ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2013
УДК 621
© 2013 г. Хейло С.В., Глазунов В.А., Кулемкин Ю.В., Эфрос В.Л.
АНАЛИЗ УСКОРЕНИЙ И НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ СФЕРИЧЕСКОГО МЕХАНИЗМА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
Рассмотрен сферический механизм параллельной структуры с тремя степенями свободы. Представлено решение задачи об ускорении и исследование колебаний механизма. Нелинейность определяется геометрией расположения приводов и их взаимным влиянием.
Среди механизмов параллельной структуры сферические манипуляторы занимают важное место [1—5]. Эти механизмы предназначены для осуществления ориентирующих движений. Они применяются в устройствах для ориентирования антенн, телескопов и в кистях роботов. Эти механизмы были темой многих публикаций, в которых рассматривались структура, задача о положениях и скоростях и некоторые вопросы динамического анализа. Однако, не все важные вопросы были рассмотрены ранее. Это касается задачи об ускорениях и задачи анализа нелинейных колебаний. настоящая статья посвящена решению этих вопросов.
При анализе ускорений в настоящей статье применяется подход, основанный на дифференцировании уравнений связей. Этот метод применен в работе [6] при анализе скоростей. При анализе нелинейных колебаний в данной работе учитываются нелинейности, обусловленные геометрией кинематических цепей. На особенность устройств подобного рода впервые обратили внимание В.О. Кононенко и Р.Ф. Ганиев [7]. В применяемом подходе рассматриваются инерционные характеристики выходного звена и упругие обобщенные силы, действующие в приводах механизма.
В рассматриваемом сферическом механизме с пятью кинематическими парами в каждой цепи (рис. 1) каждое входное звено соединено с двигателем. Выходное звено представляет собой платформу, которая вращается вокруг трех осей, пересекающихся в точке O. Выходными координатами являются углы поворота платформы а, в, у вокруг осей, взаимные расположения которых описываются фиктивной кинематической цепью (рис. 2). Обобщенными координатами являются углы ф11, ф21, ф31 — соответственно углы поворота входных звеньев первой, второй и третьей кинематических цепей. В каждой из трех кинематических цепей имеются два шарнира с пересекающимися осями и три шарнира с параллельными осями.
Выходному звену механизмы поставим в соответствие подвижную систему координат Ç, n, Z, оси которой расположены по главным центральным осям инерции этого звена. Отметим, что при нулевых значениях углов ориентации (а = в = у = 0) направление осей Ç, n, Z совпадают с направлениями осей соответственно x, y, z.
Кроме того, в данном случае одна кинематическая пара e'i2 , входящая в эквивалентный сферический механизм (рис. 3), заменяет три вращательные пары ea, ei3, ei4, которые входят в исходный механизм. Отметим, что при нулевых углах ориентации имеет
Рис. 1
место соотношение ea = e'i2 = ei5. Для остальных кинематических цепей имеются аналогичные соотношения.
Рассмотрим задачу об ускорениях, которая может иметь значение при анализе динамики механизма. Уравнения связей для сферического механизма с тремя кинематическими цепями можно представить следующей системой уравнений [8]:
r . cos a sin y sin В - cos y sin а n
F1 = tg Фи +-1-H ,, '- = °
cosa cos в
F2
sin в
cosycosв
- tgФ21 = 0,
F = c os y sin в sin а - c os а sin y + tg ф = o 3 cos a cos y + sin а sin в sin y 31
Дифференцируя эти выражения по получаем систему уравнений, связывающих скорости входных и выходных звеньев
Y
e11 = e32 = e23
е11 = e32 = e23
21 12 e31
Рис. 2
Рис. 3
-Р1 ■ дР1п - Рь ЗР1 . —1 а + —1 в + —^у + —- (рп = 0, —
За -р Зу Зрп За
ЗР9. ЗР2 ■ ЗF^ 2а + 2° ' 2
зр
в + — У + —1Ф21 = 0,
ЗР Зу ЗФ21
ЗР3 . зр, ■ ЗР3 зР3 . — (X + —-3 в + —3 у + —3 Ф31 = 0.
За Зр Зу Зр31
Дифференцируя эти выражения второй раз по ?, получаем уравнения связывающие ускорения входных и выходных звеньев
^з2р,.
з2р л з2р
- а +
-ТТ Р +
у + -
з2р
За2 ЗаЗр ЗаЗу ЗаЗр(1
З Р ,.. ■р.-, |а + — а +
111 За
' З2Р
З2Р
З2Р
З Р
- а +
- Р + У + -^-г-т- Фп|Р +
ЗаЗр зр2 ЗрЗу ЗрЗфг1
З РР
+ —- В + Зв
' з2 Р
^з2р,
-а +
З2Р
-Р
З2Р
- Р + —-У +
Заду ЗрЗу Зу2 -У-Фп
ЗР... Фп|У + д- У +
-а + -
д2Р
д2Р
З2Р.
ЗаЗФп зрзФп ЗУЗФ(1 дФ;1 ) ЗФ,-1
ЗР
После упрощения получаем уравнение ускорений
2 2 2 2 2 2 2 З Р . 2 З Р1 • З Р . . З Р . З Р ■ 2 З Р • . З Р. •. 1 а + 2-—-1- ар + 2-—-1 ау + 2 - 1 а,Фп + —- р + 2—- (Зу + 2 1 рФп +
За
Задр
Заду
ЗадФп
Зр
Зрду
ЗрдФ.
+2
2 2 2 З Р1 . . З Р1. 2 З Р1 . ЗР1.. ЗР1 - ЗР1.. ЗР1
-у-Ф.
-У Фа + —т У + —г Фа + т— а + ----- р + -т- У + Ф-
ЗУ ЗФя Эти уравнения можно записать в виде
ЗР1
За
Зр Зу Зфп
- Ф11 =
ЗФ11 За
22 З2Р1 .2 „ З2Р1 Л
а + 2
2 ЗаЗр
(х р + 2
2 2 2 2 2 З Р1 . . З Р1 • 2 З Р1 • . З Р1 . 2 З Р1 .
Заду
ау + ■
Зр2
1 р + 2-- ру +
н Зрду
Зу
- У +
ЗФ11
Ф11 +
ЗР, ЗР " ЗР ..
+ -1 (X + —1 р + —1 у,
За Зр Зу
2 2 2 2
ЗР' .. З Р2-2 З Р'-. З Р',2 З Р' . ЗР';- ЗР'..
ЗГ"2 Ф21 = —2 р + рУ + —г У + —г Ф21 + р + -тт У,
ЗФ21 Зр2 ЗрЗУ ду2 Зф21 Зр Зу
22 ЗР3 .. З Р3. 2 „ З Р3 . • „ ЗТ2 Ф-1 = —Г <* + 2ЗЗ-З- <* р + 2 ЗФ-1 За2 Задр
ЗР. ЗР3 " ЗР3 ..
+ —3 (X + —3 р + —3 у.
За Зр Зу
2 2 2 2 2 З Р3 . . З Р3 ■ 2 З Р3 • . З Р3 . 2 З Р3 .
ЗаЗуа * + ^ р+ 2д-рзГур * + ТТ- З-Т3 Ф-1 +
Зу
ЗФ31
Приведем численный пример. Зададим закон движения выходного звена: а = 0,706?2 - 0,Ш3; р = 0,706?2 - 0,Ш3; у = 0,706?2 - 0,Ш3. Этому закону движения
+
+
ф/1
Рис. 4
соответствуют значения ускорений в приводах (рис. 4: 1 — первой цепи, 2 — второй, 3 — третьей цепи).
Перейдем к анализу нелинейных колебаний исследуемого механизма. Нелинейность механической системы обусловлена ее геометрией и взаимосвязанностью приводов. Уравнение движения сферического механизма с тремя степенями свободы имеет вид
Зф
Зф
^ф ^ = + М2——21 + М3
дФз
Зф^ Зф^ 3—^
/ф _ = М\
дф11 + м ^ + М
.1 Зфс
•Зфп
зф31
' д ф п
■pp пф е( /- /п),
■ф¡;фс(/ - /с),
/.фс = мх^ + М2З2 + Мз^ + ф^фп(/п - ,
моменты в
Зф^ Зф^
где / = /п, / — моменты инерции относительно осей п, С; М2, М3
приводах; зф' — переменные коэффициенты; ф^, <ф^, фп , <фп , ф^, ф^ — проекции
ускорений и скоростей на оси п, С.
Переменные коэффициенты можно определить из уравнений прямой задачи о скоростях методом винтового исчисления [9, 10]. При этом требуется найти силовой
„ , 0 0 0 „ „ , винт К; с координатами (г¡х, гуу, г%, г/Х , г/у , г¡г), взаимный двум ортам осей ва , ей неприводных пар. В данном случае кинематическая пара е'2 , входящая в эквивалентный механизм (рис. 3), заменяет три пары ва, еа, е4 исходного механизма.
Кинематический винт выходного звена равен сумме кинематических винтов в парах цепи Д-- = Дд + Д-2 + Д-3, где Д-- — кинематический винт выходного звена с ко-
ординатами (Ух, V V юх, юу, юг), в данном случае Ух = Уу = Уг = 0; Дп, Д-2, Д
3
кинематические винты первой, второй, третьей кинематических пар с коор-
0 0 0 0 0 0 Динатами, соответственно, (X¡1, У-1, Z¡1, Хц , Уц , £ 1 (Ха., У¡2, Z¡2, Х2 , У/2 , £¡2 )Ю¡2,
000 С^ У¡з, z¡з, Хз, У/з, £¡3 )юо.
Можно записать, что относительный момент двух винтов равен шош(И,, Д,) = шош(И,, Д,1 + И,, Д/2 + И,, Д/3).
Так как силовой винт взаимен ортам неприводных пар, то относительные моменты mom(R,., П,2) = 0, mom(R,., П,3) = 0. Таким образом, mom(R,., П) = mom(R,., П(1). Подставив значения координат силовых и кинематических винтов, получим уравнения относительных моментов
mom(R;-, П) = ю^ + ю^ + ю^, mom(R, = an(xnr°x + yar\y + znr°nz),
где (x;1, jf1, Zn) — плюккеровы координаты единичных векторов е;1, расположенных
о о
вдоль осей приводных пар; rt — моментная часть силового винта с координатами r1x ,
оо
r1 y , r1 z .
Система уравнений для трех кинематических цепей имеет вид
о о о о о о
®i;r1i; + ®пГ1п + Ю r1C = ®11(X11 Г1х + УиГ1 y + Zl1r11z),
о о о о о о
^r2i; + ®nr2n + ®Cr2 С = ®21 (x21r2x + У21 r2y + *21r2z),
о о о о о о
+ ®nr3n + ®Cr3 С = Ю31(x31r3x + У31 r3y + Z31r3z),
ооо
где — ю^, юп, — угловые скорости выходного звена вокруг осей q, n, Z; , г1ц , r^ — координаты моментной части .-го силового винта.
Тогда переменные коэффициенты, стоящие перед значениями моментов M, можно определить следующим образом:
д<Р11
ю1
ю
5
Ге
1x
дР1 1 5фл
ю1
г_1Л
дФз 1 5фл
ю3
о
^ = 0,
о
r3z
д<3 1
5фс
ю3
ю
С
r2Z
'3z
Остальные коэффициенты имеют сходный вид.
Координаты ортов второй (х12, у12,г12) и третьей (х13, у13, г13) пар первой цепи в неподвижной системе координат рассчитываются следующим образом. Для второй пары координаты ортов определяются произведением матрицы поворота вокруг оси х на координаты второй пары в ее начальном положении
(
\
(
\( \
(
\
x12 1 0 0 0 0
У12 = 0 cos ф11 - sin ф11 1 = cos ф11
V z12 ) V 0 sin ф11 cos ф11 V 0 ) V sin ф11 )
о
о
о
r
x
Координаты ортов третьей пары первой цепи определяются произведением матрицы А, описывающей переход от подвижной координатной системы к неподвижной, на координаты указанного орта в ее начальном положении
^ Л ^ Л ^ Л
x13 = (A) 0 sin a sin у + cos a cos у sin в
У13 0 = cos y sin a sin в - cos a sin у
V z13 ) v 1 ) v cosвcosy )
Матрица А имеет вид А = А3А2А^ где А1 — матрица поворота вокруг оси х; А2 — матрица поворота вокруг оси у; А3 — матрица поворота вокруг оси г.
Для второй цепи координаты ортов второй и третьей пар равны
( л ( V л ( л
х22 008 Ф21 О 81п ф21 О 8Ш ф21
У22 = О 1 О О = О
Ч ¿22 V Ф21 О 008ф21 ) V 1 ) V 81п ф21 )
( л ( л ( ^
х13 1 008 а 008 в
У13 = (4) О = 008 в 81п а
Ч ¿13 > v О ) V - 81п в )
Для третьей цепи координаты ортов второй и третьей пар равны
( л ( V л ( л
х32 008 ф31 - -81п ф31 О 1 008 ф31
У32 = 81п ф31 008 ф31 О О = 81п ф31
V ¿32 > V О О 1) V О ) V о )
( л ( л ( л
х33 (4) О 008 а 81п в 81пу - 008у 81п а
У33 = 1 = 008а 008у + 81п а 81п в 81пу
V ¿33 > V О ) ч -008в 81пу )
Координаты ортов вторых пар первой, второй и третьей цепей в подвижной системе координат определяются матрицей А-1, обратной матрице А
"^12 "п 12 ^ еС12 У
(4)
( \
х12 У12 V ¿12 ^
8Шу 008 в 008ф11 - 8Ш в 8Шф11 008
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.