ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 39, № 8, с. 631-640
УДК 524.3-55
БАРОКЛИННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В НЕОДНОРОДНО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗДАХ
© 2013 г. Л. Л. Кичатинов1,2*
1 Институт солнечно-земной физики СО РАН, Иркутск 2Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург
Поступила в редакцию 11.02.2013 г.
Проведен линейный анализ бароклинной неустойчивости в лучистой зоне звезды с неоднородным по радиусу вращением. Неустойчивость появляется при очень малой неоднородности вращения АН ~ ~ 10~3Н. Имеется два семейства неустойчивых возмущений, соответствующих волнам Россби и внутренним гравитационным волнам. Неустойчивость является динамической: время ее развития составляет несколько тысяч периодов вращения, но мало по сравнению со временем эволюции звезды. Уменьшение теплопроводности усиливает неустойчивость. Неустойчивые возмущения обладают кинетической спиральностью. Возможна генерация магнитного поля возникающей в результате развития неустойчивости турбулентностью.
Ключевые слова: звезды: вращение — неустойчивости — волны.
DOI: 10.7868/80320010813080044
ВВЕДЕНИЕ
Молодые звезды к моменту попадания на главную последовательность вращаются быстро — с периодами около суток. С возрастом вращение подобных Солнцу звезд замедляется из-за потери углового момента на звездный ветер (Ску-манич, 1972; Барнэ, 2003). Тормозящий момент сил воздействует на поверхность звезды, но замедление вращения быстро распространяется на глубину конвективной оболочки из-за имеющейся здесь турбулентной вязкости. В более глубоких слоях лучистой зоны вязкость мала (~10 см2/с) и не достаточна для устранения радиальной неоднородности вращения. Поэтому до появления ге-лиосейсмологии считалось весьма вероятным, что лучистая зона Солнца вращается гораздо быстрее поверхности (см., например, Дике, 1970). Позднее выяснилось, что лучистая зона вращается практически однородно (Шу и др., 1998). Иными словами, между конвективной оболочкой и глубокими слоями лучистой зоны имеется сцепление, достаточно эффективное для того, чтобы устранить неоднородность вращения за время, малое по сравнению с возрастом Солнца. Наблюдения вращения звезд показывают, что характерное время для такого сцепления составляет <108 лет (Гартман, Нойс, 1987; Дениссенков и др., 2010).
Одним из возможных объяснений сглаживания неоднородностей вращения в звездах является неустойчивость неоднородного вращения: возникающая в результате неустойчивости турбулентность переносит угловой момент так, что вращение приближается к однородному. Трудность такого объяснения связана с тем, что пороговая величина неоднородности вращения
г йН ^ П (1г
(1)
Электронный адрес: kit@iszf.irk.ru
для появления гидродинамических неустойчиво-стей не мала, д = 0(0.1) (здесь Н — угловая скорость, г — радиус). Можно ожидать, что такие неустойчивости могут уменьшить неоднородность вращения до пороговой величины, но не устранить ее полностью. Исключение, возможно, представляет бароклинная неустойчивость (Тассуль, Тассуль, 1983), которая связана с неоднородностью вращения косвенно. В равновесном состоянии неоднородно вращающейся лучистой зоны поверхности постоянного давления и постоянной плотности не совпадают. Такое "бароклинное" равновесие может быть неустойчивым (Спраут, Кно-блох, 1984). В настоящей работе рассматривается бароклинная неустойчивость лучистой зоны звезды с неоднородным по радиусу вращением. Как мы увидим, неустойчивость наступает при очень малой неоднородности вращения, д ^ 1.
Неустойчивости важны также для перемешивания химических элементов в звездах (см., например, Пинсонел, 1997). Изучение устойчивости дифференциального вращения в лучистых зонах звезд имеет продолжительную историю (Голдрайх, Шуберт, 1967; Ачесон, 1978; Спраут, Кноблох, 1984; Коричански, 1991). Настоящая статья отличается тем, что рассматривается устойчивость относительно глобальных возмущений. Масштаб возмущений по горизонтальным направлениям не предполагается малым по сравнению с радиусом звезды. В то же время устойчивая стратификация лучистой зоны исключает перемешивание на большом масштабе по радиусу. Поэтому радиальный масштаб возмущений предполагается малым. Такой подход применялся для анализа устойчивости неоднородного по широте вращения (Шар-боне и др., 1999; Гилман и др., 2007; Кичатинов, 2010) в связи с проблемой солнечного тахоклина и показал, что доминирующие моды неустойчивости действительно являются глобальными по горизонтальным направлениям. Как мы увидим, то же справедливо для бароклинной неустойчивости. Наиболее неустойчивые возмущения соответствуют глобальным волнам Россби (г-моды) и внутренним гравитационным волнам (д-моды), которые при наличии радиальной неоднородности вращения экспоненциально растут со временем. Поэтому ба-роклинную неустойчивость можно рассматривать как потерю устойчивости неоднородно вращающейся лучистой зоной звезды по отношению к возбуждению г- и д-мод глобальных колебаний.
Обе основные моды обладают кинетической спиральностью, и • (V х и) = 0. Наличие спираль-ности указывает на способность течения к генерации магнитных полей (см., например, Вайнштейн и др., 1980). Здесь анализ неустойчивости смыкается с другим возможным объяснением однородного вращения лучистой зоны Солнца — эффектом магнитного поля (Кичатинов, 2006).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Исходное равновесие и причины его неустойчивости
При анализе устойчивости исходное равновесное состояние будем считать стационарным и обладающим цилиндрической симметрией относительно оси вращения. Мы рассматриваем гидродинамическую устойчивость, т.е. магнитное поле не учитывается. Будем исходить из стационарного гидродинамического уравнения
1.
(V • V)V = —VP - Vip р
на глобальное течение не учитывается. Основной составляющей течения в лучистой зоне является вращение
V = еф r sin вП. (3)
Здесь использованы обычные сферические координаты (r, в, ф), еф — единичный вектор в азимутальном направлении. Вращение будем считать достаточно медленным, Q2 ^ GM/R, чтобы отклонение стратификации от сферической симметрии было малым. Стратификация в лучистых зонах звезд является устойчивой, т.е. удельная энтропия s = cv ln(P) — cp ln(p) возрастает с радиусом r,
Cp or
(4)
Силы плавучести противодействуют радиальным смещениям. Поэтому меридиональная циркуляция мала и основной составляющей течения является вращение (3). Характерное время меридиональной циркуляции в лучистой зоне превышает возраст Солнца (Тассуль, 1982). Тем не менее наиболее важное условие баланса сил в лучистой зоне следует именно из уравнения для меридионального течения. Это условие можно получить, вычислив азимутальную составляющую ротора уравнения движения (2). Это дает
3Q2 1 sin e— = --¿(VpxVP)(f>, (5)
где d/dz = cos 93/dr — r-1 sin 93/39 — пространственная производная вдоль оси вращения, нижний индекс ф означает азимутальную составляющую вектора. Центробежная сила является потенциальной только в том случае, когда угловая скорость не зависит от расстояния z до экваториальной плоскости. Левая часть уравнения (5) учитывает непотенциальную составляющую центробежной силы, которая сама по себе вызывает вихревое меридиональное течение. В лучистой зоне звезды эта непотенциальная сила уравновешивается силой плавучести, учтенной в правой части (5).
При неоднородном вращении, зависящем от z, равновесие является бароклинным: поверхности постоянного давления и постоянной плотности не совпадают. Можно ожидать, что такое равновесие является неустойчивым. Это можно увидеть после следующих преобразований правой части (5):
(2)
х VP = —
р2 Cp р
1
-Vs х VP
(6)
-Vs x g*
где ф — гравитационный потенциал, используются стандартные обозначения, влияние вязкости
где g* = —V-ф + r sin вйеф x П — "эффективное" ускорение свободного падения. Из (6) видно, что
c
p
изобарические и изэнтропийные поверхности также не совпадают. Рис. 1 поясняет причину возможной в данной ситуации неустойчивости (Шибаха-ши, 1980). При смещениях в узком конусе между изобарическими и изэнтропийными поверхностями силы гравитации совершают работу над смещающимися жидкими частицами. Относительно легкие частицы с положительным возмущением энтропии (температуры) смещаются против силы тяготения, а более холодные и относительно тяжелые частицы — по направлению этой силы. Можно ожидать, что возмущения с такими смещениями будут усиливаться из-за высвобождения (гравитационной) энергии равновесного состояния. Примечательно, что неустойчивость возникает из-за сил плавучести, которые в лучистых зонах обычно оказывают стабилизирующее влияние.
Из рис. 1 видно, что причиной неустойчивости является не отклонение стратификации от сферической симметрии, связанное с вращением, а вызванная неоднородностью вращения бароклин-ность. Будем для простоты пренебрегать отклонением распределения давления от сферической симметрии, но учтем широтную неоднородность энтропии. Для частного случая вращения, зависящего только от радиуса, из уравнений (5) и (6) находим
дв дв
= —2дсртН2д 1 эш в сов в
(7)
где д — параметр неоднородности вращения (1).
Уравнения для малых возмущений
Основные приближения и методы получения уравнений для малых возмущений подробно обсуждались в предыдущих работах (Кичатинов, 2008; Кичатинов, Рюдигер, 2008). Особенностью настоящей статьи является лишь учет отклонения от баротропной стратификации, поэтому уравнения линейной задачи об устойчивости будут записаны без повторения их вывода. Необходимо, однако, перечислить основные приближения, использованные при выводе этих уравнений.
Исходное равновесное состояние не зависит от времени и долготы. Поэтому в линейной задаче об устойчивости зависимость возмущений от долготы и времени можно задать в виде ехр(тф — где т — азимутальное волновое число. Появление положительной мнимой части собственного значения, 1ти > 0, означает неустойчивость.
Устойчивая стратификация лучистой зоны препятствует перемешиванию на больших масштабах по радиусу, поэтому радиальный масштаб возмущений считается малым и анализ устойчивости является локальным по радиусу: возмущения ск
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.