ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 12, с. 2261-2274
УДК 519.634
К столетию со дня рождения академика А.А. Дородницына
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ АСИМПТОТИКИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ И ДИССИПАЦИЕЙ^
© 2010 г. А. Г. Куликовский, А. П. Чугайнова
(119991 Москва, ул. Губкина, 8, Матем. ин-т им. Стеклова РАН) e-mail: kulik@mi.ras.ru, A.P.Chugainova@mi.ras.ru Поступила в редакцию 18.06.2010 г.
Аналитически и численно изучаются решения задач для системы уравнений, описывающей слабонелинейные квазипоперечные волны в упругой слабоанизотропной среде. Предполагается, что в мелкомасштабных процессах существенны эффекты диссипации и дисперсии. При этом эффекты дисперсии учитываются членами, содержащими третьи производные по координате от сдвиговых деформаций, в отличие от ранее рассмотренного случая, когда дисперсия определялась членами со вторыми производными. В крупномасштабных процессах эффектами дисперсии и диссипации можно пренебречь и система уравнений является гиперболической. Указанные мелкомасштабные процессы определяют структуру разрывов и множество допустимых (имеющих стационарную структуру) разрывов. Это множество таково, что построение решения автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва с использованием решений гиперболических уравнений и допустимых разрывов приводит к неединственности решений. В работе численно найдены асимптотики неавтомодельных задач для уравнений, учитывающих эффекты диссипации и дисперсии. Полученные асимптотики неавтомодельных задач соответствуют автомодельным решениям задачи о распаде произвольного разрыва. Показано, что задание начальных условий в виде сглаженной ступеньки в случае неединственности решений автомодельной задачи приводит к реализации того или иного автомодельного решения как асимптотики неавтомодельной задачи. Библ. 14. Фиг. 8.
Ключевые слова: задачи о нелинейных волнах в упругих средах, автомодельные асимптотики, численное исследование системы уравнений в упругой среде с дисперсией и диссипацией.
1. ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ВОЛНЫ, СВЯЗАННЫЕ С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ, ИМЕЮЩИМИ БЛИЗКИЕ СКОРОСТИ.
ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА
Известно, что одномерные нелинейные волны малой амплитуды во многих случаях могут приближенно описываться некоторыми универсальными уравнениями, такими как уравнения Хопфа, Бюргерса, Кортевега—де Вриза и Кортевега—де Вриза—Бюргерса. Уравнение Хопфа применимо, когда исходная система уравнений имеет гиперболический тип, а изучаемая волна соответствует некратной характеристике. Другие из упомянутых уравнений учитывают влияние диссипации и дисперсии в эволюционных процессах.
Если изучаемые волны соответствуют кратным характеристикам исходной системы уравнений или характеристикам с близкими скоростями, то для приближенного описания таких волн требуется использовать более сложные уравнения. Так, при описании в изотропной или слабоанизотропной упругой среде нелинейных квазипоперечных волн (т.е. волн, смещение частиц в которых происходит приблизительно параллельно поверхностям постоянной фазы) была полу-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00618), программы РАН "Математические методы нелинейной динамики".
2261
чена система уравнений, которая в отсутствие диссипации и дисперсии является гиперболической и имеет вид (см. [1]—[3])
дЦа + а VдЩиьЩ = 0, а = J, 2, (1Л)
dt dx V д иа J
где
12 2 1 2 21 2 22 R(и 1, и2) = f Ui + U2) + и2 - Ui ) - 4к(Ui + U2) , f, g,K = const, (1.2)
ua — компоненты сдвиговой деформации среды, ua = dWo/dx, wa — перемещение частицы среды в направлении декартовых осей xa, а = 1, 2, параллельных плоскостям постоянной фазы, x — лагранжева координата частицы среды, при t = 0 совпадающая с координатой x3. Решение предполагается зависящим от x и времени t (ua = ua(x, t)), p0 — начальная плотность среды. При написании выражения (1.2) направления осей x1 и x2 были выбраны так, чтобы отсутствовал член с произведением u1u2. Система уравнений (1.1) справедлива для описания малых нелинейных квазипоперечных возмущений, распространяющихся по однородному слабоанизотропному фону, когда возмущения других типов, имеющихся у полной системы уравнений нелинейной теории упругости, достаточно малы.
В [2] приведены формулы, позволяющие выразить константы f, g, к через упругие коэффициенты среды. Константа g — параметр анизотропии, к — постоянная, которая характеризует нелинейные эффекты, f— характеристическая скорость (двукратная) при отсутствии нелинейности и анизотропии (т.е. при к = 0, g = 0). Знак упругой константы к существенно влияет на поведение квазипоперечных простых и ударных волн (см. [2], [4], [5]).
Системе уравнений (1.1) соответствуют соотношения на разрыве (см. [2], [3])
" dR
■5u„.
- W[ Ua] = 0 , (1.3)
где W = йх/& — скорость движения разрыва по лагранжевой координате. Квадратными скобками в (1.3) обозначены скачки величин на фронте разрыва [и] = и1 — иг (индексы г и I отвечают, соответственно, величинам непосредственно перед и за разрывом).
Аналогично тому, как это делается при получении уравнения Кортевега—де Вриза—Бюргерса, уравнения (1.1) следует дополнить членами, описывающими процессы диссипации и дисперсии. В [6]—[8] рассматривались уравнения вида
ди, д(дК(и,, и2д2и, д2и2 —1 + _ —-- 1 ' 2 7 = ц-1 + т-2
д * дхУ ди1 ^ дх д х ды + д (д К(и 1, и2 = - т д\ + Ид!и_2 (1.4)
+ _—- - - - - = -m-- + ц-
dt 5xV 5 и2 J ах2 д x
ц, m = const, ц > 0, m/ц > 1.
Здесь ц — коэффициент вязкости, m — коэффициент, отвечающий за дисперсию. С помощью этой системы уравнений была исследована стационарная структура разрывов в решениях уравнений (1.1) и было выяснено, что помимо разрывов, граничные условия на которых задаются равенствами (1.3), имеется еще множество допустимых разрывов (т.е. разрывов со структурой) различных типов, на которых помимо соотношений, следующих из законов сохранения, должны выполняться также дополнительные соотношения, которые вытекают из требования существования структуры разрывов. Структура этих разрывов представляется интегральной кривой, соединяющей два седла. Как было показано, наличие таких разрывов, названных особыми, приводит к неединственности построения автомодельного решения задачи о распаде произвольного разрыва. При этом предполагалось, что автомодельное решение строится из волн Римана (см. [2], [4]) и допустимых разрывов. Для выяснения, какое же из этих решений осуществляется, в [6]—[8] численно были решены начально-краевые задачи для уравнений (1.4) такие, для которых асимптотики при t —- да соответствовали бы решениям автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва в тех случаях, когда решение неединственно. При этом начальные условия задавались в виде различным образом сглаженных ступенек. Было показано, что если начальные
данные подобрать специальным образом, то асимптотика может соответствовать любому из возможных автомодельных решений и эти асимптотики устойчивы при взаимодействии с малыми возмущениями. Но если не предпринимать специального подбора начальных данных, а использовать монотонным образом сглаженные ступеньки, то при I —» да формируются асимптотики, содержащие только особые разрывы одного типа, структура которых не содержит внутренних колебаний, характерных для структур других типов разрывов.
Заметим, что форма учета дисперсии в уравнениях (1.1) не является единственно возможной. Поскольку протяженность по х структуры разрыва растет при уменьшении его амплитуды, то при малой амплитуде наибольшую роль в структуре играют члены наименьшего порядка дифференцирования.
Как было отмечено в [6]—[9], наличие дисперсионных членов с производными второго порядка в уравнениях (1.4) предполагает присутствие в числе определяющих параметров среды псевдовектора. При его отсутствии дисперсионными членами наинизшего порядка дифференцирования оказываются члены третьего порядка (см. [10]). В этом случае уравнения, описывающие квазипоперечные волны в слабоанизотропной упругой среде, приобретают вид
д и а + д (д Я (и 1, Ы2)^ _ ( дЫ + т ди
„ + -Т \ 1 ' 2 - И + т = 0, а = 1, 2. (1.5)
Ы д X V диа У дх дх
В [11] было показано, что такой же вид имеют уравнения, описывающие квазипоперечные волны в нелинейном слабоанизотропном диэлектрике. Там же проведено исследование структуры разрывов на основе уравнений (1.5). Было показано, что множество допустимых разрывов в решениях уравнений (1.1) при требовании существования их структуры, описываемой уравнениями (1.5), имеет качественно такое же строение, что и в случае, когда структура допустимых разрывов описывается с помощью уравнений (1.4). Соответственно, задача о распаде произвольного разрыва имеет неединственное решение, если допустимость разрывов определяется с использованием уравнений (1.5).
Представляет интерес рассмотрение начально-краевых задач для уравнений (1.5) с начальными данными в виде различным образом сглаженных ступенек с целью получения асимптотик, соответствующих автомодельной задаче о распаде произвольного разрыва.
2. РАЗРЫВЫ, ЭВОЛЮЦИОННОСТЬ, ЗАДАЧА О СТРУКТУРЕ
Для описания поведения слабонелинейных квазипоперечных волн, распространяющихся в положительном направлении оси х, будем использовать систему уравнений (1.5), а при рассмотрении крупномасштабных явлений (пренебрегая процессами диссипации и дисперсии) — систему уравнений (1.1). Системе уравнений (1.1) соответствуют соотношения на разрыве (1.3).
Исключив Жв системе уравнений (1.3), получим уравнение ударной адиабаты (см. [2], [5])
((ы1 )2 + (Ы2)2 - (и[)2 - (Ы2)2)(Ы[Ы2 - Ы2Ы1 ) + 2^(Ы1 - и[)(Ы2 - Ы2) = 0, (2.1)
к
г I
где иа и иа — значения величин иа перед и за разрывом.
Под ударной адиабатой будем понимать множество пар значений ы1 , ы2 при фиксированных
г г II
и1 , и2, а также кривую с координатами ы1 , и2 на плоскости и1, и2, проходящую через начальную
г г
точку и1 , и2 .
Ограничимся всюду далее рассмотрением случая к < 0. Этот случай соответствует в упругой среде нелинейному увеличению жесткости среды при сдвиговых деформациях.
На фиг. 1а изображена уд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.