ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2015, № 1, с. 128-138
УДК 550.831+838
АПРОБАЦИЯ НОВОЙ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНОЙ ЛИНИИ НА ОСНОВЕ И ^-АППРОКСИМАЦИЙ В АТЛАНТИКЕ
© 2014 г. В. Н. Конешов, |Э. А. Боярский|, И. Э. Степанова, Л. В. Афанасьева, Д. Н. Раевский
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва E-mail: tet@ifz.ru Поступила в редакцию 19.08.2013 г.
В различных областях геофизики и геодезии необходимо знание уклонения отвесной линии (УОЛ). Аэрогравиметрические наблюдения позволяют применить гравиметрический метод для расчета УОЛ в условиях как равнинной, так и горной местности. В последнем случае в расчетные формулы вносится поправка, обусловленная влиянием топографических масс.
C помощью метода ¿-аппроксимаций, основанного на представлении гармонических функций в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев на некотором носителе — в частности, на горизонтальной плоскости — гравитационное поле было восстановлено по данным измерений в любой точке пространства (на любой высоте измерения), в частности, на поверхности референц-эллипсо-ида. Было разработано программное обеспечение для расчета УОЛ с использованием формул Вен-нинг-Мейнеса (расчет УОЛ в нулевом приближении) и методики восстановления аномальных полей на основе ¿-аппроксимаций. Также для интерпретации гравиметрических данных был применен метод ^-аппроксимаций, основанный на применении преобразования Радона. Приводятся результаты практического расчета для двух районов Атлантического океана.
DOI: 10.7868/S0002333714050032
Уклонение отвесной линии (отклонение направления действительной силы тяжести от направления вектора нормальной силы тяжести) возникает, как известно, вследствие отличия действительного гравитационного поля Земли от нормального, обусловленного сложностью ее внутреннего строения и фигуры. Для вычисления уклонения отвеса (УОЛ) в различных точках земного шара необходимо знать пространственное распределение аномального гравитационного поля, т.е. располагать гравиметрическими данными.
Во многих районах Земли выполнение гравиметрических съемок непосредственно на поверхности сильно затруднено или вообще невозможно. Детальная геофизическая съемка акваторий традиционно выполняется на судах, но эти работы требуют больших финансовых затрат. Менее дорогостоящие аэрогеофизические съемки позволяют дать оценки перспективности конкретных труднодоступных районов. В настоящее время инерциальные поправки определяются с погрешностью менее 1 мГал. Для вычисления УОЛ необходимы гравиметрические карты (в основном, масштаба 1 : 200000), построенные не на высоте измерений (полета), а на референц-эллипсоиде.
Конечная цель любой аэрогеофизической съемки — числовое описание изучаемого поля на уровне поверхности Земли (выбранного эллипсоида). Для получения такого числового описания применяют-
ся те или иные аппроксимации физических полей Земли. По гравиметрическим данным можно затем определять высоту квазигеоида и составляющие уклонения отвеса (УОЛ).
В работе [Боярский и др., 2010] предложен эффективный алгоритм нахождения УОЛ по данным о гравитациооных аномалиях. Следует отметить простоту учета влияния дальних зон при вычислениях УОЛ с применением данной методики.
Цель данной статьи — уточнить и развить предложенную в работе [Конешов и др., 2007] методику расчета УОЛ с учетом полученных результатов аэрогравиметрических измерений над труднодоступными районами. Помимо описанного в работе [Конешов и др., 2007] способа вычисления УОЛ на основе метода ^-аппроксимаций в настоящей работе приводятся результаты апробации метода ^-аппроксимаций для двух практических примеров (двух участков в районе Атлантики).
Создание уточненной (универсальной) методики обусловлено двумя факторами. Первое — ка-тра аномалий гравитационного поля по результатам аэрогравиметрической съемки первоначально находится для высоты полета, так как она строится по координатам ОР8-наблюдений относительно эллипсоида. Во-вторых, при расчете УОЛ в труднодоступных районах с пересеченным рельефом необходимо учесть влияние этого рель-
эфа с помощью алгоритмов, наиболее адекватных требованиям универсальности расчетов.
АППРОКСИМАЦИЯ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
В целом ряде методов, использующихся в настоящее время при интерпретации данных грави-магниоразведки, предлагаются те или иные аппроксимации аномальных физических полей.
Широкое распространение в середине и конце ХХ века получила аппроксимация гравитационного поля Земли отрезками ряда по шаровым функциям. В этой области проведено большое количество исследований как отечественными учеными, так и зарубежными, например, Ж. Бальмино [Ва1тто, 1990] и П. Найду [№1ёи, 1968]. С середины 50-х годов прошлого века при интерпретации данных гравитационых и магнитных аномалий активно стал применяться спектральный анализ (работы С.А. Серкерова [Серкеров, 1991] и др.). Недостаток современных теорий интерпретации геофизических данных заключается в том, что используются те или иные идеализации, которые не отвечают либо природным соотношениям, либо экспериментальным исследованиям изучаемых полей (идеализация двумерного поля, идеализация плоской границы Земля—воздух, идеализация задания некоторого элемента поля в узлах регулярной сети и др.).
Предлагаемые методики ^-и ^-аппроксимаций соответствуют реальной геофизической практике и не включают в себя перечисленные выше идеализации. Методы S- и ^-аппроксимаций являются вариантами метода линейных интегральных представлений, предложенного В.Н. Страховым [Страхов, 1999].
На основе метода линейных интегральных представлений [Страхов, Степанова, 2002а; 2002б] можно строить линейные аналитические аппроксимации аномальных потенциальных полей и функции, описывающей рельеф местности, строить линейные трансформации полей, решать другие задачи интерпретационного характера.
Следует отметить, что большинство процедур трансформаций (аналитическое продолжение в сторону возмущающих масс, пересчет в высшие производные потенциала), обладающих наибольшей разрешающей способностью, являются неустойчивыми.
В настоящее время существует большое количество методов трансформации потенциальных полей, достаточно широко опубликованных в геофизической литературе. Недостатком большинства существующих методов является их неадекватность реальной геофизической практике
(неучет нерегулярности и разновысотности гравиметрических сетей и другие идеализации).
Мы применяли компьютерные технологии построения аналитических аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей, а также рельефа местности в локальном варианте в системе прямоугольных декартовых координат на основе представления аномальных полей с помощью потенциалов простого и двойного слоев, распределенных на некоторых поверхностях. Нами рассматривались задачи с относительно небольшим количеством точек (не более 10000). Поэтому возникающие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решались тремя методами: методом М.М. Лаврентьева, методом регуляризации разложения Холецкого и итерационным методом, разработанным В.Н. Страховым. В примерах с большим числом точек (15—30 тысяч) СЛАУ решались с помощью двух модификаций метода блочного координатного спуска [Страхов В.Н., Страхов А.В., 1999а; 1999б; Страхов, Степанова, 2001].
¿-АППРОКСИМАЦИИ В ЛОКАЛЬНОМ ВАРИАНТЕ
Если нам известны компоненты магнитного или гравитационного поля (например, первая производная потенциала по г на некотором рельефе над физической поверхностью Земли), то мы можем представить потенциал поля в виде суммы простого и двойного слоев, создаваемых горизонтальной плоскостью, расположенной ниже заданного рельефа [Кошляков, 1962]:
V(М) = Ц
+
П;
-£ь)2 + (У -£2)2 + г
Р2&, £2)^1^2
: +
(1)
— ОТ — ОТ
^(х -£1)2 + (у + г2]3' М = (х,у,г), х = (х,у), £ = (£1,£2,£3), I = (£1,£2).
Мы выбрали систему координат так, чтобы плоскость простого и двойного слоев задавалась уравнением г = 0. Тогда производная по г потенциала V, взятая с обратным знаком, будет иметь вид:
IV (М = и
ь/(х -£)2 + (у -п)2 + г2 ]3
+ Г Г Р2©(2г2 - (х -£ь)2 - (у -£^2)2^С, J J ь/(х + (у -£^2 + г¥2 '
—да —да
М = (х, у, г),
+да +да
Функции р1, р2 неизвестны. Пусть компоненты поля заданы в конечном множестве точек М, I = = 1, 2, ..., N = (х¡,у,,). Обозначим подынтегральную функцию в первом слагаемом в (2) в
точке М через а во втором слагаемом — через О(). Тогда получим:
1 <1< N 1 < у < N. В нашем случае коэффициенты ау могут быть вычислены явно с помощью интеграла Пуассона:
дУ(М,) =
дг
/ < = 11 (р1©<2()© + Р2(|)<22°(1))^|,
(3)
—да —да
,= 1,2, ..., N.
вд = гг (р2© + р2(1))4 = ш1и,
р
—да —да
+да +да
Л8 - 11 (Р1©й(0© + Р2<ш2°(1))^| = 0,
(4)
(5)
—да —да
,= 1,2,..., N
получим, что искомые функции должны иметь вид:
р(а)(^) = Р 1© а), р2а)© = Р2© X ,
N (6)
р 1(|,х) = Xха(,)©, Р2(1,А.) = X
,=1 ,=1
Таким образом, мы приходим к следующей системе линейных уравнений, элементы матрицы которой в нашем случае имеют вид:
а у = 2п<
г, + гу
(г, + гу)(9[(х, - Ху)2 + (у, - Уу)2] - 6(г, + гу)2)] (8)
На практике компоненты поля бывают заданы с некоторой погрешностью, поэтому входной информацией являются значения /¡! §. С помощью решения вариационной задачи:
ф
г + гу)2 + (х - ху)2 + (у, - у,-)2)7
у 1 ^ 1 V-, .у
1 < , < N, 1 < у < N.
По найденным из решения системы (6)—(8) множителям X, I = 1, 2, ..., N можно далее определить величины функционалов р, « = 1, 2, ..., Б (см. [Страхов, Степанова, 2002а]). Мы находили пространственное распределение гравитационного поля.
Опишем основные принципы построения Л-ап-проксимаций в соответствии с [Хелгасон, 1983; Гельфанд, 2000].
Применим к обеим частям равенства преобразование Радона. Получим:
Ух3(ю, Р) = | [Р1(®, ^¿^(ю, Р - Ф) +
(9)
+ р2(ю, Ф)С?2 )(ю, Р - фЖФ,
так как преобразование Радона свертки функций равно свертке от произведения преобразований Радона соответствующих функций.
Величины (точнее говоря, функции) <2(), мы можем найти:
I
Хз
I
^(х1 + I ф - р ео8 ф)2 + (х2 - I ео8 ф - р ф)2 + х32
_ 2х3
х'2 + р2 - 2рх1 ео8 ф - 2рх2 ф + (х1 ео8 ф + х2 ф)2
ю _ (ео8 ф, ф)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.