ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 5, с. 526-533
йх
п-1
йг
— Хп-1 (Кп-1 1) ■
УДК 541.123
АНАЛОГИ ЕДИНИЧНЫХ К- И а-МНОГООБРАЗИЙ ПРИ РЕКТИФИКАЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ © 2013 г. П. О. Мавлеткулова, Т. В. Челюскина, Л. А. Серафимов
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова
eleven-thirteen@mail.ru Поступила в редакцию 24.04.2013 г.
Рассмотрены различные аналоги единичных К- и а-многообразий для динамических систем периодической дистилляции и непрерывной ректификации при бесконечных и минимальных флегмо-вых числах. Указанные аналоги формируют, наряду с особыми точками, структуру фазовых портретов рассмотренных динамических систем.
Б01: 10.7868/80040357113050084
ВВЕДЕНИЕ
При исследовании динамических систем открытого равновесного испарения многокомпонентных смесей математическая модель процесса имеет вид [1]
йх йг
т.е. мгновенное изменение вектора состава жидкой смеси в зависимости от скалярного параметра t равно равновесной ноде жидкость—пар. Иными словами, равновесная нода жидкость—пар является мгновенной скоростью исследуемого процесса. Параметр t носит характер условного времени и равен 1пт, где т — количество жидкости в кипятильнике. Таким образом, при реализации открытого равновесного испарения уходящий из кипятильника пар в каждое мгновение термодинамически равновесен жидкости, которая находится в кипятильнике. Уравнение (1) при компонентном анализе можно развернуть в систему уравнений, которая имеет вид
йх1
йг йх2 йг
у - X
(1)
Л - хь
У2 - Х2,
йх3
й=У3 - Х3'
(2)
йх
П—1 — V — х
- У п-1 Хп-1 ■
йг
Систему уравнений (2) можно представить в виде
^ = Х1 (К -1), йг
йХ2 = х2(К2 -1), йг 2
йх3 ,„ (3)
йг
= Х3(К3 -1),
Величина К; является коэффициентом равновесного распределения компонента i между жидкой и паровой фазами. Динамическая система (3) реализует особые точки, если все К = 1. В этом случае, так как правые части уравнений равны нулю, параметр t стремится к —да, а все х; к постоянным величинам.
Возможны также случаи, когда часть х; равна нулю, а часть К равна единице. При этом особая точка лежит на границе концентрационного симплекса, т.е. находится на гиперграни, грани или ребре, которым соответствует ^-компонентная смесь. Если основная смесь содержит п — 1 независимых компонентов, то при г концентрациях, равных нулю, если при этом п — г — 1 коэффициентов распределения равны единице, особая точка лежит на граничном элементе симплекса, размерность которого равна п — г — 1.
Например, в случае пятикомпонентной смеси число независимых концентраций равно четырем. Если одна из независимых концентраций равна нулю, а коэффициенты распределения остальных трех компонентов равны единице, то, очевидно, особая точка лежит в граничном тетраэдре, размерность которого равна трем.
Особым является случай, когда все независимые концентрации равны нулю, а соответствующие коэффициенты распределения принимают предельные значения. Это относится к случаю, когда особой точкой является точка, соответствующая чистому компоненту.
Таким образом, особыми точками динамической системы свободного равновесного испарения являются точки, соответствующие азеотро-пам и чистым компонентам.
Теперь допустим, что коэффициент распределения одного из компонентов равен единице, а концентрация этого компонента не равна нулю. В
этом случае говорят, что траектории процесса открытого равновесного испарения пересекают единичную К-линию компонента
В общем случае, когда все компоненты распределены между фазами, единичные К-многообра-зия, соответствующие «-компонентной смеси, имеют размерность п — 2 и в концентрационном симплексе обладают конечной протяженностью с выходом на границу симплекса. Каждое такое многообразие соответствует условию
y-
X-
= K- = 1.
(4)
Совокупность таких K многообразий компонентов, концентрации которых выбраны независимыми переменными, образуют диаграмму этих многообразий, характерную для исследуемой смеси и связанную с ее фазовым портретом. Так как размерность единичного K-многообразия равна n — 2, каждое такое многообразие делит концентрационный симплекс на две области, в одной области K > 1, а в другой KJ < 1. Таким образом, в первой области компонент i ведет себя как легколетучий, а во второй — как тяжелолетучий. Пересечение единичных K-многообразий размерности n — 2 дает особые точки, т.е. азеотро-пы, содержащие компоненты, которым принадлежат пересекающиеся многообразия. Следовательно, каждая диаграмма единичных К-линий имеет определенную структуру. Рассмотренный случай геометрически означает, что равновесная нода жидкость—пар лежит на плоскости, которая является сечением в концентрационном симплексе, т.е. имеет уравнение Xj = const.
dXf dxj
Если же —- = —-, то в этом случае траектория dt dt
открытого равновесного испарения пересекает единичное а-многообразие, где а — относительная летучесть компонентов:
K
а-, = •
K,
(5)
зуется диагональной матрицей, эта математиче ская модель имеет вид [2]
d x
= A (y* - x*), d ln m
где A — диагональная матрица вида
0 ... 0
-B2AtF0
_ e "BiAtFo
A =
0
1 _ e ~
0
-Bn-1AtF0
(6)
(7)
0 0 ... 1 - е~- ;
Здесь Б1 — коэффициент массопереноса компонента В общем случае эти коэффициенты не равны друг другу для разных компонентов; F0 = dF
=--удельная поверхность, приходящаяся на
dm
один моль испарившейся жидкости; А.1 — время контакта пузырька пара с жидкостью.
В рассматриваемом случае математическая модель дает систему траекторий, топологически подобную системе открытого равновесного испарения, которую можно представить в виде d х
= E (y* - x*),
(8)
Диаграммы единичных а-линий также связаны с фазовым портретом п-компонентной смеси. Единичные а-многообразия бывают разной кратности, в зависимости от того сколько пар компонентов имеют равные коэффициенты распределения.
Настоящая работа посвящена исследованию аналогов рассмотренных выше многообразий для случая ректификации многокомпонентных смесей самой общей физико-химической природы.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЕДИНИЧНЫХ К- И а-МНОГООБРАЗИЙ И ИХ АНАЛОГОВ
Вначале рассмотрим процесс периодической дистилляции.
В частном случае, когда модель динамической системы периодической дистилляции характери-
d 1п т
где Е — единичная матрица.
Введем допущение, когда матрица А становится единичной. В этом случае все члены главной диагонали должны быть равны нулю, т.е.
е -В'А'"0 = 0. (9)
Последнее становится возможным, если любая из величин Б, М и F0 становится равной бесконечности, что вполне согласуется с физическим смыслом процесса массопереноса. Действительно, если все коэффициенты массопереноса Б, = да, то сопротивление массопереносу равно нулю и система ведет себя как равновесная. Равенство М бесконечности означает очень большое время контакта, за которое система придет в равновесное состояние. Наконец, если площадь удельной поверхности F0 становится бесконечно большой, даже при конечных остальных величинах, система становится равновесной.
Если это равновесие осуществляется вдоль всей траектории периодической дистилляции, очевидно, последняя приобретает свойства открытого равновесного испарения.
Вместе с тем, если вдоль траектории периодической дистилляции К,- — 1 = 0, т.е. траектория процесса пересекает единичное К-многообразие, то, очевидно, концентрация 1-го компонента проходит через экстремум. Таким образом, фазовые портреты траекторий периодической дистилляции и системы открытого равновесного испарения будут качественно идентичны, а их возможное общее число будет равным. Так как обе системы реализуют одни и те же особые точки и одни и те же единичные К-многообразия, а также фазовые портреты траекторий, можно заключить, что
две рассмотренные модели топологически подобны относительно этих показателей.
Вернемся к процессу открытого равновесного испарения. Теперь рассмотрим случай, когда производные какой-то пары компонентов равны друг другу, т.е.
^ = ^. (10) ш &
В случае процесса открытого равновесного испарения это условие реализуется всякий раз, когда траектория процесса пересекает поверхность единичного а-многообразия первой кратности. В этом случае равновесная нода геометрически расположена на секущей, лежащей в секущей плоскости, которая пересекает ребро симплекса, соответствующее компонентам I и у. Эти многообразия имеют также размерность, равную п — 2, и делят концентрационный симплекс на две области: в первой области а у > 1, а во второй — а у < 1. Единичные а-многообразия также пересекаются в особых точках динамической системы свободного равновесного испарения. На сегодня для процесса открытого равновесного испарения довольно полно изучены единичные К- и а-многообразия в моноазеотропных трехкомпонентных смесях [3, 4].
Наиболее информативными являются единичные К-линии. Они указывают на наличие экстремумов на траекториях отрытого равновесного испарения, что является важной информацией при изучении хода этих траекторий.
Обратимся к динамической системе периодической дистилляции. Очевидно, что производная
йх, ^ „ йх,
будет равна производной-—
й 1п т
й 1п т
, когда
(у* - х*) (1 - в) = (у* - х*) (1 - в) (11)
или
у* - х* _1 - в
у*
1 - в
(12)
Так как в общем случае коэффициенты массо-переноса В и Буразличны, то, очевидно, многооб-
разия, вдоль которых
йх,
йх ,
й 1п т й 1п т периодической дистилляции не совпадают с единичными а-многообразиями для процесса свободного равновесного испарения.
Поскольку динамическая система периодической дистилляции реализует те же особые точки, что и система открытого равновесного испарения, для периодической дистилляции имеем
У* - х* = 0, = 0, (13)
* * п
У* - х* = 0
й 1п т
йх, -]— = 0.
й 1п т
(14)
Таким образом, ход единичных К-многообра-зий открытого равновесного испарения и периодической дистилляции полностью совпадает. В то же время в процессе периодической дистилляции реализуются пересекающиеся в азеотропных точках аналоги единичных а-многообразий, ход которых отличен от единичных а-многообразий открытого равновесного испарения.
Для дальнейших исследов
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.