КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 6, с. 706-710
УДК 532.64
АСИМПТОТИКА ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННЫХ ЩЕЛЯХ, ЗАПОЛНЕННЫХ ФЛЮИДОМ © 2014 г. Е. Н. Бродская, А. И. Русанов
Менделеевский центр, Санкт-Петербургский государственный университет 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7 E-mail: elena_brodskaya@mail.ru Поступила в редакцию 04.04.2014 г.
Получены асимптотические формулы для функций распределения в цилиндрических щелях с конечным радиусом сечения. Задача решена на основе асимптотического принципа взаимодействия тел в рамках дисперсионных сил. Рассмотрены симметричная и несимметричная щели между двумя одинаковыми цилиндрами и между цилиндром и твердым телом с плоской бесконечной поверхностью. Проведены расчеты для симметричной щели с шириной, равной двум радиусам цилиндра.
DOI: 10.7868/S0023291214060056
В статьях [1—4] были рассмотрены несимметричная и симметричная пустые круглые щели с дисперсионными взаимодействиями. Первая располагалась между бесконечной плоской поверхностью твердого тела и торцом цилиндра нанораз-мерного сечения, а вторая щель — между одинаковыми соосными цилиндрами. На обеих стенках щели рассчитывалась нормальная компонента тензора давления, которая характеризует локальное силовое поле в щели. Хотя интегральная величина нормального давления, которая определяет силу взаимодействия двух рассматриваемых тел, на обеих сторонах щели одна и та же, локальная величина давления на разных стенках несимметричной щели различна и должна быть вычислена отдельно. При заполнении щели флюидом положение усложняется. Локальная плотность флюида будет определяться силовым полем, и, следовательно, распределение флюида в конечной щели будет отличным от распределения его в бесконечной щели. Асимптотические формулы для локальной плотности в бесконечной узкой плоскопараллельной щели были получены в [5, 6]. Задача данной работы — найти поправки к функциям распределения флюида, возникающие из-за конечного размера щели. Как и ранее, будем рассматривать системы с дисперсионными взаимодействиями.
Рассматриваемая система состоит из двух твердых тел (фазы в), разделенных узким зазором, в некоторой флюидной среде (фазе а). Тело 1 представляет собой полубесконечный круговой цилиндр с радиусом сечения а, а тело 2 может быть таким же соосным цилиндром или твердым телом с бесконечной плоской поверхностью, парал-
лельной торцу цилиндра (рис. 1). Таким образом, обе задачи, рассмотренные ранее для случая пустой щели, мы будем решать теперь совместно. Наша цель состоит в получении асимптотических формул для функций распределения в пространстве щели шириной Н, когда рассматриваемая точка находится на достаточно больших расстояниях Н и ж (Н + ж = Н) от обеих поверхностей щели. Для решения будем использовать асимптотический принцип взаимодействия, сформулированный Ку-ни и Русановым в [7, 8] и недавно примененный в [9] при нахождении функций распределения в клиновидной щели. Принцип сформулирован для молекул, взаимодействующих при помощи незапаз-дывающих парных сил Ван-дер-Ваальса с потенциалом
Ф» = -А(г Л (1)
где Л5/ — силовые постоянные (индексы относятся к компонентам) и г — расстояние между взаимодействующими молекулами.
С учетом главного асимптотического члена формулу для функций распределения р можно записать следующим образом [7, 8]:
14
р (WN) = Р Oil) dp (W)
дцs
К - р!" ] JU *R
- r
(2)
Здесь для единообразия {и1} обозначает компактный комплекс рассматриваемых молекул жидкой среды, а {п2} совокупность молекул твердой фазы. Размер комплекса {п1} предполагается много меньшим расстояния рассматриваемой точки R до граничной поверхности твердого тела. Как правило,
st
(а) (б)
Рис. 1. Схема разреза щели шириной Н = к + 5 во флюидной среде а: (а) —несимметричная щель между цилиндром и твердым телом с бесконечной плоской поверхностью, (б) — симметричная щель между двумя одинаковыми цилиндрами.
в дальнейшем нас будут интересовать только случаи п1 = 1 и п1 = 2. Верхние индексы а и в относятся к фазам во внутренней объемной части жидкой среды и, соответственно, твердых тел; Vв) — объем, занимаемый твердой фазой; нижние индексы указывают на компоненты системы; — химиче-
»
Jß)
ский потенциал 5-го компонента, р; и р; — плотности числа молекул компонента I в однородной фазе а и, соответственно, в однородной фазе р. Для простоты полагаем, что все компоненты могут входить в состав каждой из фаз. Отсутствие какого-либо компонента в любой части системы будет означать равенство нулю соответствующей парциальной плотности.
Таким образом, задача сводится к нахождению интеграла в формуле (2). В условиях нашей задачи объем Vв), по которому проводится интегрирование, состоит из объемов У1 и У2 взаимодействующих твердых тел. Очевидно, что вклады в локальные функции распределения от твердых тел будут аддитивными, и, следовательно, вычисления для каждого тела нужно проводить независимо друг от друга. В случае несимметричной щели одно из тел имеет бесконечную плоскую поверхность, а для нее асимптотические формулы для функций распределения известны [7, 8]. Следовательно, остается определить функции распределения только вблизи торца полубесконечного цилиндра.
При вычислении интеграла перенесем начало координат в рассматриваемую точку и перейдем к цилиндрической системе координат с полярным радиусом р, полярным углом ф и вертикальной
осью г. Тогда интеграл по объему цилиндра преобразуются следующим образом:
Ur R - г =
Ф2 ® Р2яМ 2 1 d(*\dz 1
dp
vi
Р1а(ф)
(Р2 + z1 )
(3)
Пределы в формуле (3) зависят от положения рассматриваемой точки. При r < а
0 <ф< 2п, 0 < р < Р2а, (4)
а при r > а
- arcsin r/a <ф< arcsin r/a, р1а < р < р2а, (5)
где
4
2 2.2 а - r sin ф,
Pia = -r cos ф-р2а = -r cos ф + 7а2 - r2 sin2 ф,
(6)
г — расстояние от центральной точки до начала координат, а — радиус цилиндра.
После интегрирования по р и г из (3) получим выражения для г < а
-К -1 f { Ра(ф))
6h о
и для r > a
hf Ыф), h) - f (Р2а(ф), К)],
где
f(P,К) = - 2,2 ,2, 2p p (p + h )
h
arc
tg(V p)
(7)
(8)
(9)
з
p
708
БРОДСКАЯ, РУСАНОВ
2
Н|а
Рис. 2. Относительное изменение локальной концентрации около ограниченной поверхности.
Далее более подробный анализ проведем для локальной концентрации компонента , в жидкой среде р, (г, Н, а). Интегрирование по ф будем проводить численно, задаваясь относительными значениями г = г/ а и к = к/а. Тогда, вводя обозначение
С, э ^^^( -р(а)), (10)
одночастичную функцию распределения компонента , вблизи поверхности цилиндра можно представить в виде
р, (г, к, а) = р(а) + С
Рр ( к),
где
/р (г, к ) = (1 - ^ (г, к)) х
X [1 -0 (г - 1)] + (г, к) (Г - 1),
(11)
(12)
где 0(х) — функция Хэвисайда, (0(х < 0) = 0 и 0(х > 0) = 1),
Г1 (к, г) = к | а ф/ (р 2а(ф) , ¡г), (13)
0
_3 Ф2
Г2 (к, г) = Зк- |йф[/ (( 1а(ф) , И) - / (2а(ф) , к)) . (14)
Ф1
Тильдой отмечено отношение соответствующей величины к радиусу цилиндра а:
Коэффициент перед /р (г, к) представляет собой главный асимптотический член в локальной зависимости концентрации вблизи бесконечной
плоской поверхности, где Ар, = р, (к) - р(а) = С,к_3. Следовательно, функция /р (Г,к) описывает относительную величину асимптотического вклада в локальную концентрацию вблизи торца цилиндра по сравнению с бесконечной поверхностью. Таким образом, она характеризует эффекты, связанные с конечными размерами поверхности твердого тела. Эта функция представлена на рис. 2 в интервалах 0 < г < 2а, 0.1а < к < 5а. Видно, что только в сравнительно близкой к поверхности центральной области при Н < 0.2а и г < 0.5а конечные эффекты незначительны — значения функции близки к единице. Вне этой области ее вклад существенно возрастает, приводя к более быстрому уменьшению локальной плотности в поверхностном слое. Интересно, что вне тени от цилиндра (при г > а) влияние конечного размера поверхности на локальную плотность, становясь небольшим по величине, приобретает немонотонный характер в зависимости от расстояния до стенки. При удалении от границы цилиндра максимум сдвигается к большим значениям Н.
Следует заметить, что формула (11) применима и для описания зависимости локальной концентрации вблизи боковой поверхности цилиндра. В этом случае следует оставить только слагаемые с функцией и учесть, что Н < 0. Более того, положив Н = —да, можно найти асимптотическую зависимость плотности вблизи бесконечного цилиндра. Нетрудно оценить этот вклад для расстояний d до поверхности, много меньших радиуса цилиндра а. Результат совпадает с полученным ранее авторами в [10]:
р, (й, а) = р
(а)
+ С, (1 - Зй) ■!.
(16)
Обращаясь к цели работы, перейдем к рассмотрению щелей. Как отмечалось выше, поведение локальной плотности в щели будет определяться аддитивными вкладами от каждой из стенок, находящихся на расстояниях Н и Н — Н от рассматриваемой точки. Тогда в симметричной щели между одинаковыми цилиндрами в асимптотическом члене появится сумма двух функций от Н и Н — Н:
р, (г, к, а, Н ) = р(а) + С
. (17)
к = к/а, г = г/а, р 1а .
(15)
>р (г, к) + (г, Н - к)"
_ к3 + (Н - к)) _
Величина, заключенная в квадратные скобки в (17), представлена на рис. 3 для симметричной щели шириной Н = 2а. Она описывает локальное изменение концентрации в щели по сравнению с объемной фазой а в единицах С,. Следует помнить, что полученные формулы носят асимптотиче-
5
60 50 40
а 30 <
20 10 2.0
2.0
1.0 1.5 г|а
0.5
Рис. 3. Локальная добавка к концентрации флюидной фазы в щели шириной Н = 2а.
скии характер, т.е. их следует применять на достаточно большом по сравнению с молекулярными размерами расстоянии от твердой поверхности. При а ^ да формула (17) переходит в асимптотическую формулу для функций распределения в плоскопараллельной бесконечной щели [5, 6]:
р, (г, к, а)= р(а) + С,
1
1
к (Н - к)
(18)
15 10
< "
Рис. 4. Разность локальных концентраций в реальной и идеализированной конечных щелях с Н = 2а в единицах С{ .
^ (Г, Н - к) = 1.
(19)
Для более явного представления о конечных эффектах рассмотрим идеализированный случай конечной щели, когда в щели локальная концентрация из
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.