Цена 18 руб. Переплет i р.
ЕРОВ
'. Zhytnikov. Covariant Perturba-1 University of Manitoba. Preprint.
Zhytnikov. J. Math. Phys. 1994.
66. P. 065007; hep-th/0203132. Nesterov. Phys. Rev. D. 2003.
9. P. 1.
: Gordon and Breach, 1965. Zhytnikov. J. Math. Phys. 1994.
6. P. 307; Spherically-symmetric the Second Seminar on Quantum Y.: Plenum, 1984. P. 267.
nel and nonlocal effective action.
P. 2752.
Nonlocal modification of gravity
P. 209. . ..
.4241.
улила в редакцию 2.XI.2004r.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ' J
Том 143, №3 Г Г i";'
июнь, 2005 " !
. S. I ' "■ -ЦТ Ч •■•"З.Х 'I f
- V ' • : л. ; • ЕЭ •
.<3(7 >■■ ,-.-.<а,"1'Т ч
-F, **
| 2005 г.
Э. JI. Аэро*, С. А. Вакуленко*
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДЛЯ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
и ! Рассматривается система гиперболических нелинейных уравнений, описывающая динамику взаимодействия оптических и акустических мод сложной кристаллической решетки (без центра симметрии), состоящей из двух подрешеток. Эта система может быть рассмотрена как нелинейное обобщение известной модели Борна-Хуан Куня на случай произвольно больших смещений подрешеток. При подходящем выборе пара-; 1- метров система сводится к уравнению синус-Гордон или к классическим уравнениям теории упругости. Если ввести в систему физически естественные диссипативные си-ч лы, то удается доказать существование компактного аттрактора и сходимость траекторий к равновесным решениям. В одномерном случае структуру равновесных решений можно полностью описать. В этом случае также удается получить асимптотические решения, описывающие распространение волн. При наличии неоднородных возмуще-1 ч ний данная система может быть сведена к известной модели Хопфилда, описывающей аттракторную нейронную сеть и имеющей сложные режимы поведения. ,,, . . ,
Ключевые слова: нелинейность, аттрактор, сложное поведение, нейронные сети.
1. ВВЕДЕНИЕ
.1
v:.
В данной работе мы рассматриваем асимптотическое поведение решений одной нелинейной системы уравнений в частных производных. Эта система была предложена в работе [1] как обобщение известной линейной модели Борна-Хуан Куня [2], описывающей взаимодействие акустических и оптических мод в кристаллах. Учитываются неограниченные смещения подрешеток с переходом через точки бифуркации (неустойчивости) решетки. Система весьма сложна и обладает большим спектром нетривиальных решений и режимов поведения. В частности, при некотором выборе параметров получается уравнение синус-Гордон или другие нелинейные волновые уравнения. Было показано [1], что она имеет нетривиальные решения, описывающие движение фронтов, образование периодических структур и дислокации.
Наша цель - описать поведение решений этой системы при больших временах. Это удается сделать, введя диссипативные вклады, имеющие физический смысл. Тогда при
* Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Россия.
E-mail: aero@microm.ipme.ru, vakul@mech.ipme.ru
358
э. л. аэро, с. а. вакуленко
некоторых ограничениях на параметры системы удается показать, что система обладает аттрактором. Здесь мы применяем известные подходы [3]-[7]. Еще одна цель работы -построить асимптотические решения, описывающие распространение волн и образование структур. Здесь мы используем идеи В. П. Маслова и его учеников [8], см. также [9].
В последней части работы мы анализируем связь между рассматриваемой моделью и теорией нейронных сетей. Мы показываем, что при некотором выборе параметров и при наличии неоднородных возмущений асимптотическое (при больших временах) поведение системы такого типа описывается уравнениями нейронной сети Хопфилда. Таким способом можно получить параллельную модель нейронной сети, которая обладает существенно большей ассоциативной памятью, чем обычные модели.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваемая система уравнений описывает взаимодействие оптических и акустических мод в нелинейной континуальной модели кристалла (без центра симметрии) и имеет вид ....... . <■■• - - •, „• • -.,.в,
д2щ
д2фг 1 д*
СЦс^Фк,] + л А " »
дФ
(2.1) (2.2)
Здесь и^х1,х2,хз,ь) и ф^х1,Х2, жз, ¿) - неизвестные функции, задающие компоненты смещений, порожденных акустическими и оптическими модами в кристалле. При этом {/{- это смещения центров инерции элементарных ячеек, а взаимные смещения под-решеток (взаимные смещения пар атомов внутри ячейки). Мы подразумеваем суммирование по повторяющимся индексам и используем следующие стандартные обозначения: 11 = (1/1, {/г, I/з), Ф — (0ъ 02, Фз)> Фк,]т обозначает вторую производную д2фк /дх^дхт и фк^ ~ первую производную дфк/дх^. Коэффициенты с^, и \ikjm ~ компонен-
ты тензоров, описывающих упругие свойства решетки. Нелинейности в этой системе связаны с функцией Ф(ф) - периодическим потенциалом взаимодействия подрешеток, инвариантным при их взаимном смещении на один или несколько периодов решетки. Это результат внутренней трансляционной симметрии сложной решетки, отсутствующей у простой решетки. В случае учета лишь малого энгармонизма мы можем ограничиться простым приближением Ф(ф) = aijфiфj — Ъ11ктФгФ1ФкФт- Заметим, что если Ф - квадратичная форма по , то данные уравнения являются континуальным аналогом известной модели Борна-Хуан Куня [2]. Коэффициенты сц^,], с^, к^к]т и ^гк^т обладают свойствами симметрии относительно перестановок индексов:
Ckij = ^гк]т = ^кг]т = ^Ыт] ~ (^-3)
&кг} = К'1к]т = ~ ~ (2-4)
Мы рассматриваем для системы (2.1), (2.2) начально-краевую задачу в ограниченной области Г2 с гладкой границей дП с условиями
Щ(х,0 ) = Ц?(х), фг(х,0) = фЧ(х), . (2.5)
1/г(х,г) = о, фг(х,г)= о, г^о, хедп. (2.6)
казать, что система облада--[7]. Еще одна цель работы -устранение волн и образовало учеников [8], см. также [9]. г рассматриваемой моделью тором выборе параметров и [ри больших временах) пове-нной сети Хопфилда. Таким й сети, которая обладает су-модели.
И
действие оптических и акус-ла (без центра симметрии) и
ФкЛ п
(2.1) (2.2)
лии, задающие компоненты хами в кристалле. При этом - взаимные смещения под-Ды подразумеваем суммиро-е стандартные обозначения: | производную д2фк / дх^дхт Кгк3т И \ikjm ~ компонен-елинейности в этой системе заимодействия подрешеток, лько периодов решетки. Это [ решетки, отсутствующей у >ма мы можем ограничиться Заметим, что если Ф - квад-шуальным аналогом извест-у, К1к]т и \ikjm обладают >в:
= \kmji (2-3)
= ' (2.4)
¡вую задачу в ограниченной
X),
X 6 дп.
(2-5) (2.6)
Цена 18 йуб.
"ЛЙПЛЙТ 1 В.
о
асимптотическое поведение решений
Чтобы более наглядно показать структуру системы (2.1), (2.2) и найти ее связь с некоторыми классическими нелинейными уравнениями, рассмотрим следующее приближение. Предположим, что только одна компонента ф и одна компонента II отличны от нуля, с = 0 и, кроме того, решение зависит только от одной координаты х = XI и времени Тогда уравнения (2.1), (2.2) принимают вид
Р^и — сфх + А{/Хх,
цфи = -&(Ф) ~ с11х + кфх
(2.7)
(2.8)
(здесь и в последующих формулах нижние индексы х, £ означают соответствующие производные). При с = 0 система распадается на два независимых уравнения: уравнение для оптической моды ф становится нелинейным волновым уравнением, а динамика акустической моды и описывается линейным уравнением. Нетрудно также заметить, что система (2.7), (2.8) обладает законом сохранения
Е = 1п 6[Р1/* + ^ + ^ + Кф2*] + с11хФ + Ф{Ф)) ^ (2'9)
Чтобы получить это равенство, достаточно умножить обе части уравнения (2.7) на [¡г, обе части уравнения (2.8) - на фг и затем проинтегрировать по всей области П. После интегрирования по частям приходим к соотношению = 0. Аналогичным способом можно получить интеграл энергии для системы (2.1), (2.2). При этом используются соотношения симметрии (2.3), (2.4). Имеем
тФ]ЧМ"\
эи_ дг
2 дф
+ Ц дг
+
1 \ з
+ + ^СгкзФгФк,] + I Л X,
(2.10)
где |и| = щ +щ + Щ. Существования одного интеграла движения недостаточно для описания поведения решений при t —> оо. Однако после небольшой модификации уравнений (2.1), (2.2) это описание становится возможным, как мы показываем в следующем разделе. , .
3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА ДЛЯ ДИССИПАТИВНОЙ ВЕРСИИ СИСТЕМЫ
В физических системах всегда присутствует некоторая (пусть небольшая) диссипация. Чтобы ввести диссипативные слагаемые, мы добавим члены с первыми производными по времени. Система (2.1), (2.2) принимает вид
д2иг ^ ди{ Р ор + — сгк]Фк,з + /Чкзт.ик,зт,
д2Фг
1 а*2
дф
дФ
+ = ~~ °к^ик,з + Ск{]Фк>з + Ък]тФк,]т-
дф
(3.1)
(3.2)
Цена IS
■ u. э. л. аэро, с. а. вакуленко
Мы предполагаем, что /х, щ, р, р\ > 0. Члены со второй производной по времени описывают инерционные силы, а члены с первой производной - это диссипативные вклады. Мы будем рассматривать два различных случая.
A. Потенциал нелинейных сил Ф - гладкая функция, равномерно ограниченная вместе со вторыми производными по ф. • 146.<■:«:?•.:,.. -л-,
B. Гладкий потенциал Ф допускает оценки
дЧ
и ■'. ■
^Сг(1 + \фП, 7 < 1, 101 оо,
дфiдфj Ф(ф) > -С2\ф\2 + С3\ф\\
(3.3)
(3.4)
где С, > 0.
Первое условие выполнено для системы (2.7), (2.8), например, в случае потенциала типа синус-Гордон Ф = Ь сое ф. второе - для типичных нелинейностей Гинзбурга-Ландау. Относительно Ли к предположим, что соответствующие квадратичные формы положительно определены в следующем смысле:
^ikjmrikrjm ^ikjmXik^jvn
(3.5)
для любых матриц г, |г|2 = lr»iP- " '1
Докажем простое вспомогательное утверждение. Введем стандартное пространство Соболева Яд (П), состоящее из квадратично интегрируемых на Q функций, имеющих нулевые следы на границе д(1 и обобщенные производные, которые также квадратично интегрируемы. Пространство Л1 (О) состоит из тех же самых функций, но без ограничений на след на границе.
ЛЕММА. В случае В функционал E[U, ф] априорно ограничен снизу на
Е[и,ф]^С(\\и\\2„Чп) + М2нЧп))> С>°■ (3-6)
В случае А аналогичная оценка верна при достаточно малом С = max(|ci^j| +
Локазательство. Рассмотрим сначала случай А. Заметим, что согласно (3.5)
KkjmUk,jUi,m ^ Съ \^иг\2> Съ > 0, (3.7)
i
и аналогичное неравенство верно для фг. Следовательно, все
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.