научная статья по теме БИФУРКАЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ТЯЖЕЛОЙ БУСИНКИ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ОБРУЧЕ С СУХИМ ТРЕНИЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «БИФУРКАЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ТЯЖЕЛОЙ БУСИНКИ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ОБРУЧЕ С СУХИМ ТРЕНИЕМ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 5, 2014

УДК 531.36

© 2014 г. А. А. Буров, И. А. Якушев

БИФУРКАЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ТЯЖЕЛОЙ БУСИНКИ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ОБРУЧЕ С СУХИМ ТРЕНИЕМ

Рассматривается скольжение тяжелой бусинки, нанизанной на тонкий круговой обруч, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, расположенной в его плоскости и, в общем случае, не проходящей через его вертикальный диаметр. Предполагается, что между бусинкой и обручем действует сила сухого трения. Находятся множества неизолированных положений относительного равновесия бусинки на обруче, исследуется их зависимость от параметров задачи. Результаты представлены в виде бифуркационных диаграмм. Обсуждаются свойства устойчивости найденных неизолированных относительных равновесий.

Исследования существования и устойчивости неизолированных равновесий в системах с трением восходят, по-видимому, к работам В.В. Крементуло [1, 2]. Вскоре была развита [3] общая теория устойчивости равновесий в системах с сухим трением. Недавно были предложены [4—6] методы исследования устойчивости таких равновесий, опирающиеся на общую теорию систем с разрывными правыми частями. Исследовались [7, 8] бифуркации равновесий в системах с трением, а также бифуркации фазовых портретов таких систем [9]. Изучались [10, 11] зависимости семейств неизолированных равновесий от параметров в двумерных и трехмерных случаях. Был изучен [12] пример бифуркационных множеств типа "симметричная жирная вилка" в задаче о движении тяжелой бусинки на круговом обруче, вращающемся вокруг своего вертикального диаметра. Как известно, в отсутствие трения эта задача дает классический пример бифуркации типа "вилка" (см., например, [13]).

В настоящей работе на указанном выше примере удалось исследовать бифуркационные множества типа "несимметричная жирная вилка", а также их расщепление с образованием бифуркационных множеств типа "подковы" и "полосы". Построены не встречавшиеся ранее [12] фазовые портреты, отвечающие различным значениям бифуркационных параметров.

Рассматриваемая задача — простейший вариант задачи о движении механических систем с подвижными массами, активно применяемыми для самобалансировки в системах с вращающимися элементами (см., например, [14]). Разные аспекты динамики таких систем активно изучаются [15—17]. Следует заметить, что в динамике систем с сухим трением видимая простота постановки задачи иной раз не только сочетается с достаточной сложностью ее решения, но позволяет прояснить механическую природу наблюдаемых явлений, таких как, например, трение покоя (см. недавнюю работу В.В. Козлова [18], в которой получили развитие идеи, восходящие к исследованиям Томлинсона [19] и Прандтля [20]).

1. Постановка задачи и уравнения движения в избыточных координатах. Рассматривается движение тяжелой материальной точки — бусинки Р массы т, нанизанной на круговой обруч радиуса € с центром в точке О, вращающийся с постоянной угловой скоростью ш вокруг вертикальной оси, лежащей в его плоскости на расстоянии а > 0 от вертикального диаметра. Предполагается, что между бусинкой и обручем действует сила сухого трения с коэффициентом трения ц.

Движение бусинки можно описать с помощью уравнений Лагранжа первого рода в связанной с обручем подвижной системе координат (ПСК). Пусть Оху1 — такая система координат с началом в центре обруча, ось у которой направлена вертикально вверх, горизонтальная ось х располагается в плоскости обруча и направлена от оси его вращения, горизонтальная ось z перпендикулярна плоскости обруча и дополняет оси х и у до правой тройки (фиг. 1).

Фиг. 1

В ПСК ось вращения задается прямой х = —a, г = 0 при произвольном значении y, положение бусинки P — координатами (х, y, г), а связи, стесняющие ее движение, определяются соотношениями

fi = 2 (x2 + / - = 0, fi = z = 0 (1.1)

Пусть ur = (x, y, z ) — скорость бусинки в ПСК, ur = (ur, ur)1/2. Так как ее переносная скорость = (юг, 0, —ю(х + a)), то кинетическая энергия системы, освобожденной от связей, а также потенциальная энергия имеют вид

T = m((x + ®z)2 + y1 + (Z - œ(x + a))2), U = mgy

где g — ускорение свободного падения, и уравнения Лагранжа записываются следующим образом:

dдLx = d_Lx + F d d_Lk = <L + F = dL (12)

dt dx dx x' dt dy dy y' dt dZ dz

Lx = L + Xifi + Xifi, L = T - U (1.3)

Уравнения (1.2) можно представить как ma = FC + Fc + F^ + N + F

где a — ускорение бусинки в ПСК, Fc и Fc — кориолисова и центробежная силы, F^ — сила тяжести, N — нормальная реакция обруча, F — сила трения. Используя орты касательной, внутренней нормали и бинормали к обручу в точке Р:

т =

(-У/ х/ € У 0

п =

(-х / -У / € У 0

, Ь = т х п =

( 0^ 0 У 17

получим

(-2 mю ¿^

Рс = 0 , Рс =

У 2 m юхх7

'т ю (х + а ) 0

N = - А^ € п + А2Ь =

(А х^

Хху ^7

тю г

, Р =

а ( 0 ^

, Ры = -mg

7 V 0 7

( Рх\ Ру

к 0 7

причем в случае скольжения (иг Ф 0) Р = -ц-Ы, N = (N. N)1/2

Р || т

(1.4)

Удобно ввести безразмерные переменные и параметры, заменяя

1€

х ^ х €, у ^ у €, г ^ z €, а ^ а €, t ^ t -, ю ^ ю

А ^ ^1т€, А2 ^ А2mg, Ь ^ Lmg€, Рх ^ mgFx, ¥у ^ mgFy

(1.5)

Сохраняя точку над символом как обозначение производной по новому времени, с учетом выражений (1.5) уравнения связей (1.1) и функцию Лагранжа (1.3) можно записать как

/1 = 1 (х2 + у2 - 1) = 0, /2 = г = 0

1,,-

(1.6)

Ь- = 1 ((х + юг)2 + у1 + (г - ю(х + а))2) - у + А/ + А/2

Для определения множителей Лагранжа и А2 вычисляют первые и вторые производные по времени от тождеств, задающих связи. Они имеют вид

хх + уу = 0, г = 0

22

хх + уу + х + у = 0, г = 0.

(1.7)

(1.8)

Так как вектор силы трения касается окружности в точке P, то хРх + уРу = 0

и подстановка в тождества (1.7) и (1.8) выражений для вторых производных из уравнений (1.2) позволяет представить и А2, а также уравнения движения в виде

г

X, = у - (х2 + у1) - ю2(х + а)х, Х2 = -2юх

1 2

2

х = ю (х + а) + X,х + у = Х,у - 1 + Гу

Согласно закону Амонтона—Кулона, величина силы трения стеснена соотношением

г2 = Г + ^ <и2 (X2 + х2) (1.10)

Подстановка выражений (1.9) для и Х2 в неравенство (1.10) дает условие

Г < ц2[(- (х2 + у2) - ю2(х + а)х + у)2 + 4ю2х2] которое в случае скольжения обращается в равенство, причем, согласно соотношению (1.4), ху

Г = -Г л , Гу = -Г-

" [72 72 [72 72

л/х + у л/х + у

I 2 2 2 2 2 2

Г = цл/(у - (х + у ) - ю (х + а)х) + 4ю х

так как направление силы трения противоположно направлению скольжения. В случае равновесия бусинки относительно обруча выполняется неравенство

<^1 у - ю2(х + а)х\ (1.11)

Замечание. Ранее [12] при расчете нормальной реакции во внимание была принята лишь ее составляющая, расположенная в плоскости кольца. Автор А.Б. благодарен А.П. Иванову, указавшему ему на этот недочет.

2. Существование относительных равновесий и их свойства. Уравнения относительных равновесий. Если бусинка находится в равновесии относительно обруча, то ее относительная скорость, а вместе с ней и кориолисова сила, равны нулю. Тогда действующая вдоль касательной к обручу сила трения компенсирует сумму касательных составляющих силы тяжести и центробежной силы, т.е.

- у(ю2(х + а) - Гу) + х(- 1 + Гх) = 0 (2.1)

Введем обозначения

22 £,(х, у) = х + ю у (х + а), п(х, у) = ю (а + х) х - у

С помощью первого из равенств (1.6) уравнение (2.1) приводится к виду

Г = х + ю у(х + а) (2.2)

Оно совместно с первым равенством (1.6) и неравенством (1.11) образует систему для определения относительных равновесий, после подстановки выражения (2.2) для Г принимающую вид

\^(х, у)|<Нп(х, у)|, х2 + у2 = 1 (2.3)

Для того чтобы следить за границами области £ е Я2(х, у), задаваемой первым из соотношений (2.3), удобно ввести параметры

СТь =

1, если £,(х, у)> 0

ст—

1, если п (х, у) > 0 -1, если п(х, у)< 0

[-1, если £,(х, у)< 0

Тогда граница дЕ области Е задается соотношением

£,(х, у) = цстп(х, у) и состоит из двух гипербол, представимых в виде

22 Иа: (ю (х + а) + стц)у = (стцю (х + а) - 1 )х, ст = ±1

Ст = СТЬ Ст—

(2.4)

В дальнейшем основное внимание будет уделено наиболее интересному случаю a < 1.

В общем случае множество относительных равновесий зависит от угловой скорости вращения обруча. Исключение составляют положения относительных равновесий, для которых бусинка располагается на оси вращения. Такие решения существуют, если ось вращения пересекает обруч и выполнено неравенство (1.11). Для них

= ±л/1 - а2, а < Цл/Г"

2

х = -а, у = ±л/1 - а , а < Цл/1 - а

Последнее неравенство в рамках сделанных предположений представимо в виде

а < а

= Ц/л/Т

2

В общем случае выражая у из равенства (2.4) и подставляя результат в уравнение связи, можно получить уравнение четвертой степени относительно х с достаточно громоздкими коэффициентами, имеющее вид

(2.5)

4^1 2Ч 4 т 4 2Ч 3 ,, 4 2 2ч ^ 2

ю( 1 + ц) х + 2 ю а( 1 + ц) х + ((ю а + 1)(1 + ц) - ю) х -- 2ю2(ю2а + стц)х - (ю2а + стц)2 = 0

При условии a = ац уравнение (2.5) допускает решение x = —a. При условии

2

ю а + стц = 0

уравнение (2.5) имеет двукратный корень х = 0. В этом случае система (2.3) обладает решениями

х± = 0, у± = ±1

а также решениями

х± = - а ± —, у± = —1 - аЯ; Я =

± 2 2 юю

ю 4 ( 1 - а2) - 1

4 2 ,

ю а + 1

существующими лишь при выполнении условий

1 'А 1/4

а < 1, ю > ю 0 =

1 - а

Уравнение (2.5) имеет корень x = 1 при условии цш2(±1 + a) — а = 0, взятом со знаком минус, и корень x = — 1 при том же условии, взятом со знаком плюс. В таких отно-

сительных равновесиях бусинка находится в точках горизонтального диаметра, соответственно, наиболее и наименее удаленных от оси вращения.

Замечание. Введенные выше функции aL и ая отличаются от привычной функции sign(x) тем, как они доопределены в нуле, и оказываются удобными не только при решении задач механики систем с сухим трением, но и задач элементарной математики [21].

Параметрический анализ положений относительного равновесия. Множества относительных равновесий, определяемые системой (2.3), а вместе с ними и фазовые портреты исследуемой системы зависят от двух параметров (a, ю). Громоздкий анализ этой зависимости позволяет выделить четыр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»