Главный pедактоp — д^ техн. наук, ^оф. В. Ю. Кнеллеp
УДК 621.3.087.92
ЕА-АЦП: ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ДЕЦИМАЦИЯ
Э. К. Шахов, Б. В. Чувыкин
Четвертая из серии статей, посвященных ЕА-АЦП — интегрирующим АЦП последнего поколения. Рассмотрена заключительная стадия преобразования — цифровая фильтрация и децимация.
ЖУРНАЛ В ЖУРНАЛЕ
Измерения [Контроль
Автоматизация: СОСТОЯНИЕ, ПРОБЛЕМЫ, ПЕРСПЕКТИВЫ
МНОГОКАСКАДНАЯ ДЕЦИМАЦИЯ
Процесс аналого-цифрового преобразования в 2А-АЦП состоит из трех стадий: передискретизации, цифровой фильтрации и децимации (прореживания). Цель передискретизации входного аналогового сигнала — получение малоразрядного (часто 1-битного) кода с частотой, существенно превышающей частоту Найквиста. Во время передискретизации происходит так называемый шейпинг шума квантования, т. е. вытеснение его спектра из полосы полезного сигнала в высокочастотную область. Возвращение к частоте Найквиста происходит в процессе цифровой фильтрации и децимации. Одновременно на этой стадии короткие кодовые слова преобразуется в длинные (тем самым обеспечивается высокое разрешение, вплоть до 24 разрядов), а также осуществляется подавление шума квантования и других нежелательных частотных составляющих. Процесс передискретизации был рассмотрен в предыдущих статьях серии [1—3]. В настоящей статье рассмотрим процессы цифровой фильтрации и децимации.
Чтобы пояснить суть децимации, обратимся к источнику [4], в котором этот непростой процесс изложен весьма доступно для понимания. Выходной код 2А-модулятора наряду с полезным сигналом содержит его составляющие, выходящие за пределы заданной полосы пропускания, шум квантования, собственные шумы элементов схемы и внешние помехи. Назначение цифрового фильтра в составе декодера (рис. 1) состоит в подавлении всех компонент, выходящих за пределы полосы полезного сигнала, с тем чтобы обеспе-
чить редискретизацию (resampling в оригинале) полезного входного сигнала с частотой Найквиста при допустимом уровне шума, проникающего на выход за счет элайзинга.
Чтобы исключить только шум квантования, вполне достаточно применить самый простой фильтр, поскольку спектр шума квантования с увеличением частоты возрастает медленно, например, для ZA-модулятора второго порядка этот рост составляет 12 дБ на октаву. Однако часто возникает потребность в более совершенном фильтре (имеется в виду с крутым спадом АЧХ в переходной полосе), с тем чтобы исключить составляющие полезного сигнала, выходящие за пределы заданной полосы пропускания. Построение таких фильтров обходится весьма недешево, если они должны работать на повышенной частоте выходной последовательности ZA-модулятора (т. е. на частоте передискретизации). На практике почти всегда за это приходится расплачиваться выполнением децимации с применением многокаскадной (чаще двухкаскадной) структуры [5].
На рис. 1 показан именно такой двухкаскад-ный дециматор, предназначенный для аналого-цифрового преобразования телефонного сиг-
Рис. 1. Схема двухкаскадного дециматора (ЦФНЧ — цифровой фильтр низких частот)
нала в полосе шириной 4 кГц при частоте передискретизации 1 МГц. Первый каскад децимации понижает частоту дискретизации с 1 МГц до промежуточной 32 кГц, которая в 4 раза превышает частоту Найквиста. Фильтр, используемый на этой стадии, проектируется, исходя, главным образом, из условия подавления шума квантования, который доминирует на высоких частотах. Составляющие полезного сигнала, спектр которых выходит за пределы заданной полосы (в рассматриваемом случае 0—32 кГц), доминируют в низкочастотной области и поэтому должны подавляться фильтром с крутым спадом АЧХ на конечной (в данном случае второй) стадии децимации. По мере того как сигнал проходит через фильтры и каскады редискретизации, длина кодовой комбинации (слова) увеличивается с 1 до 16 бит, с тем чтобы сохранить разрешение, по мере того как уменьшается частота следования слов. Далее будет приведено детальное пояснение блоков деци-матора (см. рис. 1) и почему промежуточная частота выбрана в 4 раза превышающей частоту Найквиста.
РЕАЛИЗАЦИЯ ПЕРВОГО КАСКАДА ДЕЦИМАЦИИ
Рис. 2 иллюстрирует действие дециматора. Заданная полоса пропускания полезного сигнала простирается от нуля до Ус, УЦ — это промежуточная частота дискретизации, — частота передискретизации (частота модуляции). Нарастающей кривой изображена спектральная плотность шума, порожденного ЕА-модулятором второго порядка. После дециматора первого каскада ввиду неидеальности фильтра какая-то часть всех частотных составляющих шума останется. Когда этот остаточный шум будет дискретизирроваться с промежуточной частотой УЦ, его компоненты с частотами, находящимися в окрестностях частоты УЦ и ее гармоник (т. е. в полосах УЦ ± УС, 2/Ц ± УС и т. д.) сворачиваются в полосу полезного сигнала. Поэтому при проектировании фильтра, реализую-
Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика фильтра, реализующего децимацию
щего децимацию на первой стадии, имеет смысл разместить его нули именно на этих частотах, т.е. на частотах УЦ, 2f и т. д. Важно также понимать, что для фильтра первого каскада нет необходимости обеспечивать крутой спад первого лепестка АЧХ сразу за частотой fc, так как шум в диапазоне частот от fc до /Ц — fc после дискретизации с промежуточной частотой /Ц сворачивается в эту же самую полосу (он просто инвертируется, т. е., например, составляющая с частотой УЦ — fc перемещается на частоту fc и наоборот). В результате дискретизации с промежуточной частотой /Ц в полосу полезного сигнала попадают составляющие шума с частотами от/Ц — fc до /Ц + fc (см. рис. 4 в статье [1] и пояснения к нему). Однако при указанном размещении нулей фильтра первого каскада эти составляющие будут существенно подавлены на первой стадии децимации. Небольшой спад частотной характеристики фильтра первого каскада в пределах полосы полезного сигнала легко может быть скомпенсирован при проектировании фильтра второго каскада.
Перечисленным выше требованиям в наилучшей степени удовлетворяют фильтры с АЧХ вида |sinc(Nnff^/smc(nf/^)|k, k = 1, 2, ... (напомним, что sinc(x) = sin(x)/x).
Пример подобного фильтра для случая k = 3 приведен на рис. 2. Его АЧХ показана только в пределах оси частот от 0 до f/2. Но нужно иметь в виду, что, поскольку фильтр цифровой, т. е. реализован с помощью решетчатой весовой функции, его АЧХ является периодической функцией частоты. Период равен значению fs частоты передискретизации, причем фрагмент АЧХ на интервале частот от f/2 до fs является зеркальным отражением фрагмента АЧХ, показанного на рис. 2. Следовательно, на частоте fs и ее гармониках соответствующие лепестки АЧХ имеют такую же амплитуду, как на нулевой частоте. Частота fs кратна промежуточной частоте УЦ, поэтому некоторые гармоники частоты УЦ будут совпадать с частотой fs и ее гармониками. Однако это не означает, что в результате дискретизации с промежуточной частотой /Ц составляющие шума с частотами в диапазонахfs ± fc, 2fs ±fc и т. д. попадут в полосу полезного сигнала. Дело в том, что, как было показано в статье [1], после дискретизации с частотой fs весь спектр шума сосредоточен в полосе от 0 до f/2. Поэтому вполне корректно рассмотрение прохождения шума квантования через дециматор ограничить участком оси частот от 0 до fs/2.
Простейший вариант фильтра (в зарубежной литературе его называют Comb-Filter), реализующего децимацию на первой стадии, соответствует в выражении \sinc(Nnf/fn)/sinc(nf/fn)\k показателю
степени k = 1. При этом реализующая схема представляет собой накопитель со сбросом (accumu-late-and-dump circuit). Если на его входе последовательность дискретных значений хг-, поступающая с частотой fs, то выходная последовательность yj фильтра первого каскада, выдаваемая с частотой L, связана с входной соотношением:
Nj -1
N Z
x
У : N
I = М( - 1)
где N = / //Ц — отношение частоты выборок на входе к частоте выборок на выходе.
Передаточная функция простейшего фильтра, очевидно, имеет вид:
Y( z) N -1 • 1 7~N
Hi(z) = YM = z = 1 - z
X( z )
1 - z-1
(1)
Выходная величина простейшего фильтра получается суммированием N последовательных выборок входной величины, т. е. он представляет собой КИХ-фильтр, у которого все весовые коэффициенты hi равны 1. Свертка суммы в формуле (1) осуществлена с учетом известной формулы для суммы Sn n членов геометрической прогрессии Sn = («i — anq)/1 — q, где ai и an — первый и n-й
n — 1
члены прогрессии, причем an = aiqn 1, в нашем случае ai = z0 = 1, знаменатель прогрессии q = z1.
Из формулы (1) при z = ejnT (T = 1/fs) получим АФХ, модуль которой дает АЧХ фильтра в виде:
sinc( NnfT)
Hi(f) =
sinc (nfT)
(2)
Амплитудно-частотная характеристика (2) имеет однократные нули на частоте /Ц = 1/N7" и всех ее гармониках. Такой фильтр использовался во времена [6], когда важно было по возможности упрощать схемы цифровой обработки. Существенно лучшие характеристики могут быть получены с помощью фильтров, у которых АЧХ имеет вид \sinc(Nnf/fЦ)/sinc(nf/fЦ)\k, но при к > 1. Это обеспечивает к-кратные нули (как на рис. 2), а не однократные, как в случае к = 1. Причем было показано [7, 8], что АЧХ \smc(Nпf/fж)/smc(пf/fж)\L + 1 близка к оптимальной для децимации выходной последовательности ЕЛ-модулятора Ь-го порядка, т. е. порядок фильтра должен быть на единицу больше порядка ЕЛ-модулятора. Платой за использование такого (почти оптимального) фильтра является увеличение мощности шума на 0,5 дБ. На рис. 3 представлен график зависимости этого увеличения от коэффициента передискретизации промежуточной частоты, т. е. 0^ЛПр = /Ц/О ( /о = 2/с — частота Найквиста).
i,5
i,0
0,5
i aeq, дб
\L = 2 \
L-Д
OSRn
Рис. 3. Зависимость мощности шума квантования от коэффициента передискретизации промежуточной частоты
Рис. 4. Неравномерность АЧХ в зависимости
от коэффициента промежуточной передискретизации
Когда промежуточная частота в 4 раза превышает частоту Найквиста, мощность шума увеличивается на 0,14 дБ, с понижением промежуточной частоты этот показатель увеличивается. Другим фактором, влияющим на выбор промежуточной частоты, явл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.