ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ¡О • ШЭНОП ^«тоКУ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА «.н,
Том 144,№ 2 -» • г 5г ч
август, 2005 -*4мгнк -к*'-, а, л» а %, > иш.«,'.
а«еоишл'эсаЗЦ» '«нид 1Й г'Г , „<
'' 'I- '...ЩМ- *{Ги< ' •
•да« -и '.V »1»Г.- \ > И
г.Ь
© 2005 г. Б. В. Гисин*, Р. Дрибен*,
.....( , .ШИ-Ч 'Л р.-.- <П и'
Б. А. Маломед*, И. М. Мерхасин*
у о -.ул-
БИСТАБИЛЬНЫЕ СОЛИТОНЫ В ОДНО- И МНОГОКАНАЛЬНЫХ ВОЛНОВОДАХ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ '
к
ТРЕТЬЕГО И ПЯТОГО ПОРЯДКОВ
Рассматриваются пространственные солитоны в канальном волноводе или в периодической последовательности прямоугольных потенциальных ям (модель Кронига-Пенни) при наличии однородной нелинейности третьего и пятого порядков. С помощью вариационного приближения и численных методов найдены две ветви фундаментальных ("одногорбых") со лито нов. Солитонные характеристики - кривая зависимости полной энергии Q или ширины w от постоянной распространения к - обнаруживают сильную бистабильность: для заданного значения к могут быть найдены два различных солитона. Не подчиняясь известному критерию Вахитова-Колоколова, солитонные ветви с dQ/dk > 0 и dQ/dk < 0 одновременно являются устойчивыми. В случае модели Кронига-Пенни найдены также различные семейства солитонов более высокого порядка: симметричные и антисимметричные "двугорбые" солитоны, солитоны, состоящие из трех пиков со сдвигом фаз, равным п, между пиками или без него и т.д. В случае относительно неглубокой решетки Кронига-Пенни все солитоны принадлежат полу бесконечной запрещенной зоне, расположенной под линейной зонной структурой потенциала Кронига-Пенни, в то время как конечные запрещенные зоны, расположенные между разрешенными зонами, остаются пустыми (солитоны могут быть найдены в конечных запрещенных зонах, если решетка гораздо глубже). Однако в отличие от картины, известной для модели, сочетающей периодический потенциал и фокусирующую нелинейность Керра, фундаментальные солитоны заполняют лишь конечную область в верхней части полубесконечной запрещенной зоны, что является проявлением насыщения в нелинейности третьего и пятого порядков.
Ключевые слова: пространственный солитон, модель Кронига-Пенни, критерий Вахитова-Колоколова.
'''.¿ft.1 ; riS't - I
1. ВВЕДЕНИЕ - — •
Пространственные солитоны в нелинейных оптических волноводах с нелинейностя-ми разного типа в последнее время привлекают большое внимание [1]-[3]. В теоретичес-
* School of Electrical Engineering, Faculty of Engineering, Tel-Aviv University, Tel-Aviv 69978, Israel. E-mail: gisin@eng.tau.ac.il; merkhasi@post.tau.ac.il; radik@eng.tau.ac.il; malomed@eng.tau.ac.il
ких исследованиях такие солитоны обычно получаются как решения нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с разнообразными нелинейностями. Начиная с ранних работ [4], НУШ выводились из уравнений Максвелла для нелинейной материальной среды посредством параксиального приближения.
Родственным вопросом является изучение пространственных солитонов в волновод-ных структурах типа канала в нелинейной однородной среде. В случае нелинейности Керра (кубической нелинейности) решения нелинейного уравнения находятся во взаимно однозначном соответствии с модальными собственными функциями линейного канального волновода и могут классифицироваться в соответствии с числом нулей решения [5]. Так же как и в случае линейных канальных волноводов заданное число нулей определяет единственную собственную функцию.
В поисках волноводных структур с улучшенными функциональными возможностями естественно рассмотреть сочетание канальных волноводов и насыщающих нелинейнос-тей, простейшей из которых является нелинейность третьего и пятого порядков (НТПП). Исследование солитонов в волноводах с насыщающими нелинейностями также представляет собой интересную задачу с точки зрения общей теории солитонов. В частности, будет показано, что упомянутое выше взаимно однозначное соответствие между собственными модами и числом нулей, которое является отличительной чертой квазилинейности, в данном случае отсутствует, и в волноводе НТПП существует гораздо более широкое многообразие солитонных состояний, включающее две различные ветви стационарных устойчивых солитонов и бризеры. ¡V-
На основе экспериментальных данных НТПП была предложена для эмпирического описания нелинейных диэлектрических свойств халькогенидных стекол [6] и органических материалов [7] (хотя в последнем случае имеет место значительное двухфотонное поглощение). Кроме того, НТПП может рассматриваться как простейшая феноменологическая модель сред с насыщающейся нелинейностью, которые предоставляют универсальные возможности для экспериментального исследования пространственных солитонов (см. работу [3] и цитируемую в ней литературу). С теоретической точки зрения одномерные [8] и многомерные [9] солитоны в однородной НТПП-среде изучались во многих работах (см. обзор в работе [10]), включая тот случай, когда эффективная дисперсия порождается не оптическим материалом, а брэгтовской решеткой [11].
Только недавно было предложено соединить НТПП с волноводными структурами [12]. Целью настоящей работы является нахождение солитонов различных видов в модели НТПП, объединенной с одноканальным волноводом или с периодической последовательностью волноводов. Мы демонстрируем бистабильность НТПП-солитонов в волноводах: для заданного значения постоянной распространения можно найти два отдельных солитона различной энергии и ширины. Интригующая особенность этих солитонов заключается в том, что они не подчиняются известному критерию устойчивости Вахи-това-Колоколова (ВК) [13], который часто рассматривается как универсальное необходимое условие устойчивости [14]: в то время как, согласно критерию ВК, одна ветвь захваченных каналом НТПП-солитонов может быть устойчивой, а другая обязана быть неустойчивой, в процессе прямого численного моделирования обе ветви демонстрируют
326
ХЮИО В.В. ГИСИН, Р. ДРИБЕН, Б.А. МАЛОМЕД, И.М. МЕРХАСИН
БИ(
полную устойчивость. Это свойство выглядит весьма многообещающим в плане практических применений, например, для коммутации каналов. Более того, солитоны любого из двух типов могут легко локализоваться из произвольного входного пучка, что указывает на их надлежащую устойчивость к возможным нежелательным воздействиям. В зависимости от входных параметров другим возможным результатом является самофокусировка (автолокализация) устойчивых бризеров, в то время как распад начального пучка в "радиацию" никогда не происходит. Помимо бистабильности, другим весьма многообещающим в плане практических применений свойством НТПП-солитонов в канале является то, что их края могут быть гораздо более резкими в сравнении с краями их аналогов в свободном пространстве.
В случае многоканального волновода мы находим несколько видов стабильных соли-тонов в модели НТПП с потенциалом Кронига-Пенни (КП). Наряду с двумя ветвями фундаментальных ("одногорбых" (ОГ)) солитонов, подобных солитонам одноканаль-ной модели, найдены различные виды стабильных солитонов более "высокого порядка", включающие "двугорбые" (ДГ) симметричные (СДГ) и антисимметричные (АСДГ) солитоны, два вида "трехгорбых" (ТГ) солитонов (с разностью фаз между центральным и боковыми пиками, равной нулю или 7г) и другие. Основное отличие от однока-нальной модели, в которой полная энергия (} ОГ-солитона принимает все значения от нуля до бесконечности, состоит в том, что в системе КП ОГ-солитон существует вплоть до некоторого конечного максимального значения , выше которого обнаруживаются только солитоны со многими "горбами". Фактически отличительной чертой системы КП является ее способность расщеплять пучок. Это свойство может представлять очевидный интерес для приложений: солитоны любого вида с заданным числом пиков являются стабильными, но существуют в конечном диапазоне энергий когда полная энергия становится больше указанного максимального значения, появляются дополнительные пики, которые соответствуют субимпульсам, захваченным локальными каналами периодической структуры. Отличительным свойством модели НТПП с периодической структурой является зонная структура солитонных решений. Мы покажем, что так же, как и в модели, сочетающей фокусирующую нелинейность Керра и периодический потенциал, все солитоны на относительно слабой решетке оказываются в полубесконечной запрещенной зоне под нижней границей линейной зонной структуры, соответствующей данному периодическому потенциалу, в то время как конечные запрещенные зоны, расположенные между линейными разрешенными зонами, остаются пустыми (в этих зонах солитоны появляются лишь в случае гораздо более сильной решетки). Однако в отличие от картины в модели Керра сама область фундаментальных солитонов является конечной и локализована в верхней части полубесконечной запрещенной зоны.
Здесь Ф полем, ш перечная быть зал а эффект
где <1 и и (глубина 1 ломления 1 новодапре новод име< разделенш
где N - том Стадион функция, а должна бы ционарное;
где штрих с Точное р вестно:
причем пост наличии во; найти, что т
С ■ »•• Л :.■ Дк ».«>.>0'"< __г гя '«¿с =-" («А-;)
2. МОДЕЛЬ
Начнем с рассмотрения НУШ, которое включает НТПП и нормированный потенциальный член, описывающий канальный волновод простейшего ступенчатого типа:
, .V. 'МЬ-Л ..к^ч,;, д2 ЙП С <•».
« - -1«т *— + -315- = 1/(х)Ф - 2|Ф|2Ф + |Ф|4Ф. шхщя ЗсвчгАхгДО
дх2
Важными ха] и полуширин,
Здесь Ф - локальная амплитуда поперечной электромагнитной волны с электрическим полем, направленным перпендикулярно к плоскости (х, г), z их суть продольная и поперечная координаты, коэффициенты при третьей и пятой степенях нелинейности могут быть записаны так, как это сделано в уравнении (1), при подходящем выборе масштаба, а эффективный потенциал волновода равен
-I ишп этмггоо Mi.iü\ore «г
Г -и, \х\ < d,
\ 0, |х| > d, ^ - '
где ¿и и > 0 - полуширина и глубина потенциальной ямы волновода, соответственно (глубина потенциальной ямы пропорциональна разности квадратов показателей преломления центральной волноводной части и оболочки). В случай многоканального волновода предполагается периодическая модуляция потенциала II(х) (с периодом Ь): волновод имее
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.