ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 4, 2013
УДК 533.72
© 2013 г. В. С. Галкин, С. В. Русаков
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРОВ АСИММЕТРИИ СЛАБОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
Дана теория параметров асимметрии слабой ударной волны в бинарной смеси газов, основанная на разложении решений уравнений Барнетта в ряд по малому параметру интенсивности ударной волны, что обеспечивает асимптотическую точность искомых данных. Исследована зависимость решения от характеристик смеси. Уточнены и дополнены известные результаты для многоатомного газа.
Толщина сильной ударной волны (УВ) в газе порядка характерной средней длины свободного пробега молекул, поэтому для описания ее структуры необходимо применять кинетическое уравнение Больцмана—Максвелла. При стремлении числа Маха потока перед УВ к единице (т.е. при стремлении параметра интенсивности УВ в к нулю) отношение этой толщины к длине пробега увеличивается, число Кнудсена становится малым, а цепочка макроскопических уравнений метода Чепмена—Энскога — справедливой. Решение этой цепочки уравнений можно искать в виде ряда по в [1, 2]. Учет членов порядка s обеспечивают линеаризованные уравнения Навье—Стокса (т.е. уравнения вязкой и теплопроводной сжимаемой жидкости), согласно которым параметры асимметрии профилей газодинамических переменных равны единице. Отклонения значений этих параметров от единицы рассчитываются при помощи уравнений следующего, в2-приближения, в которые входят барнеттовские слагаемые соотношений переноса. Учет последних имеет принципиальное значение, так как обеспечивает правильный знак отклонений параметров асимметрии от единицы при малом в . Справедливость сказанного доказана расчетными и экспериментальными данными [3]. Вместо термина "параметр асимметрии" в литературе используются также термины "коэффициент асимметрии" (asymmetry quotient) и "фактор формы".
Результаты применения указанной методики к случаю бинарной смеси газов [1] носят неполный характер; приведено лишь выражение для профиля скорости. Как уже отмечалось [2], ряд результатов [1] содержит ошибки и нуждается в уточнении. Такой же подход применен к случаю многоатомного газа [2], однако в конечных формулах допущены описки, некоторые иллюстративные расчетные данные неверны.
В разд. 1 и 2 исправлены и кардинально дополнены результаты [1] по структуре и параметрам асимметрии слабой УВ в барнеттовском приближении. В следующем разделе представлены необходимые расчетные формулы для барнеттовских коэффициентов переноса бинарной смеси одноатомных газов. В разд. 4 уточнены и дополнены некоторые данные [2], в частности, продолжено рассмотрение поставленного ранее [4] вопроса о точности задания барнеттовских коэффициентов переноса.
1. Структура слабой ударной волны в бинарной смеси газов. Как и ранее [1], рассмотрим бинарную смесь многоатомных газов в предположении постоянства отношения удельных теплоемкостей у, однако учтем объемную вязкость. Запишем стационарные
одномерные (вдоль оси х) уравнения неразрывности, диффузии, импульса и энергии в дивергентном виде и проинтегрируем по х. Полученные соотношения можно представить в виде, аналогичном приведенному ранее [2]:
р и = Ь1, Ь1 = р и
Ь1с1 + /1 = ь2> ь2 = ь1с1
Ци + р + т = Ь3, Ь3 = Ьи + р~ (1.1)
1 р__ и_ кУ_ 1 р_
Здесь массовая плотность р, среднемассовая скорость и вдоль оси х, концентрация первого компонента с1, давление р, диффузионный поток /1х = /1, компонента тензора вязких напряжений тхх = т и тепловой поток дх = д - функции х. Ниже по возможности используются принятые ранее обозначения [2]. Верхним индексом минус отмечены значения перед ударной волной (например, и- = и(х = -да)). Уравнение состояния имеет вид
( 1 п 2 Л ( л „_ _2 ^
Ц1-4р _ 41 + д + Ьзи = Ц, Ц = ц
Ку_1 р 2 ;
+ Ь3и
р = -кТ = ЯрТ, Я = к-, - = — + с1 [-----
р р Ш2 \Ш1 Ш2
2
(-, р) = е (-, рг), рг = т—, х< = -, с = р, г = 1,2
,=1 п р
(1.2)
Здесь п = п (х), к,Т = Т (х) — числовая плотность, постоянная Больцмана, температура, т1 — масса частицы г -го сорта, используются равенства х1 + х2 = 1, с1 + с2 = 1.
Составляющие тензора вязких напряжений, диффузионного и теплового потоков определяются формулами
тхх -х = х(1) + Т(2), /1х .Р1К1 =Р1(К/1) + Г<2))
дх . д = Н1 + ¿(2) + ^ кТт2-т1 (/1(1) + /Р) (1'3)
у -1 т1т2
Здесь Н — приведенный тепловой поток, V — диффузионная скорость первого компонента. Величины т( , Н' и даются приближением Навье—Стокса, а величины т( , Н' и
у(2)
— приближением Барнетта. В приближении Навье—Стокса имеем
т(1) =-4 ци', Н(1) =-Х Т' рат/1(1), /1а) = -Б |с1 + С1С2 & р' +
3 т1т2 п у ^ р Т
ц = цБ, В = 1 + 3—, Б = рБ12, ар = -(т2 -т1), аТ = -кТ-4 п р х1 х2
(1.4)
Здесь п и ^ — коэффициенты вязкости и объемной вязкости, А — коэффициент теплопроводности. В отличие от коэффициента бинарной диффузии Б12 величина Б зависит от сх и Т и не зависит от плотности, ар — коэффициент бародиффузии (предполагаем т2 > т{), кТ — термодиффузионное отношение, а.Т — термодиффузионный фактор. Навье-стоксовы коэффициенты переноса ц, Б, X и аТ зависят от температуры Т и массовой концентрации первого компонента с:. Штрихом обозначена производная по х.
В данном случае учитываются только линейные слагаемые барнеттовских соотношений переноса, которые удобно записать в виде
т(2) =- 4 и! QJ. + 2L QT " ^ =- 7 и! ou-, к/2) =Н!£2 04й.. 3 pp Tp 4 р pp
(1.5)
Безразмерные множители Qn (п = 1,2,3,4) зависят от Т и c1. В первой формуле (1.5) опущено как внепорядковое слагаемое, содержащее вторую производную от c1.
В случае простого одноатомного газа из максвелловских молекул Q1 = Q2 = Q3 = 1. Для произвольных молекул имеем
Ql =-8 (02 + 04 ), 02 =
K 2
21
0з =
ц ^ П
(1.6)
Выражения для множителей 92,94,К2,К3 известны [6].
Методика решения данной задачи аналогична подробно изложенной ранее [2], поэтому лишь кратко укажем основные этапы громоздких преобразований.
Перейдем в соотношениях (1.1)—(1.5) к безразмерным переменным (обозначаем их звездочкой снизу)
р =р*
U = U*
L3
p = p*L3, T = T*
jL
R L
X —
(0)
L Li R L L1
J1 = J1*L, Ц = ц*ц(0), k = k*R ц(0), D = D*^(0); R = k Здесь
t = t*L3, q = q*
L
£l + £_ ^ m m2
L
(1.7)
ц(0) = ц(Т(0), c-), T(0) = T -
jM
Y +1
1 + ■
1
YM
Выберем в качестве малого параметра величину
£ — U* —
2y(M7 -1)
(y + 1) (YM 2 + 1) V YP
; M — и , (u ; и+) — и (x — -<»; x — +œ)
(1.8)
(1.9)
где М — число Маха перед волной (при х = -да).
Введем зависимые ю, О, / и независимую £ переменные формулами
Y £ щ. = —'— + - ю, T = Y +1 2
Y
Ч2 ол, , п 4
- %
£1* = £1 + £f, X* = -£
(Y + 1)2 2(y + 1)
ю (0) = 0, ю- = 1, ю+ = -1 = -1 = 1, f- = 0, f + = 0
(1.10)
(1.11)
Решение системы уравнений (1.1), преобразованной при помощи выражений (1.7)—(1.10), ищем в виде
2 2 2 ю = ю0 + £ю1 + £ ю2 + •••, 9 = 90 + б91 + £ 92 +..., / = /0 + Б/1 + £ /2 +...
Используются основные идеи эффективного метода возмущений [5]: малый параметр (1.9) остается конечным при М ^ да, условия (1.11) не зависят от е. Диффузионный поток /1* и, следовательно, возмущение концентрации cí порядка £2, поэтому функция /0 = 0, в силу чего опущено указанное выше слагаемое в формуле (1.5) для т(2), а
в возмущении навье-стоксовых коэффициентов переноса достаточно учесть только производные по температуре T. Последние можно записать в виде
A* = A*0) + (A)t-Y-\-A = (,X, D, ат)
1 2 (Y + 1)
, , dA*(T, с-) 2 ( 1 ^2 (1.12)
(A)T =--, T = T jM I 1 + -Ц-1 T*
V >T dT* r { jM2)
Первое слагаемое в правой части первой формулы (1.12) A*0) = A*(T(0) , c1), причем величина T (0) определена второй формулой (1.8), так что
ц*0) = 1, D*0) = , Х*0) = , aT0) =ат (Т С (1.13)
ц R ц
Производная (A)T берется при
т* = Т*0), Т*(0) (1.14)
(Y + 1)2
Если некоторая величина A зависит от температуры по степенному закону (A ~ Ts, s = const), то при учете формулы (1.14) имеем
(A)T = A*0)s/T*0) (1.15)
В линеаризованном навье-стоксовом приближении получаем
Q ,drn0 2 Л , 4у
9о ^^ Ъ—f = ®о - 1 b = -—— 2
d^ (у +1)2
4 + ft-i Х*0) + xfx2-a2YD*0) 3 y
(1.16)
а = ар +-—1 а(0), ар =[-| (т2 -т1)
У Ы
Из второго уравнения (1.16) при учете условий (1.11) находим
ю0 =-ЛХ, X = $/Ь (1.17)
После этого из уравнения
й Юп с-с-а (Y + 1) Б*0)
= _Н™о. н = 1 2 ^-1--(1.18)
й^ 2
при учете равенства (1.17) получаем
/1 = Н(Ь (Л2 X )-1 (1.19)
Если функции ю0 и 90 антисимметричны относительно точки £ = 0, то функция — симметрична, концентрация в ударной волне растет до максимального значения при £ = 0, затем уменьшается.
В следующем приближении нужно учитывать вторые члены первой формулы (1.12) и барнеттовы слагаемые соотношений переноса (1.5) при учете формул (1.16)—(1.19).
После громоздких преобразований находим уравнение
, d , G d в0
b—r - 2©i©o =-3-20
d9(y + 1)3 d^
G = Gi + G2 + G3
Gi = -64y - 72 (y -1)3 Xf + 48 (y - 1)3 -- 36x-x-a 2y2{y + 1 + [x-x-(a- +af)(2 (y- 1)a^0) + Ya-2)]}Df2 +
+ 48x-x-a 2y 2 (Y - 1)il - 3 (a- + 2aT°))Xi0)} D*0 l 2 aY J
G2 = 9y (y -1) b (4 (ц)т + (Y-1)- (X)T + 2x-x-a (y -1) D*0) (ar)T + x-x-a2y (D0)). 13 y
G3 = 3y (y + 1) [16YQ2 + 3 (y -1) (7Q - 8Q3) -12x-x-YaQ откуда
x Л
(1.20)
(1.21)
Ю1 = FG inÇ^,
ch2 X
F =
9(y + 1)3b2 '
(1.22)
Коэффициент Ь определен третьей формулой (1.16), учтено равенство ц*0) = 1. В формулах (1.21) использовано обозначение (1.15). Далее при учете соотношений (1.15)—(1.22) находим
(0w0)
31 =--1— [FGlnchX + d], d = —(4y-2(y- 1)X*0) -x1 x2ay(ap + 2aTW} (1.23)
chz X thX
/2 =-77гЬ(Г + bHFG [ - 21n chX]} b ch X
Г = c-c-(y + 1){Q4 - ^ (a- + a(0')[4-1-1 X<0)jD<0) +
(1.24)
1 , - - ГY -1 (0)' -1 + x1 x2 lJ-aT + aa,
Y
D
(0)2
-сГс^ау (У-1) (Б*0))т + (у -1)2 Б*0)(Х*0))Т + (у + 1)2 + «г^ Б*0) | (1.25)
2. Параметры асимметрии. Согласно формуле (1.19) профиль концентрации симметричен относительно X = 0, однако возмущение ^ добавляет антисимметричную величину, равную нулю при X = 0. Параметр асимметрии профиля концентрации естественно ввести следующим образом:
Qc = j (C1 - c-)dX
J (C1 - c-)dX
-1
= j (/1 + /)dX
j (/1 + г/2 )dX
-1
Используя соотношения (1.9), (1.24) и (1.25), получим
Qc = 1 + —s + O(s2) bH
(2.1)
(2.2)
4 Прикладн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.