ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 1, с. 24-39
= ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ =
УДК 531.1
БРАХИСТОХРОНА С СУХИМ И ПРОИЗВОЛЬНЫМ ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ*
© 2012 г. Ю. Ф. Голубев
Москва, ИПМим. М.В. Келдыша РАН Поступила в редакцию 08.09.11 г.
Решена задача о брахистохроне при действии сухого (кулоновского) трения и вязкого трения с коэффициентом, произвольно зависящим от скорости движения. В соответствии с принципом освобождения от связи нормальная составляющая реакции опорной кривой принимается в качестве управления. Ставится стандартная задача о быстродействии перехода от заданной начальной точки с нулевой начальной скоростью к заданной конечной точке. Применен метод Охоцимского—Понтрягина исследования дифференциала функционала. Найдены необходимые условия оптимальности, из которых получена формула для оптимального управления, не содержащая сопряженных переменных. Составлены дифференциальные уравнения, позволяющие определять экстремали посредством решения задачи Коши. Исследованы их свойства. Выделен класс простых брахистохрон, для которых указаны особые точки, составляющие финишную кривую, и области достижимости в вертикальной плоскости. Получены условия существования освобождающих управлений. Для некоторых законов трения представлены результаты расчетов, показывающие форму найденных брахистохрон и оптимальное время движения.
Введение. Классическая постановка задачи о брахистохроне имеет давнюю историю с 1697 г. и содержит предположение об идеальности связи. С тех пор были получены отдельные результаты в предположении, что на точку может действовать либо сухое, либо вязкое трение [1—4]. При этом авторы ограничились получением отдельных отрезков брахистохрон и не представили полной картины их расположения в вертикальной плоскости. Задача, когда по брахистохроне без проскальзывания движется диск, исследована в [5]. Предлагаемая статья развивает результаты, полученные в [6, 7], где в отличие от работ других авторов был применен принцип освобождения от связей, и задача о варьировании формы кривой была заменена задачей о поиске реакции брахистохроны, минимизирующей время перехода материальной точки в поле силы тяжести с нулевой начальной скоростью из одного заданного начального положения в другое заданное конечное положение. В [6, 7] с помощью метода Охоцимского—Понтрягина [8, 9] найдены все экстремали задачи в предположении, что на точку может действовать как сухое (кулоновское) трение, так и линейное по скорости вязкое трение. В предлагаемой статье получены условия экстремальности в предположении, что коэффициент вязкого трения может быть произвольной функцией скорости движения, введено понятие простых брахистохрон, для которых реакция опоры пропорциональна отношению горизонтальной скорости к квадрату скорости. Для простых брахистохрон отмечается, что каждая экстремаль имеет две особые точки, в которых скорость движения обращается в нуль. Одна из них начальная, а вторая ограничивает область существования отдельной экстремали. Представлен метод получения областей достижимости для брахистохрон с учетом этой особенности. Для брахистохрон, не являющихся простыми, могут существовать участки освобождающего управления, где реакция опоры обращается в нуль, а движение оказывается свободным в поле силы тяжести. С учетом того, что все брахистохроны имеют нулевую начальную скорость, разработан специальный метод получения семейства брахистохрон при интегрировании их дифференциальных уравнений в прямом времени.
1. Постановка задачи. Плоскопараллельное движение материальной точки массы т по кривой в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, вязкого и сухого трения можно описать следующей системой дифференциальных уравнений [6, 10]:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00160).
х = -|(у)х - кх
ДО
V. 2 .2
X + £
• -г-
N
V. 2 .2 '
х + г
N
г = - |(у)г - кг
ДО
(1.1)
7.2 .2
х + г
■■ + X-
Г- 2 . 2 '
тух + г
где х — горизонтальная, г — вертикальная координаты точки, ц(у) — коэффициент вязкого трения, у = х2 + г2 — квадрат скорости движения точки, к — коэффициент сухого трения, N — реакция опоры, зависящая от формы кривой, по которой точка вынуждена двигаться, g — ускорение силы тяжести. Определив требуемым образом реакцию N, можно найти и кривую, по которой точка будет двигаться. Обозначив
и = ■
N
Г-2 .2'
тух + г
#1
#2
#3
г, #4 = г, у = #22 + #4,
(1.2)
приведем уравнения движения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
#1 = #2, #3 = #4,
¿¡2 = -#2[Ц(У) + к|и|] - #4и, #4 - #4[|Д(у) + к|и|] + #2^ Пусть I — время. Зададим при г = 0 начальные условия, а при г = Т — конечные условия
#1(0) = 0, #з(0) = Н, #2(0) = #4(0) = 0, #1(Т) = а, #з(Т) = к, Н > к Величины #2(Т), #4(Т) не заданы. В качестве функционала выступает время движения
Т
Ф = 11 Л.
(1.3)
(1.4)
(1.5)
В данной постановке и служит управлением. Требуется найти управление и( ) е С\ доставляющее минимум функционалу Ф, и соответствующие этому управлению оптимальные траектории.
2. Необходимые условия оптимальности. Для поиска эстремума функционала (1.5) воспользуемся методом Охоцимского—Понтрягина [8, 9]. Гамильтониан задачи имеет вид
= 1 + У1#2 - V2[#2(И + к|и|) + #4и] + Уз#4 - у4^ + #4^ + к|и|) - #2^
(2.1)
где сопряженные переменные у 1, / = 1, ..., 4, удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
V1 = 0
V 2 = -V + V 2
V 3 = 0,
V 4 = -Уз + V 4
ц + 2 ^ #22 + к| и| | - V 4 ¿У У
ц + 2 ^ + к|и|) + V 2 ¿У У
и - 2-^ #4#2
й У
, ^ Ц
и + 2—#4#2
(2.2)
й у
и условиям трансверсальности
У1(Т) = а, у 2(Т) = 0, у з(Т) = р, у 4(Т) = 0, 1 + а#2(Т) + р #4(Т) = 0. (2.3)
Здесь а и р — произвольные постоянные и #2(Т) + д^(Т) Ф 0.
Значение и = 0 является подозрительным на экстремум. При и = 0 функция (2.1) может достигать изолированного минимума, если одновременно выполнены неравенства
)/ + = ¥4#2 - ¥2#4 - (¥2#2 + ¥4#4)к > 0, I/- = ¥4#2 - ¥2#4 + (¥2#2 + ¥4#4)к < 0.
(2.4)
0
Производная гамильтониана (2.1) по управлению с учетом особенности при и = 0 выражается формулой [6, 7]
дж [/и > о,
ди |/и < 0.
Поскольку область допустимых значений и открыта, имеем условие экстремальности
и = 0 либо /+/- = 0
на оптимальной кривой.
2.1. Пусть и > 0. Условие экстремальности принимает вид
/+ = V4^2 - кд4) - Vг(д4 + кдг) = 0.
Функция / + управления не содержит. Следовательно, равенство /+ = 0 должно выполняться тождественно на решениях гамильтоновой системы уравнений, объединяющей (1.3) и (2.2):
дЬ =
дж
ду/
У =
дд1
(2.5)
Следуя [10] и воспользовавшись системами уравнений (1.3) и (2.2), найдем, что при и > 0 должно быть
/ + = / = (а + - (в - &а)#2 + (ку4 + V2^ - 2ку ^(^242 + V4^4> = 0.
аг ау
(2.6)
В это равенство управление и не входит [11]. Выполним повторное дифференцирование в силу гамильтоновой системы уравнений
он
ог
= А+и + В+ = 0,
(2.7)
где коэффициенты А+ и В+ с учетом (2.6) имеют вид
А+ = (а + &Р)#2 + (в - ка)д4 + g[2k(у2 + ку4) - (у4 - ку2)] +
( _/2
+2к2
а ц 2 ыц
'-2 У + ,У
а у
а у
(у 2^2 + У 4^4),
В = -2g\ а + кв - ц(у2 + ку4) + —
а у
( »2 , Л
а ц + ац
Оу2 °у)
- (кд4 + ^2)
(У 242 + У 4д4)
(2.8)
+2к у — (ад2 + в д4) + 4к О у
■уц) -
Гйц 4 2 0 у
(у242 + У444) + 2ку 0ц gу4.
а у
Ниже будет показано, что, по крайней мере, в заданной конечной точке и ее окрестности при определенных условиях равенства (2.8) позволяют вычислить оптимальное управление. 2.2. Пусть и < 0. Условие экстремальности принимает вид
/- = ¥4(42 + кд4) - у2(44 - кд2) = 0. Левая часть этого уравнения не содержит и. С учетом (1.3) и (2.2) и того, что и < 0, найдем
/- = = (а - кр)д4 - (в + ка)д2 + g(у2 - ку4) + 2ку (^242 + ¥а4а) = 0. аг ау
(2.9)
Как и следовало ожидать, и в эту левую часть управление не входит. Повторное дифференцирование дает
0Т_ ог
= А ~и + В- = 0,
(2.10)
где коэффициенты А и В с учетом (2.9) имеют вид
А = (а - кв)#2 + (в + ка)#4 - я[2к(У 2 - кУ4) + (У4 + кУ2)] -
С ,2 Л
+2к
,й Ц 2
йц
У
йу 2 ' йу у 5- = -2#< а - кв + ц(у2 - ку4) -
(у 2#2 + У 4#4), й Ц
й у
цк у
1_ Я
■ (#2 - к#4)
(У 2#2 + У 4#4 ) Г
(2.11)
2к у йц (а #2 й у
в#4) - 4к
2
й ц + йЦ
йу2 йуУ
УЦ) -
^йц Л 2 й У
йц
(У2#2 + У4#4) - 2к^ЯУ4.
й у
Как и в предыдущем случае, для анализа применимости формул (2.11) следует проанализировать значения их правых частей в заданной конечной точке траектории.
Схема поиска оптимального управления состоит в следующем. Задаются значения скоростей #2(Т) и #4(Т). При г = Т условия (2.3), (2.6) или (2.9) образуют систему линейных уравнений относительно а и р:
а#2(Т) + р #4(Т) = -1, [а + крст(и)]#4(Т) - [р - каст(и)]#2(Т) = 0. При у Ф 0 решением ее служат
к#4(Т) а (и) - #2(Т) кд2(Т)а(и) + ) = 1 1, и > 0,
Р 2™ 2,™ ' () 1 и < 0.
а = ■
д22(Т) + #42(Т)
#22(Т) + #42(Т)
(2.12)
Отсюда
В+(Т) = 2##2(Т)(1 + к ) _
у(Т)
А+(Т) = А '(Г) = _(1 + к2),
й у
<2(у)
в-(Т) = 2##2(Т)(1 + к ) +
У(Т) й у
2ку й ц
1 + к2 й у
(2.13)
и+(у) = _ есг),
и -(Т) = ^ШЦ + ^(Т),
у(Т) У(Т)
N+(Т) = и+(Т)^Л/У(Т), N "(Т) = и-(Т)тТу(Т). В дальнейшем предполагается, что ц(у) > 0 — неубывающая функция. Тогда из формул (2.13), в частности, следует, что если #2(Т) > 0, то оптимальными могут быть либо и(Т) = и+(Т), либо и(Т) = 0. Аналогично если #2(Т) < 0, то оптимальными могут быть либо и(Т) = и "(Т), либо и(Т) = 0.
После того, как краевые условия равенствами (2.12) доопределены, системы уравнений (1.3) и (2.2) при условии и = -В/А, если А ф 0, следует проинтегрировать в обратном времени до тех пор, пока скорость не окажется равной нулю. Полученная кривая и будет экстремалью в задаче о брахистохроне с сухим и вязким трением.
3. Анализ необходимых условий оптимальности. Рассмотрим возможные случаи. 3.1. Управление и(г) = 0 при 0 < г < Т удовлетворяет необходимым условиям оптимальности. Другими словами, при и = 0 найдутся такие функции у 2, у 4, что неравенства (2.4) будут выполнены в ходе всего движения. Действительно, при и = 0 с учетом краевых условий (1.4), условий трансверсальности (2.3) и уравнений (1.3), (2.2) получим #2 = 0, < 0. Пользуясь произво
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.