УДК 621.891
бифуркационная потеря устойчивости в элементах трибоспряжения при их упругом деформировании
Кравцов в.и., садегиджалал A.M., недбайло А.н.
цель работы - разработка на базе современных методов вычислительной математики и численного анализа метода определения напряженно-деформированного состояния, устойчивости и закритического поведения элементов трибоспряжения при пространственном упругом деформировании его элементов. Для этого рассматривается математическая модель, которая базируется на известных подходах Лагранжа и Эйлера и которая описывает равновесие и деформирование пространственно искривленного элемента, его внешнюю и внутреннюю геометрию. Рассматривается методика численного решения поставленной задачи, которая основана на совместном применении метода продолжения по параметру и метода Ньютона-Канторовича. Для оценки достоверности разработанной методики был проведен эксперимент по определению напряженно-деформированного состояния, бифуркационной потери устойчивости и закритического поведения упругого плоского кольца при его вращении вокруг своего диаметра. На построенном многообразии равновесных состояний выявлено бифуркационное состояние равновесия и
закритические формы вращения, которые отображены на рисунках. Данные эксперимента полностью совпали с данными численного расчета. На всем этапе деформирования вычислялись координаты точек, усилия и моменты в сечениях, значения некоторых из них представлены на графике в безразмерных величинах.
ключевые слова: узел трения; упругость; деформирование; устойчивость; математическая модель; численные методы; дифференциальные уравнения; бифуркация; вычислительная математика, эксперимент, усилия.
bifurcational stability loss in the elements of tribological units under elastic deformation
Kravtsov V.I., sadegidzhalal A.M., Nedbailo A.N.
The purpose of the article is to work out a method for determining the stressedly-deformed mode, stability and overcritical behavior of tribological units under spatial elastic deformation of their elements on the basis of modern methods of computational mathematics and numerical analysis. Towards this end, a mathematical model based on the known approaches of Lagrange and Euler and describing the equilibrium and deformation of spatially curved element, its external and internal geometry is designed. The methods of numerical solution of the defined problem based on the combined application of
the method of continuation by a parameter and the method of Newton-Kantorovich are setforth. To assess the reliability of the developed method an experiment to determine the stressedly-deformed mode, bifurcational stability loss and overcritical behavior of an elastic planar annulus by its rotating around its diameter was carried out. On the basis of the constructed variety of equilibrium states a bifurcational state of equilibrium and overcriticalforms of rotation were detected and represented in the figures. The experiment data completely agree with the data of numerical computation. At all stages of deformation the coordinates of the points, forces and moments in sections were computing, the values of some of them are represented in the chart in dimensionless quantities.
Keywords: tribological units; elastic; deformation; stability; mathematical model; numerical methods; differential equations; bifurcation; computational mathematics; experiment; forces.
введение
Специфика фрикционного контакта такова, что при его анализе приходится иметь дело с большой группой факторов, среди которых дискретность контакта, разнообразие типов деформирования неровностей даже в пределах одной области контакта, неоднородность свойств материалов по поверхности и глубине, изменение этих свойств в процессе трения. Современная механика твердого тела старается учесть перечисленные факторы при постановке и решении контактных задач, но, как правило, каждый отдельно. Кроме того, при работе трибосопряжения возмож-
ны неустойчивые процессы в любом из элементов узла трения, которые обычно называют бифуркационными. Они связаны с изменениями аналитических или геометрических свойств системы, то есть - это скачкообразное появление новых возможностей системы, соответствующее постепенному изменение ее параметров [17]. Вследствие многообразия различных условий, приводящих к возникновению фрикционных бифуркационных состояний, появились различные теории их возникновения. Так, Н.Л. Кайдановский и С.Э. Хайкин [4,11] причину возникновения фрикционных бифуркаций усматривали в наличии падающей нелинейной зависимости силы трения относительной скорости скольжения; Ю. Ишлинский и И.В. Крагельский [3,5] - в превышении силы трения покоя над силой трения скольжения. А.П. Амосов [1] связал процесс возникновения фрикционных автоколебаний с изменением характеристик трения за счет тепловых процессов, при которых после срыва на этапе относительного скольжения (обычно с большой скоростью) происходит разогрев поверхностей трения и в большинстве случаев уменьшение коэффициента трения.
При решении практических задач трибологов интересует исследование устойчивых режимов скольжения узлов трения, условия, при которых эти режимы трения реализуются [7]. Поэтому актуальным является создание такой модели исследования, которая позволяла бы максимально учитывать влияние какого-либо из факторов (или одновременно нескольких из них) на устойчивость и закритическое поведение элементов трибоспряжения.
Напряженное состояние в зоне фактического соприкосновения тел характеризуется деформацией микронеровностей, а также упругими или пластическими деформациями опорных по-
верхностей. Таким образом, элементы узла трения можно рассматривать как деформированные, геометрически нелинейные твердые тела [6]. При этом геометрией опорной поверхности может быть как окружность, так и некоторая другая форма кривой, например, эллипс с незначительным соотношением осей и т.п., которая возникла вследствие изнашивания поверхностей трения или обусловленная технологическими условиями, а геометрией неровностей шероховатости - пространственные объемные тела неопределенной формы, которые как правило апроксимируют в самом малом приближении как правильный конус [2,5]. Такие задачи являются геометрически нелинейными и требуют особого подхода.
цель работы
Аналитические методы [8,9,12,13,15) сейчас нельзя считать алгоритмическими - постановка и решение любой новой задачи требует больших осложнений в математических вычислениях, временных затрат [10]. Поэтому наиболее перспективным в данном направлении можно считать применение численных методов на базе современных методов вычислительной математики и численного анализа [14]. Результаты, полученные в процессе численного анализа, могут составить основу прогнозирования поведения материалов при контактных взаимодействиях и обеспечить в дальнейшем усовершенствование триботехнических свойств материалов.
метод исследования
Рассматривается математическая модель, которая базируется на известных подходах Лагранжа и Эйлера и которая описывают
равновесие и деформирование гибкого элемента, его внешнюю и внутреннюю геометрию. Опишем кратко метод исследования.
Введем естественный трехгранник п 3 Ь , Г с единичными ортами главной нормали и касательной; подвижный трехгранник с ортами и, V, w . Обозначим векторы внутренних усилий и моментов /*", М; кривизны относительно орт подвижного трехгранника p, q, г ; координаты x, у, z независимой переменной 5.
Представим систему разрешающих уравнений, которые описывают деформирование пространственно искривленного элемента, в виде
(1)
где
х( з)=( Ри( ь), З),р( 5),д{ 5),г( з),тх( $),Ту ( з),Т2( я),
- вектор состояния (т =18), f - вектор-функция правых частей системы уравнений; X - параметр интенсивности возмущения (нагружения), штрихом обозначена производная по s. Сформулированная таким образом в области 0 < 5 < Я ^ - длина участка интегрирования) изменения независимой переменной s система разрешающих уравнений (1) имеет общий восемнадцатый порядок. Наличие шести первых интегралов
|т| = 1, \п\ = 1, тп = 0, тх п = Ь (2)
позволяет уменьшить ее порядок до двенадцатого.
Методика решения поставленной задачи основана на совместном использовании метода продолжения по параметру и метода Ньютона-Канторовича. На краю s = 0 интервала 0 < 5 < S изменения переменной s заданы шесть независимых краевых условий ср [л"(0)] = 0 и шесть вытекающих из первых интегралов уравнений связи 0 [х(0)] = 0. Для замыкания системы уравнений достаточно на краю s = S задать шесть независимых краевых условий
у/\х(^)]= 0. В сформулированных краевых уравнениях обозначают шестимерные векторы-функции.
Пусть при некотором значении Х=Х") известно решение х(п ). Дадим малое приращение параметра X. Тогда со-
ответствующую ему вариацию 8 х(п) (Я) решения х(п) (Я) можно найти из линейного уравнения
й8- Ж8х- 8(3) йъ дх дХ
полученного линеаризацией системы разрешающих уравнений. Краевые уравнения для функции 8( х)(п' формируются линеаризацией начальных нелинейных краевых уравнений
(п) (0) д08х(п)(0) ^ 8х(п)(Я) = 0. (4)
дх дх дх
Для построения 8х(п) выберем среди составляющих ¿>хл3(-^Хг = 1.2,3,...18) такие шесть компонент 8х"':($). любые значения которых 8(п)(0) не изменяют первые два век-
торные уравнения системы (4). Перенумеруем неизвестные =1,2,3,...18) так, чтобы индексу принимал значения значенияу =1,2,3,...6. 1огда решение задачи (4) представим в виде
8х(п) (ъ) = ул8Л( п) + У (ъ)8с(п), (5)
где ух (ъ) - решение задачи Коши для системы
(6)
при нулевых начальных условиях, Y(s) - матрица размера т*6 решений системы
¿У = Я/ (7)
С}5 С?Х
с начальными условиями, ^(0) = (5^ — 1.2... .6)
для независимых переменных, для других переменных - yi(0)0 = 7,8,....18). Вектор постоянных 8с(п) = {8 с1п), 8 с 2п)8 с 6п)} подбирается из уравнений
У (Я )8с(п) = -д^ ул(Я )8Х( п). (8)
дх дх
Если матрица в формуле (8) невырождена, то при
данном значении Х = Х(П можно найти вектор 8 С(п), соответствующий выбранному значению 8 Х(П , а затем вариации на-
чальных условий Зх(п) (0) (г =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.