ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2013, № 6, с. 151-168
УДК 550.831+838
Замечательному ученому и человеку, профессору Днепропетровского горного университета Константину Федоровичу Тяпкину, посвящает автор этот труд
БУДУЩЕЕ ТЕОРИИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ АНОМАЛИЙ
© 2013 г. В. Н. Страхов
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 01.10.2007 г. Исправлена 25.02.2013 г.1
В каждой науке столько истины, сколько в ней математики.
Иммануил Кант, немецкий философ Это может показаться парадоксальным, но вся наука подчинена идее аппроксимации.
Бертран Рассел, английский математик и философ Главное в том, чтобы лучше понять основы, но чтобы продвинуться вперед в науках, нельзя
обойтись без исследования конкретных проблем.
Карл Вейерштрасс, немецкий математик Факт, не приведенный в схему, есть смутное представление, из которого нельзя сделать научного употребления. В.О. Ключевский, "Терминология русской истории"
Важнейшее значение имеет общая методология теории интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий) и, прежде всего, — три основных методообразующих идеи: I) аппроксимации; II) линеаризации; III) оптимизации.
Изложению сущности этих методообразующих идей, а также способов их реализации и посвящена данная работа.
Б01: 10.7868/80002333713050098
ВВЕДЕНИЕ
1. В 1977 г. вышел в свет русский перевод книги американского историка Томаса Куна "Структура научных революций", см. [Кун, 1977]. Содержание этой книги произвело на автора огромное впечатление. В книге дается изложение концепции ее автора, суть которой в том, что развитие любой науки состоит из фаз смены парадигм и нормальной науки в рамках принятой парадигмы. При этом смена парадигмы — это революция в науке.
Внимание! Парадигма — это совокупность представлений о том, какие новые задачи надо решать и как именно эти задачи следует решать. Данная совокупность новых представлений — результат исследований одного или нескольких ученых, которые достаточно быстро усваиваются (и далее используются и развиваются) целой массой ученых, работающих в конкретной науке.
1 Статья исправлена и дополнена ученицей В.Н. Страхова, ведущим научным сотрудником ИФЗ им. О.Ю. Шмидта РАН, докт. физ.-мат. наук Степановой И.Э.
Автор достаточно быстро (еще в 1980-е годы, см. [Страхов, 1982; 1987а; 1987б]) понял, что в теории интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий) следует выделять существование двух парадигм.
Первая парадигма, или парадигма эпохи ручного счета, сформировалась в 1918—1939 годах; соответственно период нормальной науки в рамках первой парадигмы составлял около 20 лет, условно - 1940-1959 гг.
Вторая парадигма, или парадигма ранней компьютерной эпохи, сформировалась в 1960-1979 годах; период нормальной науки в рамках второй парадигмы составляет свыше 25 лет, что обусловлено 2
многими факторами .
2 В частности, в России столь продолжительный срок нормальной науки в рамках второй парадигмы в значительной мере был обусловлен экономическими факторами. Что же касается других стран (США, Франция, Германия и т.д.), то это в основном определялось так называемым стереотипом мышления, о чем автор уже писал [Страхов, 2000а; 2000б].
Уже в середине 1990-х годов автор писал о том, что с началом XXI века начнется становление (в теории интерпретации потенциальных полей) третьей парадигмы — парадигмы зрелой компьютерной эпохи, см. [Страхов, 1997а; 19976; 1998]. И хотя очень и очень медленно, становление третьей парадигмы действительно началось [Страхов, 1999].
2. Прежде всего следует отметить тот факт, что в России уже многие ученые поняли, что важнейшее значение имеет общая методология теории интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий), и прежде всего — три основных методообразующих идеи: I) аппроксимации; II) линеаризации; III) оптимизации.
Изложению сущности этих методообразую-щих идей, а также способов их реализации и посвящена данная работа, состоящая из трех разделов и Заключения.
Раздел I
Сущность основных методообразующих идей в теории интерпретации гравитационных аномалий
1. Естественно начать с описания сущности идеи аппроксимации, а также типов аппроксимаций, используемых при решении задач интерпретации гравитационных аномалий.
Аппроксимация некоторой функции (заданной совокупностью значений или даже искомой) — это приближенное аналитическое представление. В теории интерпретации гравитационных аномалий используются два вида аппроксимаций:
во-первых, аппроксимации элементов внешнего аномального гравитационного поля;
во-вторых, аппроксимации источников внешнего аномального гравитационного поля.
При этом очевидно, что вначале следует находить аппроксимации первого вида, после чего по этим аппроксимациям находятся аппроксимации второго вида.
Здесь сразу же необходимо указать, что аппроксимации первого вида существенно различны в двух основных случаях:
первый случай — Земля трактуется как нижнее полупространство, ограниченное поверхностью Б— границей раздела Земля—воздух;
второй случай — земля трактуется как тело, ограниченное поверхностью, очень близко к сферической.
Второй случай возникает, когда аномальное гравитационное поле интерпретируется на участках, по площади больших, чем 100 х 100 км, когда сферичностью Земли уже нельзя пренебречь.
2. Так вот, наиболее просто строятся аппроксимации первого вида (аппроксимации элементов внешнего аномального гравитационного поля) во
втором случае, когда Земля представляет собой тело, очень и очень близкое к шару. И суть дела в том, что потенциал
¥а(х), х = (г, Ф, 0)
(!-1)
внешнего аномального гравитационного поля представим в форме отрезка ряда по шаровым функциям:
N
К(х) = ХХ^ (1Т9)( сов ф + Ь„т ф), а-2)
п=0 т=0
где
Р^ (сов 0), 1 < т < п,
а-з)
суть присоединенные функции Лежандра в определении автора данной работы, см. [Страхов, Ефимов, 1988]. Ясно, что имеем
/$(х) = -
дУа(х) дг
и поэтому
N п
Л?(х) = Х Х Рп ^Т 9) (( сов ф + д(пт эт
п=0 т=0
где положено
Р™ = (п + 1)ап,т, = (п + 1)Ьп,т. Ясно далее, что имеем
дАя(х) _
(I-4)
ф), а-5)
(I-6)
дг
N п
= ХХ Р': (С°5 0) (( сов Ф + дЩ Бт ф) ,
(I-7)
п=0 т=0
где положено
р(2) = (п + 2) р(1)
д'пш =(п + 2)дп1т-
(I-8)
Понятно, что если известны (приближенные, но с достаточно высокой точностью) значения функции Аg(х) в совокупности точек
х(0 = (г-, ф,, <д1), 1 < I < Р,
(I-9)
где значение Р достаточно велико, условно
Р > 30000, а-10)
причем точки х(,) расположены в достаточно большой области АБ на поверхности Земли Б, см. рис. 1, то нахождение коэффициентов сводится к нахождению приближенного решения некоторой системы линейных алгебраических уравнений.
Ясно, что если в соотношение (Ь5) подставить значения
х = х(0, 1 < I < Р, (¡-11)
то тем самым для нахождения коэффициентов
р®, ?„%, 0 < п < N 0 < т < п, (I-12)
получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которой число неизвестных будет равно
N +1)2. (Х-13)
Ясно, что значение Ыдолжно быть велико, условно
720 < N < 1440, (Х-14)
поэтому для нахождения коэффициентов (I-12) обычно получается очень сильно неопределенная СЛАУ, которую в компактной форме запишем так
Ак = g5 = g + Sg, (!-15)
где А есть матрица размера
р х е, ц-16)
где Р число уравнений (число точек, в которых заданы приближенные - но достаточно точные -значения поля Ag(x)), а Q есть число компонент у искомого вектора к — вектора подлежащих определению неизвестных,
е = N +1)2. (!-17)
Что касается вектора gs в (Х-15), то это Р-вектор заданных (используемых для нахождения Q-век-тора к) значений поля Ag(x). При этом через g обозначен Р-вектор точных значений, а через Sg — вектор погрешностей в заданном векторе gs.
При этом ясно, что величина
с2 = / (Х-18)
ПЛИЕ
является небольшой, условно
с2 = 10-4 - 10-6. (I-19)
Так вот, редукция задачи нахождения коэффициентов р^ е, 0 < п < Ы, 0 < т < п в выражении поля Ag(x) к решению некоторой системы линейных алгебраических уравнений - это и есть важнейший способ реализации общеметодологической идеи линеаризации. (В связи с этим укажу, что ранее, до работ автора, представления поля производной от гравитационного потенциала по радиальной переменной находились не для аномального, а для полного поля. И методы нахождения этих представлений были совсем другими, в них никакие системы линейных алгебраических уравнений не решались).
3. Далее коротко о том, как в описанном методе реализуется общеметодологическая идея опти-
Рис. 1. Случай, когда Земля принимается за тело,
ограниченное почти сферической поверхностью.
мизации. Эта идея реализуется в новых (предложенных автором) методах нахождения устойчивых приближенных решений К СЛАУ (Х-15).
(Внимание! Ясно, что находить точные решения СЛАУ вида (!-15) бессмысленно — в силу того, что в задании вектора правой части имеется погрешность, пусть и небольшая).
В основе новых методов нахождения устойчивых приближенных решений СЛАУ (!-15) лежит созданная автором [Страхов, 2002а; 2002б] новая общая теория, которая является адекватной условиям и потребностям гравиметрии, магнитометрии, геодезии и геоинформатики.
Замечание. В 1960-1980-е годы в основополагающих трудах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, а также в работах их многочисленных учеников и последователей была создана классическая теория регуляризации СЛАУ вида
Ах = / = / + 5/. (!-20)
Однако автором впоследствии было показано [Страхов, 1999; 2001; 2002; 1962; 1965], что классическая теория регуляризации СЛАУ (!-20) условиям и потребностям гравиметрии, магнитометрии, геодезии и геоинформатики не адекватна.
В новой теории принимается, что вектор х -устойчивое приближенное решение СЛАУ (!-20), это вектор, обеспечивающий выполнение приближенных, но достаточно точных, соотношений
Ах * /, / - Ах »5/. (!-21)
Обеспечить выполнение соотношений ^-21) можно лишь при наличии достаточно большого объема априорной информации о векторах 8/ и /.
Так вот, автором было показано, что в случаях СЛАУ (!-20), возникающих при решении задач гравиметрии, магнитометрии, геодезии и геоинфор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.