ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2012, том 48, № 2, с. 189-194
УДК 551.511.3
БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНОЕ ВЕРТИКАЛЬНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В СИЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЕ © 2012 г. Н. С. Петрухин*, Е. Н. Пелиновский**, Т. Г. Талипова**
*Высшая школа экономики 603600Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, 25 E-mail: npetruhin@hse.ru **Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 E-mail: pelenovsky@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 04.10.2010 г., после доработки 11.01.2011 г.
В рамках линейной теории волн в сжимаемой атмосфере, находящейся в поле тяжести, найдено семейство профилей скорости звука, при котором волновое поле может быть представлено бегущей волной так, что отражение отсутствует. Вертикальный поток волновой энергии на таких безотражательных профилях сохраняется, что доказывает возможность переноса энергии на большие расстояния.
Ключевые слова: волны, атмосфера, энергия, скорость звука.
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерес к изучению акустико-гравитацион-ных волн (АГВ) среди геофизиков и астрофизиков продолжает оставаться высоким [1—7]. В атмосферной геофизике он обусловлен, прежде всего, важной ролью АГВ в передаче энергии из тропосферы в верхние слои атмосферы. Особый интерес вызывает задача о распространении АГВ, возбуждаемых в нижней атмосфере взрывами, землетрясениями и т. п. [8—9]. В частности, аку-стико-гравитационные волны, достигая ионосферу, влияют на добротность магнитосферного резонатора для электромагнитных волн [10].
В солнечной астрофизике интерес к изучению АГВ инициируется все еще остающимся открытым вопросом о нагреве хромосфер и корон Солнца и других звезд. Исторически акустический шум, генерируемый подфотосферной конвекцией, определялся как основной кандидат — переносчик энергии в верхние слои солнечной атмосферы [11]. Однако расчеты показывали, что эти волны, в особенности длинные (с периодом порядка 300 с), испытывают сильное отражение от неоднородности температурного профиля [5— 7]. А ведь только длинные волны способны достигать высот верхней хромосферы, не успевая дис-сипировать в более низких слоях на ударных разрывах [6]. В связи с этим в последнее время предпочтение отдается другим механизмам, способным поставлять энергию в корону [5].
Первой моделью, положившей начало в изучении АГВ, была так называемая изотермическая
атмосфера — плоскослоистая среда, находящаяся в постоянном поле тяжести, направленном перпендикулярно к этим слоям; невозмущенная температура которой всюду одинакова. Линейная теория АГВ в такой атмосфере развита достаточно полно [12, 13]. С помощью ряда преобразований исходная линеаризованная система газодинамических уравнений приводится к волновому уравнению с постоянными коэффициентами, что позволило получить дисперсионное соотношение, описывающее две ветви волн: акустическую и внутреннюю гравитационную. Акустические волны в такой атмосфере распространяются как в однородной среде без отражения на любую высоту, хотя их амплитуда, конечно же, зависит от высоты. Гравитационные волны, в отличие от акустических, могут распространяться только под углом к горизонту.
Простейшей неизотермической моделью для АГВ является политропная атмосфера, в которой температура изменяется с высотой по линейному закону. В работах [14, 15] показано, что хотя все основные невозмущенные физические параметры (температура, давление, плотность) изменяются монотонно, любой слой такой атмосферы является рефракционным волноводом для наклонных гармонических АГВ с определенными параметрами. В свою очередь, для любой волны существует "свой" слой, в котором эта волна "захвачена". Это обусловлено тем, что на одной и той же глубине относительно короткие (к > 1/Н) и относительно длинные (к < 1/Н) волны отклоня-
ются вследствие рефракции в противоположных относительно вертикальной оси направлениях (здесь к — горизонтальное волновое число и И(1) — высота эквивалентной однородной атмосферы на горизонте z). В результате этого одна и та же волна на разных высотах может отражаться в противоположных направлениях, в одних случаях как короткая, в других как длинная. В работе [16] показано, что подобными свойствами обладают АГВ в среде с экспоненциальным ходом изменения температуры. Прямые численные расчеты АГВ в атмосферах с более сложными температурными профилями также указывают на энергетические потери за счет отражения волн [17].
Как известно, волны в неоднородной среде, как правило, отражаются (см., например, [18]), поэтому общепринято мнение, что в неизотермической атмосфере акустико-гравитационные волны не могут распространяться на большие высоты, что и подтверждали результаты аналитических и численных расчетов [14—17]. Таким образом, все исследования, проводившиеся до настоящего времени, показывают, что в неизотермических атмосферах в той или иной степени происходит либо отражение, либо рефракция АГВ. Безусловно, этот фактор оказывает влияние на энергетический баланс среды. В связи с этим становится важным, на наш взгляд, поиск условий, при которых отражение волн минимально или отсутствует полностью.
Недавно было показано, что в сильно неоднородной среде при определенных профилях неоднородности возможно распространение волн на большие расстояния без отражения, и приведены конкретные примеры из динамики длинных поверхностных волн в мелководном океане [19—22] и внутренних гравитационных волн, распространяющихся в толщу океана [23—25]. Применяемый здесь подход, основанный на алгебре Ли и трансформационных преобразованиях, развит в математике для систем дифференциальных уравнений достаточно общего вида [26—31], хотя он никогда не интерпретировался с точки зрения безотражательного распространения волн. В настоящей работе этот подход используется для изучения вертикального распространения акустико-гравитационных волн в сильно неоднородной атмосфере. Основные уравнения модели кратко воспроизводятся в параграфе 2. Возможные профили скорости звука, обеспечивающие безотражательное распространение акустико-гравитацион-ных волн, описаны в параграфе 3. Волновое поле и поток энергии в среде с "неотражающими" характеристиками обсуждается в параграфе 4. В заключении суммированы основные результаты.
2. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ АКУСТИКО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СЖИМАЕМОЙ АТМОСФЕРЕ
Для анализа условий распространения акусти-ко-гравитационных волн в плоскослоистой атмосфере, находящейся в постоянном поле тяжести, воспользуемся классической системой уравнений газодинамики для адиабатических возмущений, распространяющихся по вертикали. В линейном приближении волны, распространяющиеся в неоднородной атмосфере, описываются уравнением для 0 = дV/дz (V — вертикальная скорость частиц жидкости), приведенным в [13]
д(2 ' ^ дz2
dz
+
дх
дz
(1)
с коэффициентами, зависящими от единственной переменной — скорости звука с^) = (ур0/р0)1/2. Здесь равновесные значения давления и плотности атмосферы определяются вертикальным распределением температуры в атмосфере Т0^)
Ро^) = р(0)ехр
Ро(^ = Р(0)~(о)ехр
Т (г)
dz
Н (¿)
(2)
где р(0), р(0) и Т(0) — давление, плотность и температура соответственно на некотором фиксированном уровне ^ = 0), и Н^) = с2^)/у# — высота эквивалентной однородной атмосферы.
Уравнение (1) исследовалось ранее в ряде статей, упомянутых во введении, где делался вывод, что в неизотермической атмосфере акустико-гра-витационные волны не могут распространяться на большие высоты.
Как будет показано ниже, существуют определенные профили температуры (скорости звука), при которых возможно безотражательное распространение акустико-гравитационных волн на большие расстояния.
3. БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ СКОРОСТИ ЗВУКА
Поставим следующую задачу. Существуют ли такие преобразования переменных, при которых уравнение (1) с переменными коэффициентами сводится к волновому уравнению с постоянными коэффициентами? Если такие преобразования существуют, то тем самым мы найдем безотражательные волны в неоднородной среде, потому что в гиперболических уравнениях с постоянными коэффициентами такие волны всегда существуют. Идея преобразования вытекает из анализа
волновых процессов в плавно неоднородных средах, когда бегущая волна имеет переменные амплитуду и фазу, но сохраняет свою форму в пространстве. Здесь, однако, рассматривается случай, когда скорость звука не меняется медленно.
Будем искать решение уравнения (1) в виде
X(z, t) = A(z)W(Z, t), Z = Z(z),
(3)
A(z)
d W - c \z)fdZ
dt2 К dz J dZ'
2 d 2W
Af c2AdZ ) + ( c2dA + YgA )dZ _dz К dz J К dz J dz _
- A f c2 A + YgA У = 0.
dz К dz J
dw
dZ
dW - (4)
Z(z) = [A;.
Jc(z)
(5)
A(z)
1
exp
С dz 2H (z).
(6)
5 2W
d 2W
dt2 dZ
= Q(z)W,
где
Q =1A Adz
c 2(z)AA + ygA(z) dz
(7)
(8)
Потребуем, чтобы Q = const, что с учетом (6) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для нахождения "безотражательных" профилей скорости звука
1 j2 2 1 d c
1
(dc1!dz)2
4 dz2 16 c2
2 2
+Y4gr = -Q.
(9)
где все функции подлежат определению. После подстановки (3) в (1) получаем так называемое уравнение Клейна—Гордона с переменными коэффициентами
Это уравнение в силу его автономности один раз интегрируется и сводится окончательно к квадратурам
z + a = ±
=±-1 ¡.
VP- J
cdc
Yg
c + a2c + 1
(10)
Чтобы получить в этом уравнении постоянные коэффициенты, необходимо наложить несколько условий. Одно из них очевидно в даламбериане (в первой квадратной скобке) и приводит к нахождению функции Z(z)
Естественно, что знак перед интегралом в (5) может быть любой, фактически он соответствует направлению волны, как это будет видно из дальнейшего. Физический смысл функции Z(z) очевиден — это есть время распространения волны в неоднородной среде.
Второе условие — это равенство нулю второй квадратной скобки в (4), чтобы обеспечить не нарастание волнового поля на обоих концах:
где а1 = —4Q/Y2g2, а2 и а3 — произвольные размерные постоянные. Интеграл в (10) вычисляется при любых знаках этих коэффициентов. Естественно положить здесь а3 = 0 без ограничения общности. Рассмотрим возможные профили скорости звука,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.