ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 74. Вып. 4, 2010
УДК 531.36:534.1
© 2010 г. Д. А. Куликов
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИХ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ В ЗАДАЧЕ О ДВУХ СЛАБОСВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРАХ
Рассматривается система двух нелинейных дифференциальных уравнений, моделирующих динамику двух полностью идентичных слабосвязанных осцилляторов как в случае диссипативной, так и активной связи. Используется аппарат нормальных форм. Аналитически найдены все автомодельные периодические решения, в том числе асимметричные, описывающие автоколебания осцилляторов с разной амплитудой. Исследуется устойчивость и локальные бифуркации автомодельных циклов при смене ими устойчивости. В частности, указана возможность рождения двумерных инвариантных торов. В случае активной связи показано, что основной вариант автоколебаний — устойчивый противофазный цикл, наблюдавшийся в опытах Гюйгенса.
1. Введение. Постановка задачи. Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений второго порядка
Здесь с — малый параметр. Без нарушения общности можно считать, что ш = 1. Последнего равенства можно добиться за счет перенормировки времени. Наконец, /(У, ¿) — достаточно гладкая функция двух переменных, имеющая в нуле порядок малости выше первого. В окрестности нуля эту функцию можно представить в виде
/(У, = /2 (У, I) + /3 (у, I) + /с (у, г)
/2 (у, г) = /21 У2 + /22уг + /23г2, /3 (у, г) = /31 у3 + /32У2г + /ззУг2 + /34г3; /]к е Л
Система (1.1) описывает динамику двух слабосвязанных осцилляторов [1—3]. Так, например, если
хк - 2еXXк + ю2хк + /(хк, хк) + (-1)) +1 [ре(х 1 - ) + уе^ - Х2)] = 0 к = 1, 2; ю, в, у е Л; ю ф 0
(1.1)
Справедлива оценка
/с(У, ¿)\ < М(|у\4 + к14), М = еош1 > 0
/(у, г) = а 1 у г + а 2У
2
3
то речь идет о двух осцилляторах Ван-дер-Поля—Дуффинга. При с < 0 и
/(у, г) = у - у + а 3у2г, а 3 > 0
речь идет о двух слабосвязанных физических маятниках, в которых учтена диссипация (трение).
Сразу отметим, что система (1.1) допускает решения вида х1(() = х2((), где х() удовлетворяет уравнению
Х1 - 2бх1 + х1 + /(х1, Х1) = 0 (1.2)
Рассмотрим линеаризованное в нуле уравнение (1.2) — уравнение, получаемое из него отбрасыванием слагаемых, имеющих порядок малости выше первого. В данном случае речь идет об уравнении
Х1 - 2бх1 + х1 = 0
Корни соответствующего характеристического уравнения X2 — 2е X + 1 = 0 определяют устойчивость нулевого решения уравнения (1.2) согласно широко известной теореме об устойчивости по первому приближению. Их совокупность формирует спектр устойчивости состояния равновесия. При е = 0 в задаче об устойчивости нулевого решения реализуется критический случай пары чисто мнимых корней ±', и поэтому вопрос устойчивости определяет знак ляпуновской величины. Будем считать, что первая ляпуновская величина, равная 11 + ;'/2, такова, что 11 < 0. Хорошо известно [4, 5], что в случае в = у = 0 локальные бифуркации решений системы (1.1) определяет нормальная форма (НФ) Пуанкаре—Дюлака
г = б г + (11 + И2) z\z\2
где £ = £(0 — комплекснозначная функция. Это утверждение хорошо известно под названием "Теорема Шошитайшвили" [5].
Последнее означает, что при е > 0 имеет место мягкая (послекритическая) бифуркация цикла (бифуркация Андронова—Хопфа). Пусть х^, е) — соответствующее решение нелинейного дифференциального уравнения (1.2). Тогда вектор-функция (х^, е), х^, е)) — решение системы (1.1). Цикл, порождаемый этим решением, в механике часто называют синхронным циклом системы двух полностью идентичных осцилляторов. Иногда этот цикл называют циклом Андронова—Хопфа (ЦАХ). Ниже будем придерживаться второго варианта названия.
Далее предполагается изучить вопрос о существовании иных циклов системы (1.1), отличных от ЦАХ. Будут рассмотрены также вопросы устойчивости найденных циклов и их локальные бифуркации.
Метод НФ позволяет свести поставленные вопросы к изучению вспомогательной системы дифференциальных уравнений в С2 (НФ Пуанкаре—Дюлака). Результаты, полученные для НФ, переносятся на исходную систему (1.1) на основе известных результатов качественной теории дифференциальных уравнений (см., например, [4, 5, 7—10] и [6], § 4 гл. 1). Некоторые из рассматриваемых методов изложены и в монографии [10]. Соответствующие формулировки, адаптированные к рассматриваемой задаче, приведены в конце данной работы.
Далее будем различать два случая: е > 0 и е < 0, но знак у фиксируем: у > 0. При е > 0, у > 0 связь между осцилляторами называют диссипативной, а если е < 0, у > 0, то связь называют активной [2, 11]. Если у = 0, а в Ф 0, то связь называют инерционной [2, 11]. Этой удобной терминологии будем придерживаться ниже.
2. Нормальная форма. Пусть сначала е е [0, е0), 0 < е0 << 1. Систему (1.1) удобно для дальнейших построений переписать в векторном виде
x - 2бx + x + F(x, x) - psDx - ysDx = 0
x = x1 , F(x, x) = f( x1, x1) , D = -1 1
x2 f(x2, x2 ) 1 -1
(2.1)
При s e (—s0, 0] после замены s = —е1(б1 e [0, s0)) получаем следующее уравнение в R2:
x + 2 sxx + x + F(x, x) + ps Dx + ysDx = 0
(2.2)
где индекс у параметра е1 опущен.
Рассмотрим сначала для определенности уравнение (2.1). Наряду с ним введем в рассмотрение линейное однородное уравнение
x + x = 0
а также неоднородное x + x = f( t)
(2.3)
(2.4)
где f (t) — вектор-функция, имеющая период, равный 2п. Уравнение (2.3) имеет четыре линейно независимых периодических решения
E1(t) = e^xp(it), E3(t) = Ei(t), e1 = col(1, 0)
E2 (t) = e2exp (it), E4( t) = E2{ t), e2 = col (0, 1)
Уравнение (2.4) имеет периодическое решение с периодом 2п при выполнении равенств
2п
<(f(t), Ej(t))) = 0 j = 1, 2, 3, 4; <Ф(t)> = |Ф(t)dt
(2.5)
где (*, **) — скалярное произведение в С2.
Решение уравнения (2.1) будем искать в виде
1/2 3/2 2
х(I, б) = х(I, я, б) = б и1 (I, я) + би2(I, я) + б и3(I, я) + б и0(I, я, б); я = бt(2.6)
Здесь uk(t, s) (к = 1, 2, 3) — двумерные вектор-функции, имеющие по переменной t период 2п, а и0(^ s, е) — достаточно гладкая функция по совокупности переменных, имеющая период 2п по переменной t.
Положим и^, s) = Zl(s)E1(t) + ¿1 Е1 (0 + £2Е2(0 + ¿2 Е2 (t) — действительная функция при "фиксированном" s, удовлетворяющая уравнению (2.1). Подставив выражение (2.6) в уравнение (2.1) и приравнивая слагаемые, имеющие порядок е, получаем линейное неоднородное уравнение для определения и2(^ s)
д2 u2
а7
+ U2 + F2(Ui, ^U-) = 0
F2 {ub^Uj) = aiexp (2 it)
2 -2
Z1 + a2 Z1Z1 + a2exp (-2 it) Z1
2 Z2 Z2 Z2 -2 Z2
0
a1 — fu — fn + if22, a2 — Vu + 2f23 , a3 — fu — fn — if22 Ясно, что
\f2(ub E(t)jj — 0, j — 1, 2, 3, 4
Стандартные вычисления показывают, что решением последнего неоднородного линейного уравнения является следующая функция:
U2(t, s) — - a(exp(2it))colz2) + exp(-2it)col(z\, Z2)) + ^^col(z^, Z2Z2)
Собирая слагаемые, имеющие порядок s3/2, получаем неоднородное дифференциальное уравнение для определения u3(t, s)
52 /••> U3 „о и1 „оU1 -3 + и3 + 2-1 - 2—1 +
dt2 dtds дt
+ F(U„ f) + F(U2, f) + F3(U1, dt) + вPU1 + YйdU — 0
Из условий разрешимости (2.5) в классе 2п-периодических функций получаем систему, которая будет укороченным вариантом НФ Пуанкаре—Дюлака. При этом следует учесть, что
<(U1, Ej)> — Zj, j — 1, 2, 3, 4, Z3 — Z1, Z4 — Z2 ^ (U,.f) + F2 (U,f) + F3 (U„f), E,)) — — ((F2(U, f) + F(U„ f) + F3(U1, E.)) — 2(,, + il2)
Здесь l1 + il2 — ляпуновская величина уравнения (1.2), рассмотренного при s = 0. Итак, имеем
Z'k — (-1 )k + 1(- ig2)(Z1 - Z2) + Zk + (h + il2)Z2k'Zk 7)
k — 1, 2; g1 — y/2 , g2 — в/2 .
Штрихом здесь и ниже обозначается производная по s. Если учесть в выражении (2.6) последнее слагаемое, то в правой части системы (2.7) появится слагаемое s1/2yk(zi, z2, s), стремящееся к нулю при s ^ 0. В ситуациях общего положения для изучения аттракторов системы (2.1) достаточно рассматривать укороченный вариант НФ (ее главную часть), т.е. систему уравнений (2.7). Решения системы (2.1) после изучения системы (2.7) восстанавливаются по формуле (2.6). Уместно отметить, что существуют иные алгоритмы для получения НФ [4]. Излагаемый здесь подход — это один из вариантов метода Крылова—Боголюбова [10]. Положим в системе (2.7)
7 2 2
_ . Y + в / 2
где а — аргумент комплексного числа у + 'в. Нормировка
¿(я) = (-11 )-1/2 ^), ] = 1, 2
позволяет переписать систему (2.7) в более удобной для изучения форме
%' = йехр(-1а)Б% + % - (1 + ¿е)%2% % = со1 (%1 %2), %2% = со1 (%2%1,%2%2), е = /2//1
2~ „27
(2.8)
При е < 0 приходим к аналогичной системе в С2
%' = й ехр (-¿а) Б % - % - (1 + ¿е)%2 %
(2.9)
Системы (2.8) и (2.9) однотипны, но рассматривать их целесообразно раздельно. Здесь а е (—я/2, я/2), что вытекает из предположения у > 0, но й > 0 при рассмотрении системы (2.8) и й < 0 при рассмотрении системы (2.9).
Сначала изучим простейшие аттракторы систем (2.8) и (2.9), что представляет и самостоятельный интерес, так как эти системы соответствуют простейшей разностной аппроксимации ("билокальной" модели) задачи Неймана или периодической краевой задачи уравнения Гинзбурга—Ландау (Курамото—Цузуки) [2, 12—14], которое играет важную роль в ряде разделов теоретической физики и гидродинамики. Условия существования и устойчивости соответствующих аттракторов системы (1.1) (циклов, инвариантных торов) удобно и принято приводить в терминах коэффициентов НФ. В данном случае — это системы (2.8) и (2.9).
3. Автомодельные циклы нормальной формы. Непосредственная проверка показывает, что у системы (2.8) существует ЦАХ, т.е. решение
%а(я) = еоехр (-¿ея), ео = со1( 1, 1), (%1 (я) = %2(я) = ехр (-¿ея))
Система (2.9) не имеет ЦАХ.
Для исследования устойчивости ЦАХ системы (2.8) сделаем замену
%(я) = ехр (-¿ея)( ео + и(я)) Для и(з) е С2 получаем уже следующую систему:
и' = й ехр (^ а) Б и - (1 + ¿е)[ и + и + 2ии + и2 + и2 и ] (3.1)
Здесь и далее используется операция покоординатного умножения векторов: а * Ь = е, а, Ь, е е С , а = (а1, а2), Ь = (Ь1, Ь2) е = (е 1, е2), е1 = а1 Ь1, е2 = а2Ь2 Рассмотрим линеаризованное в нуле уравнение (3.1)
и' = й ехр (-¿а) Б и - (1 + ¿е)[ и + и] (3.2)
Собственные значения линейного оператора в правой части равенства (3.2), как обычно, б
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.