ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 2 ноябрь, 2005
© 2005 г. М. Беннаи*, 3. Сахи*
АСПЕКТЫ МАТРИЧНОЙ ТЕОРИИ И НЕКОММУТАТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Приведен обзор основных положений матричной модели, описывающей М-теорию. Исследуется важная задача компактификации матричной модели, связанной с некоммутативной геометрией. Показано, что имеют место решения этой задачи, отличные от хорошо известных тороидальных решений Конна, Дугласа и Шварца.
Ключевые слова: DO-браны, матричная теория, некоммутативная геометрия
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы были приведены многочисленные аргументы и факты, свидетельствующие в пользу существования новой теории, порождающей многообразные пертур-бативные струнные возбуждения [1]. Эта теория, известная как М-теория, имеет чисто непертурбативный характер и описывается низкоэнергетическим пределом 11-мерной супергравитации. Было также показано, что эта 11-мерная супергравитация задает предел сильной связи в суперструнной теории типа НА [2].
Сравнительно недавно для микроскопического описания фундаментальных степеней свободы М-теории, представляющих собой DO-браны, была предложена гипотетическая матричная модель М-теории [3]. Сами DO-браны суть нульмерные объекты, взаимодействие которых описывается матрицами [4], [5]. Матричная модель задается суперсимметричной U(ДГ)-калибровочной теорией Янга-Миллса (ЯМ) с максимально возможной суперсимметрией, а параметр N есть светоподобный импульс, или число D0-бран, которое в работе [6] понимается как число струн Грина-Шварца в калибровке светового конуса. Таким образом, предел больших N отвечает длинным струнам в системе отсчета бесконечных импульсов (СБИ) [7]. Этот предел был также проинтерпретирован Фэйрли [6] в терминах формализма мойяловской скобки. В этой работе утверждалось, что использование данного формализма оправдывается тем обстоятельством, что формулировка матричной теории аналогична мойяловской формулировке квантовой механики. Мойяловская скобка задается с помощью звездчатого произведения, которое является неотъемлемой составляющей моделей некоммутативной геометрии [8].
'Groupe de Physique des Hautes Energies et Cosmologie, Departement de Physique, Faculté des Sciences Ben M'sik, Casablanca, Morocco. E-mail: m.bennai@univh2m.ac.ma
Недавно некоммутативная геометрия была использована при описании компактифицированной матричной модели в присутствии антисимметричного тензорного поля третьего ранга. Компактификация матричной теории на некоммутативный тор была впервые реализована Конном, Дугласом и Шварцем (КДШ) [9] с помощью так называемых проективно-модулярных решений уравнений связи для компактификации. Впоследствии метод КДШ был обобщен на другие многообразия типа орбифолдов и ори-ентифолдов [10], [11]. На них компактифицированная матричная модель нашла свою интерпретацию в виде калибровочной теории поля на квантовом пространстве.
В настоящей работе дается обзор механизмов компактификации матричных теорий на некоммутативном торе и приводятся некоторые обобщения указанных конструкций на другие многообразия старших размерностей, обладающие специальной некоммутативной геометрией[12].
В разделе 2 дан краткий обзор матрично-модельной формулировки М-теории, основанной на динамике БО-бран. В разделе 3 приведены основные сведения о тороидальной компактификации матричной теории и решения КДШ определяющих уравнений связи для указанной компактификации. Мы посвятили раздел 4 исследованию матричной теории на некоммутативной геометрии Ро с использованием гармонического анализа на 2-сфере и на 3-сфере. В заключительной части работы мы привели указания на возможные перспективные исследования.
2. МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ М-ТЕОРИИ
В соответствии с матрично-модельным описанием М-теория представляет собой не что иное, как предел больших N суперсимметричной квантовой теории ЯМ с калибровочной группой 17(./V) в СБИ [3]. Напомним, что в СБИ [7], или в системе отсчета светового конуса, 11-мерное пространство-время М-теории задается одним продольным направлением х~ и девятимерным поперечным пространством {хг}. В качестве времени выступает координата светового конуса х+. Чтобы представить систему БО-бран в СБИ, необходимо компактифицировать координату продольного направления х- на окружность радиуса Я. При этом продольный импульс квантуется в единицах 1 /Л
где N > 0. Компактификация координаты х~ при этом эквивалентна дискретизации продольного импульса. В таком описании БО-браны - это объекты теории, имеющие продольный импульс Р- — 1/Я. Таким образом, М-теория в системе светового конуса представляет собой теорию, в которой единственными динамическими степенями свободы, или партонами, оказываются БО-браны. Отметим, что эти базисные степени свободы являются состояниями Богомольного-Просада-Зоммерфельда М-теории [5].
Хотя процедура дискретизации струн была применена для генерации БО-бран, некоторые струны не полностью отщепились от теории. На самом деле, как показал Поль-чинский [4], в системе остаются открытые струны, соединяющие БО-браны системы.
Более того, было показано, что координаты очень коротких струн, соединяющих между собой БО-браны, задаются девятью (Лг х ЛГ)-матрицами, которые мы обозначаем Уг, г = 1,2,..., 9 [5]. Обозначим фермионных суперпартнеров матриц Уг через в; они преобразуются как спиноры относительно группы 50(9) вращений в поперечном пространстве. После размерной редукции на пространство постоянных полей эти матрицы оказываются связанными с пространственными компонентами 10-мерных суперсимметричных 1/(Дг)-полей ЯМ. Тем самым, суперсимметричные поля ЯМ описывают открытые струны, которые соединены с БО-бранами, и мы приходим к (0 + 1)-мерной суперсимметричной и{Аг)-теории ЯМ, описываемой лагранжианом
где 11-мерная планковская длина считается равной единице, а = <9г + г А, где А -калибровочное поле.
В работе [13] было показано, что этот лагранжиан задает свойства БО-бран при малых расстояниях в струнной теории в режиме слабой связи. Соответствующий гамильтониан имеет вид
В соответствии с гипотезой Банкса-Фишлера-Шенкера-Саскинда (БФШС) [3] М-те-ория в СБИ в точности эквивалентна пределу больших N суперсимметричной квантовой механики, описываемой гамильтонианом (3). Соответственно, вычисление любой физической величины в М-теории сводится к взятию предела N —> оо для величины, вычисленной в рамках матричной квантовой механики. Компактификация модели в связи со структурой пространства-времени тем не менее остается среди важных нерешенных вопросов матричной теории. В данной работе показано, что компактификация матричной теории неразрывно связана с некоммутативно-геометрической природой пространства-времени.
3.1. Торическая компактификация. После появления первой матричной модели М-теории были приведены другие формулировки М-теории. Среди них отметим матричную модель, введенную в работе [14] для описания струн типа ИВ, которую далее мы будем называть модель 1ККТ по фамилиям авторов. Заметим, что эта модель может быть получена редукцией 10-мерной суперсимметричной теории ЯМ к точке и представляет собой нульмерную суперсимметричную теорию поля, которая воспроизводит стандартную матричную модель БФШС с точностью до компактификации на окружность 51. Физические степени свободы модели 1ККТ суть 10-мерный суперсимметричный мультиплет (Xм, Фд), ц = 1,..., 10, А = 1,..., 16, в присоединенном представлении алгебры Ли и(ЛГ), а действие Б(Х, Ф) имеет вид
Ь = 1 г [¿^ХЪК4 - У*}2 - втВьв - Я0Т7г[0,УгЛ , (2)
¿К 4
(3)
где - импульс, сопряженный переменной У1.
3. КОМПАКТИФИКАЦИЯ МАТРИЧНОЙ МОДЕЛИ
Заметим, что X^ и Фд представляют собой 10 и 16 компонент соответствующих векторного 5,0(Ю)-представления и представления в виде вейлевского спинора.
Рассмотрим компактификацию матричной модели 1ККТ на два-тор Г2. Как и раньше, места расположения БО-бран определяются собственными значениями матриц. Чтобы осуществить компактификацию на два-тор, рассмотрим следующие условия, отражающие периодичность пространства координат два-тора:
Х1 = Хх + 2тгД1 = игХхи^1 Х2 = Х2 + 2тгЕ2 = и2Х2Щ
(5)
Эти уравнения связи предполагают отождествление X + 2тхЯ с X с точностью до некоторого калибровочного преобразования. Восемь других направлений в матричной теории остаются инвариантными при действии Ъ\ и и2. При этом
= и2Хх11г\ Х2 = ихХ2и^\ Ха = игХаи~1-, ¿ = 1,2, а = 3,...,10
В простейшем случае, если операторы трансляций коммутируют, частные решения уравнений (5) представляют собой частные производные, в то время как общее решение задается ковариантными производными:
XI =гд1+А1(и1,и2), Х2 = 1д2 + А2(и1,и2). (7)
В этом случае операторы Ui имеют смысл генераторов алгебры функций на дуальном торе Т2,
Щ = е2™я<1<. (8)
Из последнего соотношения следует, что мы имеем дуальное пространство размера = 1/Дг-. В результате компактификации на два-тор Х\ и Х2 становятся ковариантными производными на дуальном торе, в то время как другие координаты остаются скалярными полями на указанном дуальном торе.
В общем случае, при некоммутирующих операторах трансляций /Уг, решения уравнений связи (5) были построены в работе [9]. В этом случае имеет место соотношение
и!и2=е2™ви2и1. (9)
Физическая интерпретация параметра в состоит в том, что он представляет собой интеграл от три-формы потенциала 11-мерной супергравитации на три-цикле, включающем в том числе светоподобное направление,
в = ЯIС12- (1х1 йх2 йх~. (10)
В следующем пункте будут представлены решения КДШ тороидальной компактификации с использованием так называемой техники проективных модулей [15].
3.2. Решение КДШ в технике проективных модулей. Для того чтобы построить решение задачи о компактификации матричной модели на некоммутативный тор Г2, Конн, Дуглас и Шварц рассмотрели операторы, действующие на пространстве функций, заданных на Ъч ® Я, где Ъч — Ъ/цЪ. Пусть и г - операторы, действующие на функциях /(в, к), в € Я, к 6 Zg, г = 1,2, следующим образом:
и1Пз,к)=е2^/(з,к-р), и2/(з1к) = е-2'тг^/(з+1,к). (11) Операторы 11\ и и2 при этом удовлетворяют перестановочным соотношениям
(12) (13)
(14)
где Яг = 1/7 и Я2 = т/(2тт).
Ч
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.