ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 1, 2014
УДК 531.38
© 2014 г. А. А. Адуенко, Н. И. Амелькин
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЙ ТЯЖЕЛОГО ВОЛЧКА С ВНУТРЕННЕЙ ДИССИПАЦИЕЙ
Рассматриваются предельные движения тяжелого волчка, моделируемого системой твердых тел, при наличии внутреннего трения. Определено все множество предельных движений и детально исследован характер их устойчивости для случаев, когда несомое тело волчка имеет а) три и б) одну степень свободы относительно несущего тела. Результаты анализа случая а распространяются на движения волчка с жидким наполнением. Для случая б определены значения параметров, при которых волчок, помимо стационарных вращений, имеет нестационарные предельные движения, представляющие собой интегрируемые движения в частном случае Бобылева— Стеклова.
Ранее [1—5] рассматривались задачи об устойчивости систем с внутренней диссипацией, моделируемых твердым телом с жидким наполнением. Ниже исследуются предельные движения тяжелого волчка с неподвижной точкой, моделируемого системой твердых тел.
1. Постановка задачи. Рассмотрим волчок, состоящий из несущего твердого тела с неподвижной точкой О и некоторой совокупности несомых тел. Предполагается, что момент сил реакции в точке О равен нулю, а диссипация обеспечивается только за счет внутренних сил, возникающих при относительных движениях несомых тел. Исследуются предельные движения волчка в однородном поле тяжести.
Будем полагать, что на систему наложены стационарные связи, так что положение несомых тел относительно базиса Ое^2е3, жестко связанного с несущим телом, задается п-мерным вектором координат х. Обозначим через J тензор инерции, а через a — радиус-вектор центра масс волчка в базисе Ое^2е3. Для системы, не обладающей свойством гиростата, тензор J и вектор a будут зависеть от х.
Кинетический момент волчка относительно неподвижной точки О можно записать в виде
п
к = К* + Кг = J ю + £ Ь к (х) хк (1.1)
к=1
где К * = Jш — кинетический момент переносного движения, ш — угловая скорость несущего тела, К — кинетический момент несомых тел относительно базиса О е1е 2е 3, линейно зависящий от скоростей х.
Кинетическая энергия волчка определяется формулой
Т = Т* + юТКг + Тг = + шТ£ ЬкШк + £ аШ]Хк (1.2)
2 к=1 у,к=1 2
где Т — кинетическая энергия несомых тел относительно базиса О е1е 2е 3, представляющая собой квадратичную форму скоростей Х.
Полная энергия волчка имеет вид
Е = Т + П = Т + и(х) + mgiTa(x)
(1.3)
где и (х) — потенциальная энергия внутренних консервативных сил, т — масса волчка, 1 — единичный вектор восходящей вертикали.
Запишем уравнения движения волчка в фазовых переменных ю, х, х, 1. Применяя для всего волчка теорему об изменении кинетического момента относительно точки О, будем иметь
п п п ( п \
дз
+ Е д^ Хк& + Е Ь кХк + Е Т^А + Ю Х + Е Ь кХк
к=1дХк к=1 к,!=1 дХ1 \ к=1
= mg 1 х а
(1.4)
Остальные уравнения можно получить, записывая уравнения Лагранжа по переменным х:
¿1
дТ \ дТ дП , , ,
+ ^ = Qk(x), к = и,---,п
удхк) дхк дхк
(1.5)
Здесь Qk (Х) — обобщенные силы, соответствующие внутренним диссипативным силам, удовлетворяющие условиям
Qk(0) = 0, к = 1,2,--.,п, X^^^^ < 0 к=1
При учете выражений (1.2), (1.3) уравнения (1.5) запишутся в виде
(1.6)
сИ
( п \
т, ^ . 1 т дЗ т^дЬ] • 1 V да}к ■ ■ ои т да ^
,дЬ! . 1 " даД . . ви , т да
!=1
2 дхк
!=1
дхк
'!,*=1
дхк
дхк
дхк
(1.7)
к = 1,2, ---, п
Уравнения (1.4), (1.7) дополняются до замкнутой системы кинематическими уравнениями Пуассона
1 = 1 х ю (1.8)
описывающими движение вектора вертикали относительно несущего тела.
Уравнения (1.4) имеют первый интеграл, описывающий сохранение проекции кинетического момента на вертикаль:
/ = 1Т К = 1Т
( п \
1ю + £ Ь к (Х) Хк
V к=1
= К = со^
а уравнения (1.8) — геометрический интеграл 12 = а2 +р2 +у2 = 1
(1.9)
(1.10)
Здесь а, Р, у — компоненты вектора вертикали в базисе О е1е 2е3.
Производная по времени от полной энергии волчка равна мощности внутренних диссипативных сил и удовлетворяет неравенству
Е?(Х) = XQkХк < 0
к=1
(1.11)
п
п
2. Предельные движения. Считая выполненным естественное предположение о том, что потенциальная энергия U(x) внутренних консервативных сил ограничена снизу, получаем, что и полная энергия волчка (1.3) также ограничена снизу. Поэтому в силу неравенства (1.11) функция E на любом движении имеет предел, причем каждое предельное движение удовлетворяет условию Е? = 0. Полагая далее, что диссипация действует при любом относительном движении несомых тел, будем иметь Е < 0 при х ф 0. Отсюда следует, что для предельных движений х = 0, т.е. волчок движется как единое твердое тело. Полагая в уравнениях (1.4), (1.7) х = 0, получим для предельных движений систему уравнений
Л га + га х Л га = mg I х а (2.1)
юТЬк -1 юТЛю + ди + mgiT-да = 0, к = 1,2,...,п (2.2)
2 дхк дхк дхк
1 = I х га (2.3)
В случае, когда волчок является гиростатом, т.е. вектор а и тензор J не зависят от x, уравнения (2.2) принимают упрощенный вид
юТ Ьк +— = 0, к = 1,2,..., п (2.4)
дхк
Уравнения (2.1)—(2.3) образуют переопределенную систему из п + 6 дифференциальных уравнений для шести скалярных переменных — компонент векторов га и 1, а переменные х выступают в них в роли параметров.
Решения системы (2.1)—(2.3), для которых га = 0, соответствуют стационарным предельным движениям волчка. Из уравнений (2.1) и (2.3) следует, что стационарные движения волчка представляют собой вращения вокруг вертикали и описываются уравнениями
га = ю 1, га21 х Л = mg I х а (2.5)
1Т Л + дЛ + mgiT 5а = 0,к = 1,2,...,п (2.6)
2 дхк дхк дхк
Неизвестными являются величина ю угловой скорости, положение оси 1 в связанном с несущим телом базисе О е1е 2е3 и значения вектора x. Для определения зависимости стационарных вращений от значения постоянной K первого интеграла (1.9), можно выразить ш через K из уравнения (1.9), положив х = 0. Тогда получим
га = га 1 = К1/ (1Т Л) (2.7)
Покажем, что стационарные движения волчка находятся во взаимно однозначном соответствии со стационарными точками полной энергии (1.3) на многообразии, задаваемом первыми интегралами (1.9), (1.10).
Для доказательства сделаем частичную замену переменных. Вместо га введем новую переменную П, определяемую соотношением
п
Л ю + X Ь к (х) х к = Л О (2.8)
к=1
Тогда первый интеграл (1.9) запишется в виде
/ = 1Т З П = К (2.9) а для полной энергии получим выражение
Е = + т' + и (х) + mgiT а (2.10)
где
Т п . . ( п ( п \
т. = ^ = Е -1 Е ЬкХк З-1 IЬкХк
!,к=1
V к=1
V к=1
(2.11)
Функция (2.11), как нетрудно видеть, представляет собой кинетическую энергию волчка относительно базиса, который вращается с угловой скоростью П, и поэтому является строго положительно-определенной квадратичной формой скоростей Х.
Найдем стационарные точки полной энергии (1.3) на многообразии (1.9), (1.10). Записывая условия стационарности функции Лагранжа
Ь = Е + 1 / + ц 1Т1/2 (2.12)
по переменным П, Х, х и 1, получим уравнения
^ = 0 ^ ЛО + А, Л = 0 (2.13)
эо
^ = 0 ^ В Х = 0 (2.14)
дх
дЬ п 1п Т дЗ „ ВТ' , ди (х) .Т да л .Т дЗ 0 п
-= 0 ^-£2 -£2Н---1--— + mgl--НК 1 -£2 = 0 (2 . 1 5 )
дхк 2 дхк дхк дхк дхк дхк
— = 0 ^ mga + ХЛю + ц1 = 0 (2.16) 51
В силу строгой положительной определенности матрицы Б из уравнений (2.14) и (2.8) следует
Х = 0, £2 = т (2.17)
При учете этих соотношений из уравнений (2.13), (2.15) и (2.16) получим уравнения, тождественно совпадающие с уравнениями (2.5) и (2.6), описывающими стационарные движения волчка.
Доказанное свойство стационарных движений в сочетании с условием (1.11) можно использовать для исследования их устойчивости, рассматривая в качестве функции Ляпунова полную энергию волчка (1.3). При этом точки строгого условного минимума полной энергии на множестве (1.9), (1.10) устойчивы в вековом смысле (удовлетворяют достаточным условиям устойчивости), а точки, в которых функция (1.3) не имеет даже нестрогого условного минимума, неустойчивы в вековом смысле. В свою очередь, по теореме Барбашина—Красовского [6], если в окрестности рассматриваемой точки на многообразии (1.9), (1.10) при фиксированном значении K нет целых траекторий других предельных движений системы, то из вековой устойчивости следует условная асимптотическая устойчивость (асимптотическая устойчивость по отношению к возмущениям, для которых постоянная K первого интеграла (1.9) не меняется), а из вековой неустойчивости — неустойчивость по Ляпунову.
Анализ вековой устойчивости стационарных движений можно провести в два этапа. На первом этапе определяются условно стационарные точки полной энергии по переменным ю и x при фиксированных значениях x и i. Используя замену переменных (2.8), получим систему уравнений (2.13), (2.14), решения которой даются равенствами (2.17), ю = юi, X = -ю. Характер условной стационарности функции E по указанным переменным будет определяться квадратичной формой
d2E + Х d2 f = (da)T J da + (dx)TD dx (2.18)
на множестве переменных d Q, d x, удовлетворяющих уравнению
df = iTJ da = 0 (2.19)
Поскольку форма (2.18) является, очевидно, строго положительно-определенной, то на решениях (2.17), ю = юi, X = -ю достигается строгий условный минимум полной энергии по переменным ю и x. На втором этапе, подставляя эти решения в выражение (1.3) и учитывая соотношение (2.7), получим функцию
W = ш2 iTJi/2 + U(x) + mgiTa = K2/(2iTJi) + U(x) + mgiTa (2.20)
зависящую только от переменных x и i и представляющую собой эффективную потенциальную энергию волчка. Ее стационарные точки по переменным x и i будут соответствовать стационарным движениям волчка, точки строгого минимума будут удовлетворять достаточным условиям устойчивости, а точки, в которых отсутствует минимум, будут неустойчивы в вековом смысле.
Нестационарные предельные движения волчка описываются множеством всех нестационарных (ю ф const) решений переопределенной системы дифференциальных уравнений (2.1)—(2.3). В зависимости от конкретной модели эта система может вообще не иметь нестационарных решений, либо допускать их только при специальных значениях параметров волчка.
Для исследовани
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.