РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА. 2006, том 51. № I.e. 65-73
_ ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС _
% В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.383.63
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ ВАН ДЕР ПОЛЯ-ДЮФФИНГА
© 2006 г. Э. В. Кальянов, В. Я. Кислов
Поступила в редакцию 19.07.2004 г.
Рассмотрены математические модели систем связанных уравнений Ван дер Поля-Дюффинга с алгоритмом хаотизирующей обратной связи и с алгоритмом параметрической хаотизации. Численными методами проанализированы частные случаи систем (без алгоритма хаотизирующей обратной связи): при взаимной и однонаправленной резистивной связи подсистем. Рассмотрены хаотические режимы при асинхронных взаимодействиях колебаний парциальных генераторов. Показана возможность хаотизации колебаний при использовании алгоритма хаотизирующей обратной связи и алгоритма параметрической хаотизации, когда без этих алгоритмов реализуются регулярные режимы работы.
ВВЕДЕНИЕ
Автономное уравнение Ван дер Поля-Дюффинга, являющееся достаточно простой модификацией классического уравнения Ван дер Поля, обладает простой динамикой. Однако при воздействии внешнего гармонического сигнала возможны сложные колебания за пределами полосы захвата и даже хаос.
Простые и сложные регулярные движения в неавтономном уравнении Ван дер Поля-Дюффинга детально исследовались в [1]. В последнее время большое внимание уделяется изучению переходных процессов [2]. Хаотические режимы при неавтономной работе изучены в значительно меньшей степени [3]. Не исследованы режимы взаимной синхронизации при различных нелиней-ностях восстанавливающей силы, а также поведение связанной системы уравнений Ван дер Поля-Дюффинга с алгоритмом хаотизирующей обратной связи (АХОС) и с алгоритмом параметрической хаотизации (АПХ).
В связи с широким исследованием в последнее время различных автоколебательных систем с хаотической динамикой, изучение систем на основе модифицированных уравнений Ван дер Поля представляет значительный интерес, так как уравнение Ван дер Поля лежит в основе очень большого числа моделей, описывающих различные явления во многих областях науки.
В данной работе приводятся математические модели систем связанных уравнений Ван дер Поля-Дюффинга, в которых хаос обеспечивается при различных параметрах благодаря АХОС или АПХ. Как частные случаи рассматриваются обычные режимы взаимно и однонаправленно связанных уравнений Ван дер Поля-Дюффинга, используемые в качестве исходных при работе с АХОС и АПХ.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Систему линейно связанных уравнений Ван дер Поля-Дюффинга в достаточно общем виде можно представить следующим образом:
"> о
d"xjdt" - е,(1 - х-, )dXjldt + |Л.,„\:, + v,x, =
(1)
у. у|
где £,, и,, V,, п, - постоянные, а,7, 5,у, у^ - коэффициенты соответственно индуктивнои, резистивной. емкостной и диффузионной связей, г.) = 1, 2. Ъ...к.
Ограничиваясь случаем двух резистивно связанных подсистем (/', / = 1, 2) при /?, =т,п2- п. введем в каждую подсистему сигнал /(?)• Будем иметь
d2x^/dt2 1 - У^х,/^ + + + = + ¡{I),
d2x2!df - е2( 1 - xl)dx2/dt + ц2х2 +
+ У2х2 = ¡32,dx,/dt + f(t).
(2)
Для обеспечения возможности возбуждения хаотических колебаний в системе, описываемой уравнениями (2), в соответствии с [4-6] следует определить функцию f(t) таким образом, чтобы она зависела от собственного колебательного процесса, например, с помощью условия
ДО =
\az при xt>x2, [bu при х2> Х\,
(3)
где а, Ь - постоянные коэффициенты, а переменные г и и являются решением линейных диффе-
ренциальных уравнений для фильтрующих элементов
« ¿РгМ? + {шЮЛск/ск + со?г = (лкЬ.х,
2 , " V (4)
с1 'м/^Г + (со + со 2ии = а)]?>их,
где (0г, <л)и - резонансные частоты, Ои - добротности, 8г, 8И - коэффициенты связи.
Уравнения (2)-(4) описывают математическую модель управляемой автоколебательной системы с хаотической динамикой. Функция ДО в данном случае определяет не внешнее воздействие, а воздействие коммутируемого собственного сигнала, заданного соотношениями (3), которые для удобства можно назвать условиями автокоммутации. По существу при возникновении хаоса происходит "самохаотизация" автоколебаний системы.
В случае обеспечения хаотизации колебаний с помощью АПХ вместо системы (2) следует (в случае резистивной связи) использовать следующие уравнения:
— е, (1 + ¡(1)х]~х\)ёх11с11 + + + = $пйх21(1г,
-¡-г ->
- е2( 1 + /(/)х2 - х'2)с1х2/(1[ +
+ ]Х2х2 + \2хг = Р 2\йхх1с1г.
Уравнения (5) совместно с (3) и (4) описывают математическую модель автоколебательной системы с АПХ, которая также обладает хаотической динамикой.
При ДО = 0 уравнения (2) (а также и (5)) описывают систему двух взаимно связанных генераторов Ван дер Поля-Дюффинга. ПриДО = 0 и однонаправленной связи (например, при (321 = 0) они описывают режим принудительной синхронизации колебаний первого генератора колебаниями второго. При (3,9 = Р21 = 0, т = я = 3 и ДО = Ас со8Шсг (Ас, (0С - амплитуда и частота внешнего сигнала) каждое из уравнений системы (2) описывает случай гармонического воздействия, рассмотренный в [1,3].
Анализ связанных уравнений Ван дер Поля-Дюффинга (при однонаправленной и взаимной связях) при ДО = 0 представляет самостоятельный интерес. Исследование связанных систем целесообразно также для наглядной иллюстрации влияния АХОС и АПХ при синхронных и асинхронных взаимодействиях. Поэтому сначала в работе рассмотрены (в качестве исходных режимов) частные случаи взаимодействия подсистем.
При численном анализе постоянные величины в соотношениях (2)-(5) (когда их значения не отмечены особо) выбраны для упрощения численного анализа так, что е, = е2 = 0.4, = \х2 = 0. v, = 1.
т = 3. п = 5, аг = 1.8, 0)и = 1.6, ()7 = ()и= 100, 5, = 0.44, 5„ = 0.36. Параметры а, Ь, (312> Ргь у2 варьировались.
2. ОДНОНАПРАВЛЕННО СВЯЗАННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ
Для определения режимов работы, при которых в однонаправленно связанных уравнениях Ван дер Поля-Дюффинга возможен хаос, наиболее информативными являются бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие изменение максимальных значений колебательного процесса одной подсистемы (например, первой) в зависимости от параметра, определяющего изменение частоты автоколебаний другой подсистемы (второй). Это иллюстрируется диаграммами, представленными на рис. 1 и 2. Эти диаграммы отображают изменение максимальных значений колебательного процесса дДО (обозначенных [д,]) в зависимости от параметра \2, когда интенсивность воздействующих колебаний ¿¿с2/У/, обладающих амплитудой А02, задается с помощью коэффициента связи Р[2.
Диаграммы рис. 1а, 16 рассчитаны при слабых воздействиях: (312 = 0.3 (а) и 0.6 (б). При этом частота воздействующих колебаний С002 возрастает при увеличении параметра \2 в соответствии с кривой I на рис. 1в. Амплитуда воздействующих автоколебаний А02 также изменяется при увеличении параметра У2, но во всех рассмотренных случаях однонаправленного воздействия - одинаково (рис. 1в, кривая 2).
При (312 = 0.3 (и при меньшей амплитуде воздействия) бифуркационная диаграмма такая же, как и при неавтономной работе немодифициро-ванного (классического) генератора Ван дер Поля: по мере повышения частоты внешнего воздействия асинхронный режим, характеризующийся биениями (квазипериодические колебания), сменяется одночастотным режимом захвата, а затем снова жестким образом возникают квазипериодические колебания. При этом наблюдаются зоны захвата на комбинационных частотах и на гармонике автоколебаний. Влияние кубичного члена сводится к смещению зон захвата в область более высоких частот, что связано с повышением частоты автоколебаний. Автономные колебания при отмеченных параметрах реализуются на частоте со = 1.61. Полоса синхронизации на основной частоте занимает интервал значений v-, е [0.25, 0.62], что соответствует полосе захвата со02 е [1.35,2.1].
При [3,2 = 0.6 проявляются особенности, обусловленные модификацией неавтономного уравнения Ван дер Поля. В интервате значений у2 е е [0.82, 1] вместо квазипериодических движений возникает хаос. Он характеризуется нерегулярным разбросом точек, соответствующих макси-
И
(а)
[4]
(б)
Рис. 1. Изменение максимальных значений колебательного процессах^) в зависимости от параметра при |3[2 = 0.3 (а) и при Р12 = 0.6 (б). На рис. 1 в показана зависимость от параметра частоты (кривая 1) и амплитуды (кривая 2) автономных колебаний второй подсистемы.
мальным значениям колебательного процесса X\{t). Полоса синхронизации на основной частоте расширяется. В интервале значений v2 е [0.7. 1.3] возбуждаются колебания с числом вращения р = 1/2 (синхронизация на гармонике автоколебаний).
При ß,2 = I (рис. 2а) область хаотизации колебаний вблизи верхней границы полосы захвата становится шире: нерегулярный разброс точек, соответствующих значениям [л,], реализуется при v2 е [1.05, 1.48], чему соответствует интервал частот со02 е [2.7, 3.2].
После ряда достаточно сложных бифуркаций при v2 > 2.25 устанавливаются колебания с трех-
-2
(а)
(б)
0.8
1.6
-2
(в)
"¿у
1.2
1.9
2.6
3.3
оог
Рис. 2. Изменение максимальных значений колебательного процессад-[(г)в зависимости от параметрау2 (а, б) и от частоты внешнего гармонического сигнала (в) в случаях адиабатического увеличения у2 и со^ (а, в) и адиабатического уменьшения у2 (б).
оборотным предельным циклом, синхронизированные на третьем унтертоне внешней силы.
При обратном изменении параметра У2 проявляется гистерезис, что вполне естественно для нелинейной системы, и бифуркационная диаграмма существенно отличается от представленной на рис. 2а. хотя область принудительной синхронизации на основной частоте и прилегающая к ней зона хаоса изменяются незначительно. При адиабатическом уменьшении У2 режим синхронизации на третьем унтертоне внешней силы "затягивается" до значения v, = 1.4. При этом граница перехода от хаотических движений к синхронизации на основной частоте снижается до у2 = 0.95. Низкочастотная граница полосы синхронизации также затягивается.
Для сравнения с рис. 2а на рис. 2в приведена бифуркационная диаграмма, полученная при воз-
68
КАЛЬЯНОВ, кислов
S, дБ
Рис. 3. Спектры мощности колебательного проц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.