ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2015, том 41, № 4, с. 386-390
НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
УДК 533.951.8
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОРОДНОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЫ © 2015 г. В. Ю. Захаров, Т. Г. Чернова, С. Е. Степанов
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Калужский филиал, Калуга, Россия e-mail: vladiyuz@mail.ru, chernova-tg@yandex.ru, stepanov@bmstu-kaluga.ru Поступила в редакцию 10.06.2014 г.
Рассматриваются волны малой амплитуды в бесстолкновительной замагниченной плазме в рамках одножидкостной анизотропной магнитной гидродинамики, учитывающей анизотропию давления и теплового потока. Анализируется устойчивость однородного состояния плазмы на основе дисперсионного уравнения 8-й степени. Получены ограничения на параметры однородного состояния, при которых дисперсионное уравнение не имеет комплексных корней при любом значении угла между волновым вектором и невозмущенным магнитным полем. Используемый метод позволяет также определять типы волн, приводящие к неустойчивости.
DOI: 10.7868/S0367292115030075
1. ВВЕДЕНИЕ
Помимо кинетического описания бесстолкновительной плазмы, находящейся в сильном магнитном поле, существуют учитывающие анизотропию магнитогидродинамические модели (см., например, [1—6]), в рамках которых изучаются различные свойства околоземной плазмы, плазмы солнечного ветра и солнечной короны. В сильном магнитном поле ларморовский радиус заряженных частиц является эффективной длиной свободного пробега, а циклотронная частота вращения играет роль эффективной частоты столкновений. Анализ МГД-моделей обычно начинается с изучения малых возмущений однородного состояния, получения соответствующего дисперсионного уравнения и определения критериев устойчивости. В рамках известной модели Чу—Голдбергера—Лоу [1] было изучено дисперсионное уравнение, найдены критерии возникновения шланговой и зеркальной неустойчивости. Однако найденный критерий зеркальной неустойчивости не совпал с аналогичным критерием, полученным в кинетической теории [7]. С использованием более общей системы уравнений анизотропной магнитной гидродинамики (так называемое 16-ти моментное приближение), учитывающей тепловые потоки энергии вдоль и поперек магнитного поля, волны малой амплитуды без учета эффектов конечности ларморовского радиуса изучались в работах [4, 8—10]. В [4, 10] дисперсионное уравнение изучалось численно, рассматривались некоторые частные случаи, был отмечен факт влияния тепловых потоков на устойчивость. В [8, 10] получен точный критерий зеркальной неустойчивости, совпадающий с ки-
нетическим. Учет конечности ларморовского радиуса в кинетическом приближении приводит к изменению границы зеркальной неустойчивости (см., например, [11, 12]).
В настоящей работе найдены условия на невозмущенные параметры, при которых дисперсионное уравнение не имеет комплексных корней, и поэтому однородное состояние является устойчивым. Применяемая процедура позволяет также определять типы неустойчивых волн в случае потери устойчивости.
2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
Рассматриваются малые возмущения однородного состояния анизотропной плазмы в рамках следующей системы магнитогидродинамиче-ских уравнений [4, 6, 8—10]:
— + рУ- V = 0,
IИ
р dv + V f pi + B
dt { 8n
■4-(b-V)B = 4n
= (p±_p )[h (V-h ) + (h • V)h] + + h(h -V)(p±-p),
d P\\B = _ b2 dt р3 р3
S \
B (h-V)IB J + B
±P± = _ B (h-V)f ^ dt р B р \B
S(h • V)B
ASBl = _ 3pBl (h. v)i ph dt p4 p4
.2л _. pi О _ B2
dSi dt p2
pi ■p2 L
dB
dt
(h-V)i pi1+pi (hV)B
. л p J p pB V ' .
+ B (V- v)-(B • V)v = 0, VB = 0,
где р, V, p1, — плотность, вектор макро-
скопической скорости, продольное и поперечное давления плазмы, потоки вдоль магнитного поля В продольной и поперечной частей кинетической энергии, Ь = В/В.
3. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ И АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
В рамках системы (1) в работах [4, 8, 10] рассматривались малые возмущения однородного состояния плазмы и было получено в той или иной форме дисперсионное уравнение 10-й степени для фазовой скорости линейной волны, состоящее из двух множителей. Первый множитель второй степени определяет корни
(~) = 11 В~ + Pl - Pll I, соответствующие скоро-Ш р^4п )
сти альфвеновской волны в анизотропной плазме. Второй множитель 8-й степени дает скорости четырех типов волн, названных в зависимости от величины скорости волнами типа Л* (медленная), 1Ь, 1а (промежуточные типа Ь и а), Г (быстрая) [4]. Для чисто поперечного, по отношению к направлению магнитного поля, распространения волн однородное состояние всегда устойчиво, скорости волн Л, 1Ь, 1а оказываются нулевыми. Характер корней волн типа Л, 1Ь, 1а, Г для произвольного угла между волновым вектором и невозмущенным магнитным полем численно изучался в [4] при различных фиксированных значениях невозмущенных параметров, был отмечен факт влияния тепловых потоков на устойчивость. В работе [8] для случая отсутствия тепловых потоков в невозмущенном состоянии (Л|| = ^ = 0) получен точный МГД-критерий зеркальной неустойчивости, совпадающий с критерием, следующим из кинетической теории.
Рассмотрим дисперсионное уравнение 8-й степени [10]
XC„ (а,в,у,l)Vn = 0,
n=0
V =
ю
кпСп
к« = к • cos0,
,2 = Р\\
l = cos2 0, а = —, в =
p,, 4np„
Y = -SL = Ak., c0 = 3 (2s + r),
PiCII picll (2)
C =-4y(3s + r), C2 = 2s(2 - 5) + 3(l - 3r), C3 = 4y(s + r -1), C4 = 2s + 7r - 9l, C 5 = 4yI, C 6 = 7l - r, C7 = 0,
C8 =-l, s = а2 (1 -l), r = l -р-а(2 -l).
Здесь 6 — угол между волновым вектором k и невозмущенным магнитным полем B, причем в данной записи дисперсионного уравнения простой случай поперечного распространения волн (6 = п/2) не включен. Уравнение (2) является некоторым упрощением общего случая, так как в нем предполагается равенство безразмерных тепловых потоков. В [10] рассматривались продольное распространение волн при 6 = 0, а также анализировались корни уравнения при некоторых фиксированных значениях невозмущенных параметров а, в, y, 6. Для изучения характера корней дисперсионного уравнения (2) при произвольном значении угла 6 применим метод, предложенный в [8]. Перепишем уравнение (2) в виде
f (V) - tg20 • g(V) = 0, (3)
где
/ (V) = (V2 - 1)(У2 - У1)!Х(У), /(V) = V4 - 6У2 - 4YУ + 3,
8(У) = а2[/! (V)(2о(У2 -1) +1) + + (V2 + 2YУ - 1)(V2 + 2YУ - 3)],
т^2 / , о 1\ в + 2а
Уа =(а + в-1), о = 2 .
2а
В общем случае уравнение (3) определяет восемь корней, соответствующих четырем типам линейных волн Л, 1Ь, 1а, Г Вещественность величины УА, характеризующей альфвеновскую скорость в анизотропном случае, гарантируется неравенством
а + р> 1, (4)
или в размерном виде
В 2
Р|| ^ Рм = Р±+ —. (5)
4п
Нарушение неравенства (5) приводит к возникновению шланговой неустойчивости. Ограничение снизу на Р|| можно получить, рассмотрев случай отсутствия тепловых потоков.
8
f, gh отн. ед.
Рис. 1. Расположение положительных корней дисперсионного уравнения для случая у = 0. Кривая 1 — функция /(V); кривая 2а — g1(V) = в случае
^(0) < 0; 2б — g1( V) в случае g(0) > 0.
3.1. Случай у = 0
При отсутствии тепловых потоков и ограничении (4) функция/(V) имеет восемь вещественных симметричных корней ±У1, ±К2, ±К3, ±УА
V1
1, V2,3 = V3 ± V6, VA =yla + в _ 1,
причем V < V! < К3. Значение УА может располагаться произвольно по отношению к значениям Уъ У3. Легко проверяются знаки функции g(V) в корнях функции /(V)
g(к2)> 0, g(V )< 0, g(Кз)> 0.
На рис. 1 схематично изображены графики функций /(V) и g1(V) = g(V)tg29 для случая V> 0, когда альфвеновский корень является меньшим среди корней/(V). Точки пересечения графиков соответствуют корням дисперсионного уравнения. Нетрудно видеть, что для случая g (0) > 0 при достаточно больших значениях tg29 два меньших по модулю корня (для волны типа становятся комплексными, и дисперсионное уравнение (3) будет иметь только шесть вещественных корней. В случае g (0) < 0 графики (1) и (2а) всегда будут иметь восемь общих точек при любом положении альфвеновского корня относительно других корней /(V) (на оси Vвыделены промежутки, в которых находятся положительные корни дисперсионного уравнения (3) при любом значении угла 9). Таким образом, при отсутствии тепловых потоков условие g(0) < 0, или
В + 2а . , а = ^—— > 1
2а2
(6)
гарантирует устойчивость однородного состояния относительно малых возмущений. В размерном виде неравенство (6)
Pll > Рц
2 Р1
2 + B1 2 Р 1+~Т 4п
(7)
определяет точную границу зеркальной неустойчивости, совпадающую с вытекающей из кинетической теории [7]. Условие наличия у функции g(V) шести вещественных корней является необходимым условием устойчивости, но не достаточным [8]. Чтобы получить необходимые и достаточные условия устойчивости однородного состояния, нужно знать взаимное расположение корней функций/(V) и g(V) и знаки одной из них в корнях другой.
В дальнейшем будем считать, что одновременно выполняются неравенства (4), (6), или в размерном виде
2 pi < < + B2
„ 2 < Рц < Рм = Рi + —. B2 11 4п
(8)
2 Р1 +
4п
3.2. Случай у ^ 0
Так как при tg29 = 0 корни дисперсионного уравнения (3) совпадают с корнями функции /(V), сначала определим возможные значения безразмерного теплового потока у, при которых /(V) имеет восемь вещественных корней. Ненулевые значения у влияют на корни функции /1(У) = V — 6^ — 4уУ + 3. Из системы уравнений /1(У) = 0,
/[(У) = 0 нетрудно найти предельное значение
7* = л/2/2—2 - 0.910, при котором график /1(У) касается оси V, а при |у| > Y* функция/1(^ имеет только два вещественных корня одного знака и, следовательно, дисперсионное уравнение (3) имеет только шесть вещественных корней. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только значения безразмерного теплового потока, удовлетворяющие неравенству
<
0.910.
(9)
С помощью MAPLE несложно проверить, что функция g(V) на промежутке —0.73 < y < y* всегда имеет шесть вещественных корней при а > 1. При небольших а в промежутке —y* < Y < —0.73 появляются комплексные корни; с увеличением а корни опять становятся вещественными.
Несмотря на то, что при ненулевом значении y абсолютные величины скоростей S, Ib, Ia, Fвдоль направления магнитного поля и в обратном направлении различны, можн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.