ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2009, том 49, № 10, с. 1827-1843
УДК 519.633
АППРОКСИМАЦИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ ПРИ КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В СЛУЧАЕ РЕШЕНИЙ, РАСТУЩИХ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ1)
© 2009 г. Г. И. Шишкин
(620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН) e-mail: shishkin@imm.uran.ru Поступила в редакцию 12.05.2009 г.
Рассматривается начально-краевая задача на неограниченной по x области на прямой для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии; старшая производная уравнения содержит параметр s2, s е (0, 1]. Правая часть уравнения и начальная функция при x —»- да неограниченно растут как O(x2), что приводит к неограниченному росту решения на бесконечности как O(^(x)), где ^(x) = x2 + 1. Начально-краевая функция является кусочно-гладкой. При малых значениях параметра s в окрестности боковой части границы и в окрестности характеристик предельного уравнения, проходящих через точки негладкости начальной функции, возникают, соответственно, пограничный и внутренние слои. В этой задаче уже в случае гладких решений при фиксированных значениях параметра s ошибка сеточного решения в равномерной норме неограниченно растет при x —► да. В настоящей работе близость решений начально-краевой задачи и ее сеточных аппроксимаций рассматривается в весовой равномерной норме ||-||w с весовой функцией ^-1(x); в такой норме решение начально-краевой задачи s-равномерно ограничено. С использованием метода специальных сеток, сгущающихся в окрестности пограничного слоя, либо в окрестностях пограничного и внутреннего слоев, строятся и исследуются специальные разностные схемы, сходящиеся s-равномерно в весовой норме. Показано, что скорость сходимости схем существенно зависит от типа негладкости в начально-краевых условиях. Рассмотрены также s-равномерно сходящиеся в весовой норме сеточные аппроксимации задачи Коши, правая часть и начальная функция которой растут как O(^(x)). Библ. 21.
Ключевые слова: параболическое уравнение реакции-диффузии, неограниченная область, неограниченный рост решения на бесконечности, кусочно-гладкая начально-краевая функция, пограничный и внутренние слои, Е-равномерная сходимость, весовая равномерная норма, задача Коши.
1. ВВЕДЕНИЕ
Трудности, связанные с решением краевых задач для сингулярно возмущенных уравнений в ограниченных областях в случае достаточно гладких данных, хорошо известны (см., например, [1]—[7] и библиографию там же). Для такого типа задач требуются специальные численные методы, позволяющие аппроксимировать решения с ошибкой, не зависящей от возмущающего параметра б, т.е. методы, сходящиеся 6-равномерно. Обычно при построении и исследовании 6-рав-номерно сходящихся разностных схем данные краевых задач предполагаются достаточно гладкими и удовлетворяющими дополнительным условиям согласования (см. [8]), обеспечивающим гладкость решения исследуемой задачи. Трудности в аппроксимации решения возрастают, когда в решении задачи помимо пограничных и внутренних слоев появляются дополнительные особенности, порождаемые негладкостью данных задачи, отсутствием условий согласования (в случае областей с кусочно-гладкими границами) и/или неограниченностью области, как и неограниченным ростом решения.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00729), Булевского центра исследований по информатике (ВСМ) Национального университета Ирландии г. Корк, а также МЛС81 — Ассоциации по приложениям математики в науке и технике (www.macsi.ul.ie), финансируемой научным фондом Ирландии (8И), грант 06/М1/005.
1827
7*
1828
ШИШКИН
Специальные схемы для сингулярно возмущенных задач для эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях исследовались в [9] и [10] соответственно; решения таких задач являлись 6-равномерно ограниченными. В ряде прикладных сингулярно возмущенных задач на неограниченных областях решение задачи неограниченно растет на бесконечности (см., например, [11] и библиографию там). Однако специальные схемы, сходящиеся 6-равномерно, для такого типа задач в литературе не известны.
Таким образом, разработка и исследование 6-равномерно сходящихся схем для широких классов сингулярно возмущенных задач, решения которых неограниченно растут на бесконечности, и в частности, при наличии отмеченных выше дополнительных особенностей, является актуальной проблемой.
В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача на неограниченной области на прямой для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии с параметром б2 при старшей производной (постановка задачи дается в разд. 2). Правая часть уравнения и начальная функция при |х | —»- да неограниченно растут как O(x2), что влечет неограниченный рост решения задачи. Начально-краевая функция предполагается кусочно-гладкой. Производные первого порядка по x начальной функции и/или первого порядка по t граничной функции терпят разрывы I рода; условия согласования в угловых точках (помимо условия непрерывности) не предполагаются. Когда 6 —»- 0, возникают пограничные и внутренние параболические слои.
Решение начально-краевой задачи и его производные растут как O(¥(x)), где = x2 + 1, что приводит к неограниченному росту ошибок сеточных аппроксимаций решений в равномерной норме с ростом ^ | (см. оценки (3.2), (3.8) и (4.5), (4.6) в разд. 3 и 4 соответственно). В настоящей работе близость решений задачи и их сеточных аппроксимаций рассматривается в весовой равномерной норме ||-1|№, определяемой как максимум отношения ошибки решения в точке x к функции В такой норме решение начально-краевой задачи 6-равномерно ограничено.
В разд. 5 исследуется 6-равномерная сходимость в весовой равномерной норме специальных разностных схем на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в окрестности пограничного слоя, либо в окрестностях пограничного и внутреннего слоев, в случае негладкостей различных типов в начально-краевых условиях.
Показано, что в случае эталонной задачи (2.2), (2.1) — задачи с достаточно гладкими данными, удовлетворяющими условию согласования (обеспечивающими достаточную гладкость решения задачи), известная классическая разностная схема (см., например, [12]) на специальной сетке, сгущающейся в пограничном слое (будем говорить базовая схема), сходится (в весовой норме) 6-равномерно со скоростью O(N-21n2N + И- ), где N + 1 — максимальное число узлов сетки по x на отрезке единичной длины, N + 1 — число узлов сетки по t. Наличие негладкости типа разрыва производной первого порядка по t граничной функции и/или типа отсутствие условий согласования лишь слабо сказываются на скорости 6-равномерной сходимости. Базовая схема в
этом случае сходится в весовой норме со скоростью O(N-2ln3 N + И- 1п N0).
Негладкость типа разрыва производной первого порядка по x начальной функции весьма значительно сказывается на скорости 6-равномерной сходимости в весовой норме. В этом случае базовая схема сходится лишь со скоростью O(N-1 + И01/2); происходит существенная потеря порядка скорости 6-равномерной сходимости. Для такой задачи строится улучшенная схема — схема на сетках, сгущающихся как в пограничных, так и во внутренних слоях — позволяющая получить сеточные решения, сходящиеся условно 6-равномерно со скоростью O(N-21n2N + И- 1пN0) при
условии, что параметр 6 удовлетворяет дополнительному условию 6 = O(N-1 + И01/2). С другой стороны, безусловная 6-равномерная скорость сходимости улучшенной схемы такая же, как и у
базовой схемы, т.е. O(N-1 + И01/2).
Рассмотрены также в разд. 6 6-равномерно сходящиеся в весовой норме сеточные аппроксимации сингулярно возмущенной задачи Коши в случае правой части и начальной функции, растущих как O(¥(x)).
Следует отметить, что численные методы для сингулярно возмущенных задач, решения которых в равномерной норме 6-равномерно ограничены на области определения решения, достаточно хорошо разработаны. Специальные схемы для параболического уравнения конвекции-диффузии с одной слабой особенностью — кусочно-гладким начальным условием рассмотрены
в [11] и [13]. Схемы для параболических уравнений с несколькими слабыми особенностями, такими как кусочно-гладкие начальные и граничные условия и/или отсутствие условий согласования, рассматриваются в [14], [15]. Краевые задачи для сингулярно возмущенных параболических уравнений реакции-диффузии с сильной особенностью — разрывным начальным условием рассматриваются в [16]—[18] (см. также библиографию там).
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 2.1. На множестве в, где
в = в и Б, в = Б х(О, Т], Б = {х : х е(й,да)}, й е (-да, да), (2.1)
величина \й | может принимать сколь угодно большие значения, рассмотрим начально-краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакции-диффузии2)
2. 2)и(х, г) = /(х, г), (х, г)е в, и(х, г) = ф(х, г), (х, г) е Б.
Здесь
(2.2)
2 д д
ь(2.2) = б а (х, г) — - с (х, г) - р(х, г)
дх2
дг
коэффициенты а(х, 1), с(х, 1), р(х, 1) и правая часть/(х, 1) являются достаточно гладкими на множестве О, причем
а0 < а(х, г) < а0, О < с(х, г) < с°, р0 <р(х, г) <р°, (х, г) е О; а0,р0 > О; параметр б принимает произвольные значения из полуинтервала (0, 1].
Начально-краевая функция ф(х, 1) является непрерывной на Б и кусочно-гладкой на множествах Б0 и Б . Здесь Б = Б0 и БЬ, Б0 = Б0 и БЬ - нижняя и боковая части границы Б, БЬ = Г х (0, 7],
Г = Б \Б. Первая производная по 1 функции ф(х, 1) терпит разрыв первого рода в точке = 10)},
-I . .
с Б , а первая производная по х — разрыв первого рода в точке = {(х0, 0)}, с Б0. Функция
ф(х, 1) предполагается достаточно гладкой на замыкании участков границы Б, на которых первые производные являются непрерывными. В частности, функция ф(х, 1) является достаточно гладкой на множествах и Б- , т.е. ф(-, 0) с С(Б0) п {Ск(Б-) п Ск( )}, к > 1, где = Б- и Б+ , Б- =
= Б0 п {х < х0}, = Б0 п {х > х0}. Функции/(х, 1), (х, 1) е О и ф(х, 1), (х, 1) е неограниченно растут при \х\ —да; считаем выполненным условие
к + к0
д
/(х, г)
т ф( х г )
д гк0
дхкдгк0
—к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.