ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2010, том 36, № 11, с. 869-880
УДК 521.13
АНАЛОГ ПОВЕРХНОСТЕЙ НУЛЕВОЙ СКОРОСТИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ, ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ
ЗАДАЧАХ ТРЕХ ТЕЛ
© 2010 г. Л. Г. Лукьянов*
Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва
Поступила в редакцию 29.01.2010 г.
В некруговой ограниченной задаче трех тел построены поверхности минимальной энергии, являющиеся обобщением поверхностей нулевой скорости, известных в круговой задаче. Установлены критерии устойчивости, условной устойчивости и неустойчивости по Хиллу. Рассмотрены некоторые астрономические приложения полученных результатов.
Ключевые слова: небесная механика, ограниченная некруговая задача трех тел, поверхности минимальной энергии, устойчивость по Хиллу.
ВВЕДЕНИЕ
В ограниченной круговой задаче трех тел Яко-би (1836) установил существование первого интеграла, ныне носящего его имя. Используя интеграл Якоби, Хилл (1878) при построении теории движения Луны рассмотрел поверхности нулевой скорости, ограничивающие области возможности движений тела малой массы. В честь первого исследователя эти поверхности называются также поверхностями Хилла. Благодаря введению понятия поверхностей Хилла существенно продвинулось качественное изучение ограниченной круговой задачи трех тел. Эти поверхности нашли широкие приложения в астрономии, небесной механике и астродинамике.
Построение поверхностей нулевой скорости в ограниченной некруговой задаче трех тел невозможно, так как в этой задаче не существует интеграл Якоби. Предпринимались попытки приближенного построения поверхностей нулевой скорости в эллиптической задаче, в результате которых было показано, что поверхности нулевой скорости для круговой задачи можно приближенно использовать в эллиптической задаче, но на малом интервале времени и для малых значений эксцентриситета.
В работе Себехея и Джакальи (1964) для плоской эллиптической задачи трех тел указана возможность приближенного построения кривых нулевой скорости на ничтожно малом интервале времени в окрестности прохождения основных тел через перицентры их орбит.
Хотя в ограниченной эллиптической задаче трех тел интеграла Якоби не существует, известен квазиинтеграл Якоби — интегральное инвариантное соотношение. С помощью этого соотношения для эллиптической задачи в работе Лукьянова (2005) получен закон сохранения энергии, содержащий одну неизвестную функцию, и построены видоизменяющиеся области возможности движений и ограничивающие их поверхности. На этих поверхностях принимает минимально возможное значение левая часть инвариантного соотношения, имеющая смысл некоторой энергии тела малой массы (в том числе обращается в нуль относительная скорость движения малого тела). Эти поверхности названы поверхностями минимальной энергии. При обращении в нуль эксцентриситета орбит основных тел эти поверхности преобразуются в поверхности нулевой скорости для ограниченной круговой задачи.
В настоящей работе рассматриваются параболическая и гиперболическая ограниченные задачи трех тел, а также некоторые дополнения и уточнения в эллиптической задаче. Рассматриваются возможные астрономические приложения полученных результатов.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Дифференциальные уравнения, описывающие движения малого тела М во вращающейся и пульсирующей системе координат хуг, имеют вид (Ду-бошин, 1964)
Электронный адрес: luka@sai.msu.ru
х
2 ' - —
дх'
у
,, ,
" + 2х' = —,
ду
где
Q = р
1,2 2 2 \ - (х + у — ez cos v) +
+ p3
1 -li
Г\ г2
1
1 + e cos v
ri = л/ (ж - xi)2 + у2 + z2
Г2 = у (ж - Ж2)2 + у2 + -г2,
/ = m2/(mi + m2), 1 — / = mi/(mi + m2) — относительные массы основных тел, xi = —p/, x2 = p(1 — /) — их абсциссы, e и p — эксцентриситет и фокальный параметр их относительной орбиты, Q — функция Якоби. Штрих означает дифференцирование по истинной аномалии основных тел v, которая выбрана в качестве независимой переменной. Диапазон изменения истинной аномалии предполагается равным —va < v < va, va > 0, где va = п — для эллиптической и параболической ограниченных задач трех тел и va = arccos(—1/e) — для гиперболической задачи.
Движения основных тел Mi и M2 считаются кеплеровскими:
p
Г12 = -г-- = РР,
1 + e cos v
г12у = с = \/ ¡р(гп1 + т2), где г 12 — расстояние между основными телами.
Силовая функция притяжения основных тел представляется в виде
1 — ^
U = i^ + l^ = f(mi + m2)
ri
r2
ri
+
Е
r2
При е = 0 уравнения (1) определяют движение малого тела в ограниченной круговой задаче, которая допускает существование интеграла Якоби
V 2
— - п = Л-о,
где Н0 = V0'/2 — О0 — постоянная интеграла Яко-би.
Попытка отыскания в ограниченной некруговой задаче трех тел интеграла, аналогичного интегралу Якоби, не приводит к положительному результату, так как функция О зависит явно от V. Действительно, умножая уравнения в системе (1) соответственно на х', у', г', складывая и интегрируя по истинной аномалии основных тел V в пределах от v0 до V, получим
Y1 2
V 2 V0
где V2 = х'2 + у'2 + г'2 V2 = (V2)^ .
Подынтегральное выражение в (2) при е = 0 не является полным дифференциалом. Поэтому уравнение (2) не будет первым интегралом. Его следует рассматривать как интегральное инвариантное соотношение, т. е. как квазиинтеграл. Добавляя и вычитая из подынтегральной функции частную производную дО/дv, выделяя полный дифференциал функции О и интегрируя, из (2) получим другой вид инвариантного соотношения:
2 2
дП
dv
dv.
(3)
vo
Вычисляя частную производную dQ/dv в явном виде
dQ
e sin v
dv (1 + e cos v)2 Ux' + y' + z^+p^1-^ ■ ^
ri
+ r2
и подставляя ее в (3), получим
Yl
2
V2
-Q = —— Q0 -2
e sin v
vo
(1 + e cos v)2
Wdv,
где обозначено
w = x2 + y2 + z2 +P3 + E 2 V ri Г2
Если, кроме того, сделать замену переменной интегрирования, переходя от истинной аномалии v к величине р =1/(1 + e cos v) = ri2/p, численно равной безразмерному расстоянию между основными телами, то квазиинтеграл можно записать в виде
p
V2 V2 Г
— - Q = / Wdp. (4)
2
2
po
dQ , дQ , дQ , . , ...
lTxX+lfyy+lfZZ^ (2)
Для вычисления интеграла в правой части инвариантного соотношения (4), необходимо знать явные зависимости координат х, у, г от истинной аномалии V. Если такие зависимости задать каким-либо частным решением уравнений (1), то соотношение (4) сводится к квадратуре, которая выполняется только вдоль траектории, соответствующей этому частному решению. Для другого частного решения получим другую квадратуру с другой функциональной зависимостью.
Если предположить, что известно общее решение уравнений (1) в виде явных функций времени и шести произвольных постоянных, то, подставляя
р
v
х
v
v
2
это общее решение в подынтегральную функцию и выполняя квадратуру, получим
дП
ду
¿у = и (у) — и (у0)
(5)
ьо
где и(у) — неизвестная первообразная функция. Используя (5), квазиинтеграл (4) представим в виде
V 2
—--П + и (у) = к,
(6)
где Н = У?/2 — По + и (уо) — постоянная энергии, которая зависит от неизвестной функции и(у0) и вместе с ней принимает различные значения на разных траекториях движения.
Два первых слагаемых в левой части уравнения (6) имеют вид, аналогичный левой части интеграла Якоби в круговой задаче. Их иногда называют энергией тела М (хотя с точки зрения теоретической механики они энергией не являются). Общепринятого названия для этой энергии не существует. В монографии Роя (1981) эта энергия называется относительной. По-видимому, лучше называть сумму этих членов энергией по Якоби или якобиевой энергией в честь ее первооткрывателя и исследователя. Третий член и(у) определяет дополнительную энергию тела М, получаемую или отдаваемую им основным телам при их движении по эллиптическим, гиперболическим или параболическим орбитам. Энергия основных тел в соответствии с законом сохранения общей энергии всей системы также изменяется, но в силу предположения об ограниченности задачи это изменение ничтожно мало и на движения основных тел не влияет.
Уравнение (6) в некруговой ограниченной задаче трех тел представляет собой закон сохранения энергии тела М, который можно сформулировать в следующем виде. Полная энергия тела М, состоящая из якобиевой V2/2 — П и дополнительной энергии и(у), есть величина постоянная, которая зависит от начальных значений координат и скоростей тела М, т.е. от шести независимых произвольных постоянных. На каждой траектории выполняется закон сохранения энергии. Величину Н можно рассматривать как постоянную энергии, имеющую свое конкретное значение на каждой траектории. При е = 0 соотношение (6) преобразуется в интеграл Якоби.
Можно установить некоторые общие свойства функции и(у). Из четности функции р(—у) = р(у) сразу следует четность функции и(у): р(ь) р(ь) и(у) — и(—у) = ! Шйр = J Шйр = 0.
Так как по определению Ш > 0, то дополнительная энергия и(у) монотонно возрастает при удалении основных тел от перицентра, и тогда тело М получает дополнительную энергию от основных тел. При движении в обратном направлении в сторону перицентра дополнительная энергия убывает, а тело М отдает энергию основным телам. Следовательно, при 0 <|у| < уа выполняются неравенства
и(0) < и(1у\) <и(уа). (7)
Для эллиптической ограниченной задачи, кроме того, можно установить периодичность функции и(у). Действительно, так как р(у + 27г) = р(у), из уравнений
ь+2п р(ь+2ж)
и(у + 2-71") — и(Уо) = У = J УУйр =
ьо ро
р(ь) V
= У \¥йр = J —с1у = и(у) — и(уо)
ро ьо
вытекает 2^-периодичность: и(у + 27г) = и(у).
Якобиева энергия достигает максимального и минимального значений соответственно в перицентре и в наиболее удаленной точке орбит основных тел, так что всегда выполняются неравенства
2
— Па <
V2 К2
- п < -2- -
2
2
где индекс р соответствует перицентру, а индекс "а" — апоцентру эллиптической орбиты основных тел или бесконечно удаленной точке параболической и гиперболической орбит.
Функция Ш непрерывна в любой замкнутой области и ограничена снизу, Ш > 0, поэтому существует минимум этой функции. Необходимые условия экстремума функции Ш записываются в виде
(Ш дх
31 — V / л
X — р -о— (X + р/Л) —
и
— р^т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.