ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 5, с. 673-690
УДК 551.515:532.527
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГЕНЕРАЦИИ ДЛИННОВОЛНОВЫХ
СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
© 2009 г. С. В. Шагалов, В. П. Реутов, Г. В. Рыбушкина
Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 E-mail: ryb@appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 04.08.2008 г., после доработки 16.12.2008 г.
Исследуется механизм формирования крупномасштабных вихревых структур в зональных струйных течениях (атмосферные блокинги, циклонические и антициклонические вихри). В приближении бета-плоскости рассмотрены нелинейные возмущения, возникающие при развитии баротропной неустойчивости длинноволновой моды в слабодиссипативных слабонадкритических струйных течениях с симметричным профилем скорости. Анализ проводится в рамках асимптотической теории, основанной на концепции нелинейного критического слоя. Выведены уравнения, описывающие взаимодействие волны с возмущениями завихренности в критическом слое. Отдельно рассмотрены режимы квазистационарного и нестационарного нелинейного критического слоя. Предложены составные эволюционные уравнения, охватывающие основные режимы развития неустойчивости. В рамках численного моделирования полученных уравнений доказано существование структур автоволнового типа, характеризующихся балансом между поступлением энергии к волне и ее диссипацией. Изучена зависимость параметров генерируемых автоволновых структур от формы профиля зональной струи и от уровня надкритичности течения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Крупномасштабные вихревые структуры являются одним из опрелеляющих элементов общей картины синоптической изменчивости атмосферы и океана. К числу подобных вихревых образований относятся, в частности, атмосферные циклоны и антициклоны, а также синоптические вихри открытого океана, играющие существенную роль в формировании климата и процессах переноса пассивных примесей [1, 2]. Кроме того, значительный вклад крупномасштабных вихрей в климатические процессы связан с явлением атмосферного блокинга, наблюдаемым в средних широтах при формировании в струйных зональных потоках низкочастотных вихревых аномалий, имеющих дипольную структуру [3, 4]. Крупномасштабные вихревые и зональные течения обнаружены и в атмосферах больших планет Солнечной системы (Юпитера и Сатурна). Наиболее ярким и известным проявлением крупномасштабных вихревых структур является Большое красное пятно Юпитера (БКПЮ) - гигантский антициклонический вихрь, наблюдается на фоне системы зональных ветров [5, 6].
Согласно устоявшейся точке зрения, на происхождение крупномасштабных геострофических вихрей в океанах и атмосферах Земли и планет указанные природные структуры могут рассматриваться как устойчивые уединенные образования - вихревые солитоны Россби [1, 7]. Присутствие зональных течений существенно видоизменяет пространственно-временны е характеристики волн Россби и карти-
ну формирования крупномасштабных вихревых структур. В ряде работ исследование процессов структурообразования в зональных течениях проводилось в рамках численного моделирования [8, 9]. Изучение механизмов формирования крупных вихрей в слабонадкритических слабодиссипативных зональных течениях возможно в рамках асимптотического подхода, основанного на концепции критического слоя (КС). В тонком КС скорость течения близка к фазовой скорости волны, благодаря чему нелинейные эффекты становятся значительно сильнее по сравнению с остальной ("внешней") частью течения. Впервые концепция КС для описания волн Россби в зональных потоках была использована в работе Л. Редекоппа [10], а в последнее время она развивалась в работах [11, 12]. Согласно [10], БКПЮ может быть образовано частицами атмосферы, захваченными в нелинейном КС не оказывает дестабилизирующего или диссипативного воздействия на распространение волны. Форма волнового профиля и структура течения в КС задается точным солитон-ным решением соответствующего уравнения КдВ. При этом параметры солитонов однозначно определяются видом начальника возмущения.
Однако, как следует из результатов натурных наблюдений, лабораторного и численного моделирования, долгоживущие природные вихри типа БКПЮ скорее всего представляют собой уединенные структуры, являющиеся результатом самоорганизации гидродинамических полей. Их характеристики определяются, главным образом, свойствами течения и не зависят от изменения параметров начального
2
Ус
-0.5- ^ 0 ( -ус р<хххххххх
\
\
\ -2 N
\
\
-4
.0 и, ф
в 0.4
(б)
Рис. 1. а - Профиль скорости зональной струи Бикли (сплошная линия) и профиль возмущений функции тока в антисимметричной нейтральной моде (пунктир); крестиками показаны слои совпадения для маргинальной моды; б - нейтральная кривая антисимметричной моды струи (I - область неустойчивости, II - область затухания).
воздействия в достаточно широком диапазоне значений [8, 9, 13-15]. Учитывая данное обстоятельство, авторы работ по лабораторному моделированию синоптических вихрей назвали уединенные вихревые структуры, самоорганизующиеся в неустойчивых зональных течениях из малых начальных возмущений, "автосолитонами" [14].
В данной работе исследуется генерация диссипа-тивных структур "автосолитонного" типа в слабонадкритических слабодиссипативных струйных зональных течениях. Решается баротропная задача в приближении Р-плоскости, Анализ проводится в рамках концепции нелинейного КС. Выводятся
уравнения взаимодействия длинных слабонелинейных волн с порожденным ими нелинейным КС, и на этой основе численно исследуется формирование диссипативных структур.
2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим баротропные волны в квазидвумерном зональном течении на вращающейся сфере. Используя приближение Р-плоскости [16], введем систему декартовых координат, в которой оси х и у ориентированы в восточном (зональном) и северном (меридиональном) направлениях соответственно. Плоскопараллельное сдвиговое течение с профилем скорости и (у) направлено вдоль оси х и предполагается стационарным. Уравнения задачи запишем через квазигеострофическую функцию тока у, завихренность £ и потенциальную (абсолютную) завихренность Ъ = £ + Ру (Р - градиент параметра Ко-риолиса). Используя для нормировок максимальную скорость течения на оси струи ит и почечный размер струи И, перейдем стандартным образом к безразмерным переменным. Сохраняя для безразмерных величин обозначения их размерностных аналогов, запишем исходные уравнения в виде [16].
I + | I^I = - * Ъ - Ъ.) + V« Ъ - Ъ о )(2Л)
дж = -С,
где А = Э2/Эх2 + д2/ду2, V и X - коэффициенты горизонтального переноса импульса и донного трения, совпадающие с обратными числами Рейнольдса по вязкости и внешнему трению; Ъ0 = -йи/йу + Ру - потенциальная завихренность первичного течения.
В линейном приближении в отсутствие диссипации (V = 0 и X = 0) получим для комплексного профиля функции тока ф(у) в бегущей волне ~ехр[г'к(х - сг)] уравнение Релея-Го [16]:
ф" + [д(у) - к2]ф = 0 (д =
Р - и' '
и-с
(2.2)
Здесь к и с - волновое число и фазовая скорость возмущения (подробнее см. п. 3), штрихи используются для обозначения производных по у: ф'' = й2ф/йу2, и" = й2и/йу2 и т.п. Для поиска локализованных возмущений в свободном течении это уравнение следует дополнить граничными условиями ф —»- 0 при у —»- В дальнейшем ограничимся рассмотрением западных (направленных на восток) струйных течений с симметричными относительно у = 0 профилями скорости и (у).
Неустойчивость в данной задаче определяется механизмом резонансной точки, т.е. существованием при действительных значениях с слоя совпадения у = ус, определенного условием и(ус) = с (рис. 1а). Для зональной струи Бикли с профилем скорости
Рис. 2. а - Западное стройное течение с "битангенциальным" профилем скорости (2.5); кривые 1 и 2 соответствуют d = 0.01 и d = 0.99. б - Семейство нейтральных кривых: сплошные линии 1-6 соответствуют антисимметричной моде при d = 0.01, 0.7, 0.8, 0.88, 0.96, 0.99; пунктиром показана нейтральная кривая симметричной моды при d = 0.99.
вида и(у) = sch2(y) известны точные решения задачи на собственные значения, соответствующие двум регулярным нейтральным модам [17]. Одна из них представляет собой изгибные возмущения струи с симметричным профилем ф(у) и имеет критичное
волновое число кт = -У2. При этом неустойчивость возникает в области в < вт = 2/2. Нелинейная динамика таких волн изучалась в [18-21]. В данной работе рассматривается мода с антисимметричным профилем ф(у), которая описывает длинные волны сжатия и расширения струи (ее иногда называют варикозной). Точное решение краевой задачи для нелинейной (1т с = 0) варикозной моды имеет вид [17]
Ф( у) = ^У-, с = -1 (3 + к2). сп у 6
(2.3)
Нейтральная кривая на плоскости параметров (в, к) определена выражением
в = 1 (3 + к2)( 1-к2).
(2.4)
Из (2.3) и (2.4) следует, что волновое число и фазовая скорость маргинальной волны соответственно равны кт = 0 и ст = 1/2. Неустойчивость возникает при в < вт = 1/2 (рис. 1). При малой надкритичности 5в = 5вт - в ^ вт волновое число на границе полосы неустойчивости к0 = 5к = .У35Р (рис. 16). Используя (2.3), можно найти изменение частоты
волн в полосе неустойчивости: 5ю = к3/6. Вычис-
ления показывают (см. далее п. 3), что максимальная скорость роста у волн имеет такой же порядок величины: у ~ 5ю ~ (5в)3/2.
В нелинейной задаче для профиля скорости в виде струи Бикли проявляются свойства вырождения (см. п. 3). В связи с этим рассмотрим семейство струйных профилей скорости более общего вида
и (У)
= Ш [ а ( у + d )] - Ш [а( у - d ) ] = 2Ш( аd) ,
(0 < d < 1).
1 , (1 + й а = —-1п
2 d 11-d
(2.5)
Связь между параметрами а и d в (2.5) определена из условия равенства расхода течения с расходом
струи Бикли: | Udy = 2. В дальнейшем для краткости будем называть профиль скорости (2.5) "битангенциальным". При d —»- 0 он переходит в струю Бикли, а при d —► 1 приобретает П-образную форму (рис. 2а). Для определения нейтральных волн течения (2.5) в уравнении Релея-Го следует положить
в = и С, где и С = Ц"(ус). При этом коэффициент ?(у) = (в - и")/(и - с) не имеет особенности, а у функции
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.