ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 2, с. 13-25
УДК 550.831
АПРИОРНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И ДОПУСТИМАЯ СЛОЖНОСТЬ МОДЕЛИ АНОМАЛИЕОБРАЗУЮЩИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ
ЗАДАЧ ГРАВИРАЗВЕДКИ
© 2013 г. П. И. Балк
г. Берлин, ФРГ Поступила в редакцию 08.08.2012 г.
Рассматривается малоизученная проблема выбора приемлемой сложности модели источников поля, в значительной степени предопределяющей качество решения обратной задачи. Анализируются причины, по которым теория интерпретации гравитационных аномалий до сих пор не смогла выработать четких рекомендаций на этот счет. В числе этих причин — неадекватность предпосылок, используемых в теории обратных задач, реальным условиям геофизического эксперимента. Стандартная схема построения алгоритмов количественной интерпретации данных гравиразведки дополнена элементами, недостающими для решения проблемы. Основное место в обновленной схеме отводится алгоритмическим приемам оценки "размеров" множества допустимых решений обратной задачи, поправкам за неадекватность используемой модели источников поля реальному физическому распределению аномалиеобразующих масс, а также новым формам представления результатов интерпретации, обеспечивающим монотонную зависимость их качества от объема априорной информации.
Б01: 10.7868/80002333713020014
ВВЕДЕНИЕ
Удачный выбор параметрической размерности модели возмущающих объектов, согласованный с объемом априорной информации, является фактором, во многом предопределяющим качество приближенных решений обратных задач. Проблему параметрической размерности модели можно охарактеризовать как проблему обеспечения компромисса между стремлением к более детальному описанию особенностей строения источников поля и сдерживающей его неустойчивостью (приближенной эквивалентностью), присущей обратным задачам геофизики. С этой проблемой интерпретаторы столкнулись впервые, как только мощность вычислительных средств позволила работать с относительно сложными моделями геологических объектов. С тех пор она упоминается едва ли не в каждой работе, посвященной разработке эффективных алгоритмов решения обратных задач гравиразведки. К сожалению, все ограничивается констатацией существования проблемы и общими рассуждениями; до сих пор проблема выбора степени сложности модели геологического объекта остается не формализованной, отсутствуют четкие количественные критерии, позволяющие (с позиций полноты и достоверности информации, извлекаемой из результатов интерпретации) оценить эффективность каждой из конкурирующих параметризаций. Причиной тому, по мнению автора, являются недоработки в
методологии количественной интерпретации гравитационных аномалий; с одной стороны, в ней недостает некоторых важных связующих элементов, с другой, неоправданно большое значение придается некоторым свойствам модельных классов интерпретации и самих алгоритмов решения обратных задач.
В настоящей статье предлагается принципиально новый, количественный подход к решению обозначенной проблемы, потребовавший определенной ревизии некоторых основных положений методологии теории интерпретации гравитационных аномалий.
СПОРНЫЕ И НЕЗАТРОНУТЫЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ В СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ АНОМАЛИЙ
Методология теории интерпретации данных гравиразведки изначально сталкивается с принципиальным противоречием. С одной стороны, во избежание неадекватности модельных представлений аномалиеобразующий объект ST приходится рассматривать как элемент достаточно широкого, функционального пространства X, наделенного метрикой р х. С другой стороны, в силу дискретности измерений информационно обес-
печенными на практике могут быть лишь конечномерные постановки, когда приближенное решение S * обратной задачи берется из модельного класса M, каждый элемент S = S(p) которого описывается вектором p е Rn. Размерность простран-
Rn
и является параметрической размерностью модели источников поля. Если M — множество многоугольников с числом вершин m, то n = 2т, а в вектор p = (%ьqb%2,q2, ...,%т,qт) собраны координаты (Д j, q j), их вершин, взятых в порядке обхода по часовой стрелке. Если в число неизвестных входят не только параметры модели аномалиеобразующих масс (например, коэффициенты полиномиального фона), то правильнее говорить о параметрической размерности интерпретационной модели в целом. Выбор структуры модельного класса источников поля осуществляется из геологических соображений; выбор параметрической размерности модели — сугубо математическая проблема.
Принято считать, что модельный класс M образуется путем "сужения" пространства X: M с X. Это не обязательно, важно чтобы на множество M можно было распространить метрику рX. Как пример: элементы множества X — ограниченные измеримые области с гладкой границей , M — совокупность всех многоугольников (M <£ X), а близость любых двух множеств S1, S2 е X u M — как носителей источников аномалии — оценивается в метрике
p(Si, S2) = 1 -
П S2)
(1)
и S2)
где ц(Б) — классическая мера Лебега (если Б1 и Б2 совпадают, то р(Бь Б2) = 0; если Б1 и Б2 не имеют общих точек, то р(Бь Б2) = 1). В обратных задачах, где требуется оценить геометрическое место точек пространства, занятых возмущающими массами, метрики, порожденные мерой, безусловно наиболее содержательны.
Следующим важным элементом в теории алгоритмов интерпретации является априорная информация О, в которую включаются и интуитивные представления интерпретатора об особенностях строения среды и поля. Она позволяет отсечь неправдоподобные варианты интерпретации, сужая область поиска приближенного решения Б * обратной задачи до некого подмножества М0 с М. Особую роль играют естественные ограничения на избыточную плотность и размеры возмущающих объектов, которые автоматически присутствуют в любой постановке обратной задачи. Хотя в дополнение к прочей информация они, как правило, не привносят того, что могло бы повысить качество результатов интерпретации, в методологическом плане их значение велико. Благо-
даря им область поиска приближенного решения сужается до компактного множества; задача перестает быть неустойчивой, а главная "страшилка" — возможность получения сколь угодно большой ошибки решения при сколь угодно малой помехе — теряет свою актуальность. На тот факт, что неустойчивость обратных задач гравиразведки (в классическом понимании этого термина) в определенной мере искусственна благодаря тому, что из постановки задачи выбрасываются естественные ограничения, обычно не принято акцентировать внимание.
Вернемся к модельному классу М. Как правило, к нему предъявляются два требования: 1) он должен обладать достаточно хорошими аппрокси-мационными возможностями; 2) на множестве М решение обратной задачи единственно [Страхов, 1978].
Первое требование состоит в существовании принципиальной возможности обеспечить приемлемую точность решения обратной задачи. Заметим сразу, что логичнее предъявлять это требование не в целом к модельному классу М, а лишь к множеству допустимых решений М0, и иметь в виду не желаемую точность, а только гарантированно достижимую (при заданной априорной информации). Если так, то недостаточность аппроксимативных возможностей класса М можно обнаружить лишь апостериори, если выяснится, что более удовлетворительный компромисс между объемом априорной информации и качеством результатов интерпретации удалось бы достичь при более сложной модели источников поля (на том, как распознать такую ситуацию, остановимся позже). Требуется четкий акцент на существование опорного элемента Б° е М0 как наилучшей
из множества М0 аппроксимации для БТ. Тем более, что представление о таком элементе неявно присутствует в алгоритмах решения обратной задачи. По сути именно он (а не БТ) по умолчанию является непосредственным объектом оценивания. Какими особенностями обладает элемент Б°, на роль которого априори в равной мере претендует каждый элемент множества М0, единственный ли он на М0, для последуюшего значения не имеет — здесь важен сам факт его существования.
Оценка аппроксимативных свойств модельного класса М находит свое количественное выражение в величине рх(Б°, БТ), и это как раз один из тех связующих элементов, которые недостает стандартной схеме построения методов интерпретации гравитационных аномалий. Значению
рх(Б°, Б ) можно придать и более содержательный смысл как поправке за неадекватность моде-
ли в оценке точности приближенного решения S * обратной задачи:
рх(5*,5т) < рх(5*,5°) + рх(5°,5т). (2)
т
Образно выражаясь, расстояние рх(5°, 5 ) (на практике — его оценка сверху) есть сжатый до скалярной величины эффект проявления неустойчивости обратных задач применительно к конкретной интерпретационной ситуации.
Обратимся ко второму требованию, предъявляемому к модельному классу М. Принято различать два аспекта проблемы единственности. Первый из них — это единственность восстановления
неизвестного решения 5т по точному полю ит. Второй аспект проблемы заключается в единственности приближенного решения 5*, отвечающего минимуму используемого критерия оптимальности [Булах и др., 1995; Голиздра, 1996].
Неадекватность отдельных основополагающих посылок, необходимых при изучении гносеологических проблем принципиальной познаваемости реальной действительности по ее косвенным проявлениям, фактическим особенностям проведения геофизического эксперимента, приводит к смещению акцентов на второстепенные проблемы. При этом — что важно — на второй план "задвигаются" (за кажущейся ненадобностью) другие, "смежные" проблемы, которые на самом деле и определяют эффективность интерпретации. Поясним это, и начнем с того, что основное назначение единственности состоит в создании предпосылок для обеспечения сходимости последовательности приближенных решений обратной задачи к точному при стремлении нормы помехи к нулю. Но управлять помехой измерений на практике невозможно, да и точное ее значение обычно неизвестно — для практики сходимость это то, что может быть достигнуто лишь на бумаге. Если полностью довериться теории и воспринимать сходимость буквально, как возможность обеспечить наперед заданную точность решен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.