ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2011, том 47, № 3, с. 56-67
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ И ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
© 2011 г. А.А. Акаев, В.Н. Соколов, Б.А. Акаева, А.И. Сарыгулов
(Москва, Санкт-Петербург)
Рассматриваются вопросы влияния демографической динамики и технологического развития на темпы экономического роста. Предлагается модель прогноза долгосрочной экономической динамики, учитывающая режим демографического роста с возвратом.
Ключевые слова: асимптотические модели, демографическая динамика, долгосрочный экономический рост, демографический рост с возвратом.
В основе всех современных моделей экономического роста лежит неоклассическая модель роста, предложенная нобелевским лауреатом по экономике Робертом Солоу (Solow, 1956, p. 65-94):
Y(t )= A (t) K a(t) L1-a (t), (1)
где Y(t) - текущий объем выпуска национальной продукции (ВВП); K(t) - текущий объем физического капитала; L(t) - численность занятых в экономике (труд); A(t) - уровень развития инновационных технологий (технический прогресс).
Благодаря производственным инвестициям I(t) накопление физического капитала происходит одновременно с выбытием действующего капитала с нормой nK и описывается уравнением накопления капитала (Столерю, 1974, с. 376):
dK
= IK - MkK = skY - HkK, (2)
dt
где sK - норма накопления сбережений.
Р. Солоу при анализе экономического роста на основе разработанной им модели (1)-(2) исходил из постоянного темпа роста населения (рабочей силы), т.е. экспоненциального роста населения:
= n = const, L = L0ent. (3)
Ldt 0
Данное предположение было справедливым с высокой точностью для всей индустриальной эпохи вплоть до 1980-х годов, когда имел место гиперболический рост населения мира (Капица, 2008). Однако после этого темпы роста населения мира и отдельных стран стали существенно меняться, причем по различным сценариям. Поэтому современные модели прогнозирования долгосрочного экономического роста должны базироваться на новых моделях расчета демографической динамики, с учетом возможных сценариев демографического развития.
Ключевую роль в модели роста Солоу (1) играет фактор технического прогресса A(t), который по существу представляет собой совокупную факторную производительность. Лауреат Нобелевской премии Ян Тинберген в своих расчетах по прогнозированию экономического роста в различных странах широко использовал производственную функцию вида (Тинберген, Бос, 1967):
Y = ae VKа L1-a, a = const, (4)
где c - темп технического прогресса. Таким образом, Я. Тинберген предполагал, что технический прогресс развивается с постоянным темпом роста, что также с высокой точностью было справедливо для большей части XX столетия. Но уже с конца прошлого века стало наблюдаться заметное замедление темпов технического прогресса и углубление его циклических колебаний, что было показано в совместной работе Дж. Силверберга и Б. Верспагена (Silverberg, Verspagen, 2003, р. 689) и иллюстрируется графиком, представленным на рис. 1.
18 16 1412 10
л
л
и
\
4 -1-1-1-1-1-1-1
1750 1775 1800 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975
Рис. 1. Темпы технологического роста 1750-1975 гг.: число базовых инноваций за пятилетие
Из рассмотрения графика видно, что темпы технического прогресса, достигнув максимума в период с 1930 по 1960-е годы, затем пошли на спад, который продолжается и в настоящее время. Есть все основания утверждать, что эта тенденция сохранится, по крайней мере, до 2050 г., т.е. до окончания 6-го Кондратьевского цикла (2015-2050 гг.).
Позже было установлено, что технологический рост описывается уравнением Кузнеца-Кре-мера (Kremer, 1993):
dA
-dA = bN, (5)
Adt
где N - численность населения, b - постоянный коэффициент. Эмпирическая проверка данного уравнения, проведенная в работе (Коротаев, Малков, Халтурина, 2007), полностью подтвердила его справедливость для эпохи гиперболического роста. Из уравнения технологического роста (5) следует, что предположение Я. Тинбергена о постоянстве темпов технологического роста могло быть принято лишь в краткосрочном плане, поскольку N менялось по гиперболическому закону. Однако Ч. Джонс недавно показал, что в современных условиях уравнение Кузнеца-Кремера (5) также не работает для большинства развитых и динамично развивающихся экономик (Jones, 1995).
В практических моделях средне- и долгосрочного экономического роста, широко использовавшихся в 1960-1980-х годах в развитых странах, допущения о постоянстве темпов роста численности рабочих (3) и технического прогресса (4) принимались почти как аксиома. В качестве примера можно привести модель экономического роста для Франции, всесторонний анализ которой дан в ставшей классической книге Л. Столерю (Столерю, 1974). Между тем указанные допущения, которые не могут быть приняты в современную эпоху, все еще встречаются в большинстве современных руководств по макроэкономической динамике последних лет (Шараев, 2006), (Прасолов, 2008).
В настоящей работе нами предлагаются асимптотические модели, учитывающие смену парадигмы как в демографическом развитии, так и технологическом росте, которые уже делают неприемлемыми допущение Р. Солоу о постоянстве темпов роста населения и допущение Я. Тинбергена о постоянстве темпов технического прогресса. Они названы асимптотическими, поскольку дают асимптотическое приближение решения задачи.
1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
В 1960 г. Х. фон Ферстер, П. Мора и Л. Амиот (Foerster, Mora, Amiot, 1960) провели статистическую оценку демографических данных на протяжении всего времени существования человечества и обнаружили, что кривая роста численности населения Земли прекрасно аппроксимируется гиперболической кривой:
N = C/(Tp - T), (6)
где C = 200 х 109, TP = 2026 г.
Гиперболический рост (6) продолжался до 1962 г., когда реальная динамика численности населения Земли стала отходить от гиперболической кривой с уменьшением темпов роста населения. В 1962-1963 гг. наблюдалось максимальное за всю историю человечества значение темпов прироста населения - 2,19 % в год, сменившееся последующим плавным падением, которое продолжается и поныне (Коротаев, Малков, Халтурина, 2007). Это явление получило название "глобального демографического перехода" и состоит в смене взрывного гиперболического роста режимом стабилизации населения. Первой свою демографическую революцию еще в XVIII в. совершила Франция. В большинстве развитых стран демографический переход произошел в XIX-XX вв., тем самым стабилизировав общее население на уровне "золотого миллиарда". Для развивающихся стран, включая Китай и Индию, это событие еще впереди, и оно будет для них большим испытанием на устойчивость.
Вопрос о том, как поведет себя демографическая динамика после перехода, был предметом многочисленных исследований. Наиболее фундаментальные результаты были получены С. Капицей (Капица, 2008). Он дал объяснение гиперболическому росту населения Земли, показав, что уравнение для скорости роста населения имеет квадратичную зависимость от численности населения, выражающую кооперативный механизм развития:
dN = rN2, r = const. (7)
dT
Решением данного уравнения как раз и является гиперболическая функция (1), если принять r = C~K Уравнения вида (7) описывают процессы, которые известны как "режимы с обострением". Характерная черта таких уравнений состоит в сингулярности, т.е. в том, что в некоторый конечный момент времени TP решение уходит в бесконечность.
Для описания демографического перехода С. Капица модифицирует уравнение (7) путем подстановки решения (1) в правую часть уравнения:
dN = . (8)
dT (TP - T)2
Далее он вводит в это уравнение параметр x, характеризующий активную продолжительность жизни человека и время его репродуктивной способности - факторы, ограничивающие скорость роста к моменту ее приближения к своему пределу в переходный период:
dN =_C . (9)
dT (TP - T)2 + x2
Полученное таким образом уравнение (9) уже не дает обострения - ухода решения в бесконечность. Напротив, при такой модификации численность населения стабилизируется на уровне 11-12 млрд чел., что согласуется с отдельными прогнозами демографов. Более того, уравнение (9) имеет простое аналитическое решение:
N = K2arcctg((T1 - T)/x), K2 = C/x. (10)
С учетом имеющихся данных мировой демографии С. Капицей были получены следующие значения для постоянных параметров:
C = 163 X109; K =60100; T1 = 1995 г.; x = 45 лет. (11)
При этом численность населения Земли асимптотически стремится к стационарному значению ^тах = = гК2 , 11,36 млрд чел. С. Капица также утверждает, что глобальный демографический переход происходит за время, равное 2х, т.е. за 90 лет, с 1950 по 2040 г. Графическое изображение эволюционного демографического развития человечества по модели Капицы (10) представлено на рис. 2. Из рассмотрения рисунка видно, что модель Капицы прекрасно описывает демографическую динамику человечества, особенно на стадии демографического перехода. Следует отметить, что формула Капицы (10) справедлива только в случае устойчивого эволюционного развития человечества. А для этого потолок несущей емкости биосферы Земли не должен быть менее 12 млрд чел.
ЛГ, млн чел.
Рис. 2. Эволюционная модель численности населения мира
Модель Капицы дает также хорошее описание демографической динамики большинства развитых и отдельных развивающихся стран, способных обеспечить устойчивый эволюционный рост численности населения. Важным необходимым условием при этом является отсутствие принудительного ограничения рождаемости и существенного влияния миграционных потоков на социально-экономические процессы. К таким странам относятся, например, США, страны Западной Европы, Бразилия и многие другие. Траектории демографического развития отдельных из указанных стран представлены на рис. 3.
А. Акимов еще в 1970-е годы разработал оригинальный метод прогнозирования численности населения с помощью операционального описания демографического перехода и прецедентов демографическ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.