научная статья по теме БИФУРКАЦИИ И ХАОС В СИСТЕМЕ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «БИФУРКАЦИИ И ХАОС В СИСТЕМЕ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 52, № 3, с. 373-380

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^^^

В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ

УДК 517.9

БИФУРКАЦИИ И ХАОС В СИСТЕМЕ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

© 2007 г. Э. В. Кальянов

Поступила в редакцию 19.11.2004 г.

Рассмотрена математическая модель системы с переменной структурой, в которой на основе неавтоколебательного уравнения второго порядка, формируются хаотические автоколебания при использовании алгоритма хаотизации. Приведена схема динамической системы, имеющей переменную структуру, и результаты ее численного анализа. Показано, что хаос возможен в системах с переменной структурой, основанных как на уравнении нелинейного, так и на уравнении обычного (линейного) колебательного контура.

ВВЕДЕНИЕ

Автоколебательные системы с хаотической динамикой занимают особое место в теории нелинейных колебаний [1-10]. Известно большое количество различных хаотических систем. Они находят и новые практические применения в системах управления колебаниями и скрытой связи [7-10].

В работах [11-16] описан новый способ получения управляемого динамического хаоса (на основе автоколебательных систем с регулярной динамикой и на основе бистабильных систем) путем использования специального алгоритма, обеспечивающего создание переменной структуры. Этот способ позволяет расширять диапазон хаотических движений и в системах, в которых хаос реализуется лишь в узком интервале изменения параметров [16]. Представляет интерес развитие способа хаотизации колебаний, основанного на использовании систем с переменной структурой, применительно к созданию хаотических генераторов на основе различных неавтоколебательных систем, в том числе и на основе колебательного контура. Данная работа посвящена этому вопросу. В ней рассматривается система с переменной структурой, обладающая хаотической динамикой, основанная на неавтоколебательном уравнении второго порядка. Показано, что хаоти-зация колебаний в системе с переменной структурой возможна, когда она создана как на основе нелинейного, так и на базе линейного колебательного контура.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ХАОТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

В качестве исходного уравнения для математической модели системы с переменной структурой воспользуемся уравнением типа уравнения Дюф-финга

^ х/dt2 + \dxldt + ц х3 + V х = ф( t), (1)

где ф(0 = Accos(roct), Ac, юс - амплитуда и частота внешнего сигнала, X, ц, v - постоянные коэффициенты.

Интересно, что коэффициенты X, ц, v можно выразить через параметры о, а, r, b, входящие в хаотические уравнения Чена, которые представляют собой, по существу, модификацию известной системы Лоренца с параметрами о, r, b и имеют вид [17]

dx/dt = о(у - x), dy/dt = ay - rx - xy, (2)

dz/dt = xy - bz.

Действительно, исключая из этой системы y и делая замену переменных с помощью соотношений

x = [о( r -1 )]1/2t, £ = x/[ 2 о( r -1 )]1/2, (3)

П = (z - x2/2g)/(r - 1),

использованных в [3] применительно к системе Лоренца, будем иметь

d2£/dx2 + {(о- а)/[о(r- 1 )]1/2}d£/dx +

+ [n + £2 + (r - а)/(r -1 )]£ = 0, (4)

dn/dx = [(2о - b)£2 - bn]/[о(r -1 )]1/2. Отсюда при условии dn/dx = 0 получим

d2 £/dx2 + X d£ /dx + ц£3 + v£ = 0, (5)

где

X = (о - а)/[о(r - 1 )]1/2,

ц = 2 о/b, (5')

v = (r - а)/(r - 1).

Сама по себе возможность получения уравнения (5) из системы Чена способствует пониманию механизма ее хаотизации. Такой подход возможен, по-видимому, и к другим хаотическим системам и представляет самостоятельный интерес.

При V > 0 уравнение (5) обладает одним устойчивым состоянием, а при V < 0 - двумя. Одно устойчивое состояние (^ = 0) при различных начальных условиях реализуется, например, при V = 1, когда {а, Ъ, г, а} = {1, 0.85, 3.2, 1.276}. Это первый вариант параметров, использующийся при расчетах. Два устойчивых состояния (^мин = -0.58, ^макс = 0.58) реализуются в уравнении (5), например, при V = -1, когда {а, Ъ, г, а} = {5.4, 4, 3.2, 6} (второй вариант).

На основе уравнения (1) можно создать автоколебательную систему с хаотической динамикой. Дополняя правую часть этого уравнения внешним сигналом/(Г), будем иметь

С2хШ^ + \dxldt + цх3 + vx = / (0 + ф( ¿). (6)

Полагая, что ДО = 5^(0, представим уравнение (6) в виде эквивалентной ему системы

dxldt = - Хх - у, 3 (7)

dyldt = цх + Vх - 50г - Ассо8),

где 50 - постоянный коэффициент, г - переменная, изменяющая структуру системы.

Для обеспечения переменной структуры в системе (7) необходимо задать г условиями автокоммутации. Это можно сделать различным образом, например, так

г =

ы2, ы1ы2 > 0, их, и1и2 < 0,

(8)

где переменные ui (/ = 1, 2) определяются уравнениями

22 с uildt + (юг1 Qi)duildt-

■№iui = 5,х,

(9)

При использовании в качестве опорного сигнала колебания генератора Ван дер Поля с обратным воздействием выходных колебаний х(0 можем записать

С2 V + е( 1 - V2) С vl dt -

ю0 V = 5с х.

(10)

При этом функция ф(0 в уравнении (6) приобретает вид ф(0 = ^(0, так что вместо уравнения (7) следует использовать уравнение

dxldt = - Хх - у, = цх3 + Vx - 50г - t).

(7')

решаемыми совместно с системой (7) при условии (8).

Соотношения (7)-(9) определяют математическую модель хаотической системы с переменной структурой (системы с алгоритмом хаотизации). Хаотические автоколебания обеспечиваются благодаря изменяющейся обратной связи, так как функцияДО, определяясь значениями ui, зависит и от переменной х(0.

Естественно, в качестве опорного сигнала вместо гармонических колебаний ф(0 могут использоваться автоколебания, формируемые генератором регулярных или хаотических колебаний. При обеспечении обратного воздействия на этот генератор колебаний х(0 система становится самосогласованной.

Таким образом, самосогласованная хаотическая система с переменной структурой описывается соотношениями (7'), (8)-(10).

Численный анализ моделей с переменной структурой, обеспечиваемой алгоритмом хаотизации, проводился методом Рунге-Кутта 4-го порядка при шаге интегрирования по времени, равном 0.01 и нулевых начальных условиях для переменных х и у.

Неизменяемые при расчетах параметры в условиях автокоммутации определены следующими значениями: = 0.8, Q1 = Q2 = 100, 5Х = 0.44, 52 = 0.36. Частота ю2 в случаях ц ^ 0 равна 1.6, а в случае ц = 0 равна 1.2. Амплитуда внешнего гармонического сигнала во всех случаях равна Ас = 0.8.

2. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СИСТЕМЫ

Структурная схема модели, описываемой соотношениями (7)-(9), которую можно также назвать блок-схемой системы с переменной структурой, представлена на рис. 1. Для ее практической реализации можно использовать элементы, достаточно давно применяемые в системах автоматического управления [18, 19] и при электрическом моделировании генераторов [20]. Основными элементами схемы являются интеграторы (|),

нелинейный прообразователь Ы, линейные элементы Х, ц, V, 5Ь 52, 50, фильтры / и /

Напряжение на двухпозиционное поляризованное реле Р подается с блока умножения (х). Для сложения и вычитания используются сумматоры (+) и инверторы (-).

Структурная схема модели, описываемой соотношениями (7'), (8)-(10), отличается от схемы, приведенной на рис. 1, тем, что вместо источника внешнего гармонического сигнала используется реальный генератор, на вход которого, в свою очередь, подаются управляемые колебания х(0. Иными словами, вместо внешнего гармонического сигнала используются вводимые через аттенюатор колебания автогенератора с обратным воздействием, обеспечиваемым достаточно сложной дополнительной обратной связью.

БИФУРКАЦИИ И ХАОС В СИСТЕМЕ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ 8^ + Ассоз(шс0

+

У

I

У

Vx С N

V V )

+

у + X х

ц х

/■-N

N

X

/1

и1и2

и2

/2

81х

О 18

V—х У У ч_р

82х

О

80

Р

Г

Рис. 1. Структурная схема хаотической системы с алгоритмом хаотизации.

[х]

1 0

-1

1 0

-1

(а)

(в)

г .

0

[х]

1 0 -1

1 0

(б)

£

I .■.:■*■"/1

(г)..

'Н?-' / -К-.- V.-'

■ ■■ ■. . . ■ ■

-1 ш 0

ш

Рис. 2. Изменение максимальных значений колебательного процесса х(0 в зависимости от частоты опорных V = 1 и 80 = 0 (а) 0.2 (б),0.4 (в) и 1 (г).

и

х

X

£

8

ц

0

3

х

1

2

3

1

2

3

3. БИФУРКАЦИИ И ХАОС ПРИ V = 1

На рис. 2-4 иллюстрируется поведение системы с переменной структурой применительно к первому варианту параметров, когда V = 1. Рис. 2, 3 рассчитаны при использовании модели, описываемой уравнениями (7)-(9), а рис. 4 - при использовании модели, описываемой соотношениями (7'), (8)-(10).

На рис. 2 показано изменение максимальных значений колебательного процесса х(0 (обозначенных [х]) в зависимости от частоты опорных колебаний при различных величинах параметра 80, определяющего степень хаотизирующей обратной связи.

При 80 = 0 (рис. 2а) диаграмма отображает частотную характеристику нелинейного контура.

Она получена при увеличении частоты внешней силы. Резонанс, которому соответствуют колебания с простым предельным циклом, реализуется в интервале ш е [0.6, 2.9]. При ш < 0.6 возникают зоны сложных колебаний, которым соответствуют многооборотные предельные циклы. Так, при ш = 0.4 реализуются трехтактные колебания.

Частотная характеристика, рассчитанная при уменьшении частоты опорных колебаний, отличается от характеристики, представленной на рис. 2а - проявляется гистерезис, в результате чего верхняя граница резонанса снижается до значения ш = 1.9.

Хаотизация колебаний проявляется при относительно слабой хаотизирующей обратной связи (рис. 26, 80 = 0.2). Однако разброс точек, соответствующих максимальных значениям колебатель-

Рис. 3. Аттрактор (а) и спектр мощности (б), соответствующие хаотическим колебаниям, возбуждающимся при 50 = 1, ю = 2 в случае V = 1.

Рис. 4. Спектры мощности, соответствующие колебаниям, возбуждающимся при использовании модели, в которой в качестве источника опорных колебаний, используется автогенератор: 5С = 0 (а) и 0.6 (б).

ного процесса [х], невелик. При этом в интервале ю е [2.5, 2.9] сохраняется режим резонансных колебаний.

При дальнейшем увеличении параметра 50 хаос становится более развитым. В то же время уже при 50 = 0.4 верхняя граница области колебаний снижается и ограничивается значением ю = 2.3 (рис. 2в). Зат

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком