научная статья по теме АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКИХ ТЕЛ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ, В ПЛАНЕ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ Математика

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКИХ ТЕЛ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ, В ПЛАНЕ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 75. Вып. 5, 2011

УДК 539.3

© 2011 г. Л. А. Агаловян, Р. С. Геворкян

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКИХ ТЕЛ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ, В ПЛАНЕ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ

На основании трехмерных уравнений связанной динамической задачи термоупругости анизотропного тела асимптотическим методом выведены двумерные рекуррентные разрешающие уравнения для неоднородного тонкого тела (пластины переменной толщины, оболочки), которые решены в случае анизотропии, обладающей в каждой точке одной плоскостью симметрии перпендикулярной поперечной оси. В общей постановке выведены рекуррентные формулы для определения компонент тензора напряжений, вектора перемещения и функции изменения температурного поля, когда на лицевых поверхностях тонкого тела заданы различные граничные условия динамических задач теорий связанной термоупругости и теплопроводности. Разработан алгоритм определения аналитических и численных (при необходимости) решений поставленных краевых задач с произвольно заданной точностью.

Впервые предложенный [1, 2] асимптотический метод решения краевых задач теории упругости для анизотропных полос, пластин и оболочек, когда на их продольных краях и лицевых поверхностях заданы значения компонент вектора перемещения или условия смешанной задачи теории упругости (неклассические задачи тонких тел) оказался эффективным для решения как статических [1—5], так и динамических [6—11] краевых задач. Этим методом решены также задачи термоупругости для анизотропных слоистых пластин и оболочек [3—5] в предположении, что функция изменения температурного поля удовлетворяет уравнению теплопроводности [12—14], а также связанная динамическая задача термоупругости для изотропной пластины [15].

1. Постановка краевых задач. Рассмотрим тонкое тело, ограниченное гладкими непересекающимися поверхностями и занимающее область в прямоугольной системе координат Оху1

о* = {х, у, г: - ю < х, у < ю, ф- (х, у) < г < ф + (х, у)}

к = 8ир|ф + (х,у)-ф-(х,у)|, к ^ I где I — характерный продольный размер тонкого тела.

Пусть на лицевых поверхностях г = Ф± (х, у) тонкого тела заданы условия первой краевой задачи теории упругости

<5*х (г = ф±) соз(3±, х) + о*у (г = ф± ) соз(3±, у) + (г = Ф±) соз(3±, г) = Ф*1 (х, у, г), У = х, у, г (1.1)

^^ х) = -1±(ху), £± (х у) = -дф(ху)

Л± дх

ес8 (+, г ) = Л±, л + = ±Л1 +

(дФ+12 +(дЕ

дх

ду

а также значения перемещении

и*(х,у,ф ,г) = и"*±(х,у,г), у = х,у,г (1.2)

или смешанные граничные условия теории упругости, соответствующие значению условии (1.1) при выборе индекса плюс и условий (1.2) при выборе индекса минус.

Здесь Ф|± (х, у, г), и*± (х, у, г) — заданные достаточно гладкие функции.

Одновременно пусть на поверхностях г = ф±заданы значения температуры

9*± =0*(х, у, г = ф±, г) (1.3)

или проекции вектора потока теплоты на нормали к поверхностям [12]

(1.4)

у*(г = ф ± )ес8(3±, х) + у* (г = ф± )ес8(3±, у) +

+ у*(г = ф ± )ес8(Э±, г) = ©*± (х, у, г)

Пока не будем конкретизировать условия на боковой поверхности тела. Для тонкого тела конечных продольных размеров (|х, у| < (а, Ь)) к решениям сформулированных выше внутренних задач /т следует добавить согласованное с ним решение задачи пограничного слоя / [3, 4]. Не ставятся также начальные условия, поскольку рассматривается установившийся термодинамический процесс. Тонкое тело предполагается анизотропным и в плане неоднородным, с 21 упругим и 12 термическими коэффициентами, зависящими от продольных координат х, у. Требуется определить компоненты вектора перемещения и тензора напряжений, а также температурную функцию и исследовать их поведение.

Для решения поставленных задач необходимо найти решение уравнений динамического равновесия

+ — + — + X* =рих (х, у, г; X, ¥, ^ (1.5)

дх ду дг

и теплопроводности [16, 17]

1Т + 1Т + 1Т + + д (р1*и + Р2з« у + Р?зйг) = Г * - и

дх ду дг дг

Ух =-^11 ^ - ^12 д^-^13 дг (х, у, г; 1, 2, 3) (1.6)

дх ду дг

и = р?1 +Р*2 ду+Р?2 ^дд^^х+дУ ]+Р?з д?+в2з ^

дх ду {ду дх) дх ду в* (х, у) = ву(х, у)Т0

анизотропного, неоднородного в плане тела, удовлетворяющее одной из комбинаций граничных условий (1.1)—(1.4), при учете связей между компонентами тензора напря-

жений и вектора перемещения анизотропного, в плане неоднородного тела (обобщенный закон Гука)

col [exx - ane,..., - «120] = Ы16X6 co1 [axx'ayy •••>axy]

dux = dux duy

dx ' x dy dx

dux dux duy (I.7)

exx = ~rx, exy =(x, y, z)

или

INI6x6 = Ы^ аи = j bj = bj

col [a xx +pn9'...'ü xy +Pi20] = |NI 6x6 col

[exx,eyy'...'exy ] (1.8)

col [Pii'P22'...'Pl2 ] = INI 6x6 col

[a11' a22'...'a12]

В уравнениях и соотношениях (1.5)—(1.8) все физико-механические коэффициенты — функции продольных координат x, y. Причем ajx, y) = y) — коэффициенты деформации, bjx, y) = bj¡(x, y) — коэффициенты упругости, p(x, y) — плотность, X*, Y*, Z — компоненты объемных сил, X¡j(x, y) = Xj¡(x, y) — коэффициенты теплопроводности, ce(x, y) — удельная теплоемкость при постоянной деформации, ajx, y) = a j¡(x, y) — коэффициенты линейного расширения, T0 — начальная абсолютная температура, W* — удельная плотность источника тепла, Х33/ сЕ = x33(x, y) — коэффициент температуропроводности.

2. Вывод разрешающих уравнений. Пусть в граничных условиях (1.1)—(1.4) и в уравнениях (1.5), (1.6) заданные функции имеют вид

V*(x, y, ф±, t) = V± (x, y) sin at, V = {uj, Ф j, 0, ©}

X* (x, y, z, t) = X (x, y, z) sin at (X, Y, Z, W) .

(условия (2.1) вносят некоторые ограничения, которые будут сняты позже). Представим все искомые величины, входящие в соотношения (1.5)—(1.8), т.е. компоненты вектора перемещения, тензора напряжений, функцию изменения температурного поля, в виде

Q (x, y, z, t) = Qi (x, y, z) sin rat + Q2 (x, y, z) cos rat, Q = [ujOy, 9, qj} (2.2)

Подставив выражения (2.1), (2.2) в уравнения (1.5), (1.6) и соотношения (1.7), (1.8), затем перейдя к безразмерным координатам и безразмерным перемещениям по формулам

% = f n= y, Z= z = e-1 z, S = h uk = uuf, uk = u-f, wk = u-f; k = 1,2 (2.3)

l l h l l l l l

получим систему из восьми сингулярно возмущенных геометрическим малым параметром s уравнений. Их асимптотическое решение складывается из двух типов решений [3, 4, 18—20]: /nt — решение внутренней задачи, оно удовлетворяет граничным условиям, заданным на лицевых поверхностях тонкого тела, и Ib — решение задачи пограничного слоя, на лицевых поверхностях тела оно удовлетворяет соответствующим

нулевым условиям и в сумме с решением внутренней задачи удовлетворяет граничным условиям, заданным на торцах пластины.

Решение внутренней задачи ищется в виде асимптотического разложения [3, 4]

Ок (х, у, г) = X вХоОк(5) ( П, С), к = 1,2 (2.4)

5=0

где 0к — любая из неизвестных компонент их, иу, иг вектора перемещения, тензора напряжений а у и изменение температуры 0, 1о — асимптотический порядок соответствующей величины: %и = 0 для всех перемещений, хст =-1 для всех напряжений, Хе = -1 для температурной функции [1—11]. Такие асимптотические порядки впервые установлены [1, 2] в статических краевых задачах для полос и пластин с аналогичными (1.1)—(1.2) кинематическими и смешанными граничными условиями.

Представим заданные объемные силы и источник тепла в виде асимптотических разложений

х = г1 £ в-2+5х( п, С), V = г2£ в-3+5ж( п, С)

5=0 5=0 ^ ' ^

х(0) = 1в2х, V(0) = 12в3V, х5 = V5 = 0, 5 Ф 0 (х, У, Z)

Считается, что объемные силы и источник тепла влияют на напряженно-деформированное состояние пластины начиная с первого шага итерационного процесса, это будет тогда, когда их асимптотические порядки будут соответственно е-2 и е-3, в противном случае их вклад будет проявляться в последующих приближениях.

Подставив выражения (2.4), (2.5) в преобразованную систему уравнений (1.5)—(1.8) и приравняв в каждом уравнении коэффициенты при е5 (5 = 0,1,2,..., 5) в левых и правых частях, получим непротиворечивую систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения (2.4), что свидетельствует о правильности установленной асимптотики. В результате получается система из восьми уравнений вида

(¿35^ + ¿45^ + Ь55ик5)) + Ш2рИ245) = Р13 ^ +

дС, дЦ

(и, и, 4,3; 13,2 3,3 3)

2аМ

+ (3 - 2к)

5 2С

2

®И . ,2 д , М . М , (5) \

-034 + юИ — (П13и3-к + П23и3-к + П33^3-к)

. Х33

(2.6)

лМ

= (к - 2)— + В&, к = 1,2

Л33

а для компонент тензора напряжений имеем соотношения >) _ „-(5) О 0М , *М <» _ „.М П Д« , *М

(5) _ (5) П *(5) (5) _ (5) п д(5) *(5) / | л ^

ххк - тххк - Р11°к + тххк, хгк - тхгк - Р13 °к + тхгк (( y, ^ Ь А 3)

У -д У? + Ъ^ + Ь^), тЦ -тк к - 1,2 (2.7)

дС,

(хх, уу, ц, уг, хг, ху; 1,2,3,4,5,6), у - 1,2,..., 6

Здесь

^ = Х33(х, у), Пу(х, у) = РуТ0- = Р~, /, У = 1,2,3

^33 ^

33

в® = (к - 2)хм -

ПК V /

ос, дп

(5-1)

5а'

.(5-1) хук

-у *М

5Х*гк

"

(х, у; С, п; и, и; х, У), к = 1,2

ООхгк иЪугк

В® = (к - 2^-д^ - я

ос, дп

Ят*(5)

дтггк

(2.8)

*(5) - V. т ук - Ъу1

ди^-1)+Ъ дик-1)+Ъ

+ ЪУ2—-+ Ъу4

дЕ дп

у = 1,2,3,4,5,6; к = 1,2

дТС!

дп

+ Ъ

У 5 '

дТЦ

дЕ

+ Ъ

У6

(5-1)

дик ) дп

дик

(5-1)

дЕ

Вк = (2к - 3) (йИ2и^ -е*к

ТТ*М _ _ дик ) ик _ П11

+ П22

Я (5-1)

дик

+ П12

^-1) +дик-1)

0(5) = 5

дК

43"

50Т) дЕ

+ Х

23 ■

50Т) ^ дп

д^

дд хк

дп

(5-1) дд(;к1]

дЕ, дп

+ П13

дТС!

+ П23

дТ)

дп

к = 1,2

Таким образом, восемь уравнений (2.6) при учете соотношений (2.7), (2.8) составляют систему разрешающих приведенных уравнений сформулированных выше краевых задач.

3. Общий интеграл краевых задач. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.6) — сумма общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы. Общее решение однородной системы ищется в виде

ек5) = Л$ехр(Я.О,

к = 1,2

(3.1)

где 0к5) — любая из неизвестных компонент вектора перемещения или функция изменения температурного поля.

Подставив выражения (3.1) в систему (2.6), получим характеристическое уравнение системы, в общем случае для анизотропной в плане неоднородной пластины переменной толщины представляющее собой алгебраическое уравнение шестнадцатой степени относительно X, которое запишем в виде раве

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»