г=0
(к - г)!
(17)
Х)-1,2(12у, г) = У;-1,2(12у, г)/т,
Х; (1Я) = Х)Д(1Я, п) = "<а1х)'
= 1 - е+ еXXХ] О, {Щ
£ г! -=0(п - V ; ,2 2у
У), 2(12у ,к) = е X
где т1х и т2у — длительность полупериодов в реальных единицах времени.
Тогда начальные условия для второго полупериода первого цикла (для уравнений (7)—(8)) можно записать следующим образом:
1у = 0: У^(к) = Ху^, к)т. (12)
Здесь Х11(11х, к) — распределение концентраций, устанавливающееся в системе в конце первого полупериода первого цикла, определяется зависимостью (10) при значении tx = 11х. Решение уравнений (7)—(8) с начальными условиями (12) получено в виде
-Ы2у^Г (Ь12у ^ к У (1 Л
(г - к)! )11х (19)
г=к
У)Д(11„ г) = Х)Д(11„ г)т, У; (1у) = У;,2(1у,0) = е ^ Х^Уд^, г). (20)
г=0
В вышеприведенных зависимостях индексы при концентрациях означают: первый — номер цикла, второй — номер стадии (1 — стадия движения фазы рафината, 2 — стадия движения фазы экстракта).
Уравнения (17) и (19) описывают профили концентраций в аппарате в конце первого и второго полупериодов цикла j. Уравнения (18) и (20) описывают изменение концентраций в выходящих из аппарата в период цикла j потоках фаз ра-фината и экстракта.
Уравнения (17)-(20) вместе с (10)-(11) и (13), (14) представляют полное аналитическое решение математической модели циклического про-
к
V
х
у
цесса противоточного массообмена. Они достаточны для анализа и расчета рассматриваемых массоо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.