ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 460, № 2, с. 145-146
МАТЕМАТИКА
УДК 517.957+514.772
БЫСТРО УБЫВАЮЩЕЕ РЕШЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ВЕСЕЛОВА-НОВИКОВА С ОДНОТОЧЕЧНОЙ СИНГУЛЯРНОСТЬЮ
© 2015 г. Академик РАН И. А. Тайманов
Поступило 04.09.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215020085
Модифицированное уравнение Веселова-Но-викова является (2 + 1)-мерным солитонным уравнением, было введено в [1] и имеет вид
U = [Uzzz + 3 UZV + 2 UVZ) +
+ I U- + 3 U-V + 3 UVz),
( zzz z 2 z'
(1)
где
V- = ( и2);,
г = х + ¡у е С, и — вещественнозначная функция. Функция V однозначно определяется наложением дополнительного условия: например, при рассмотрении быстро убывающих функций и предполагается, что Vтакже быстро убывает на бесконечности.
Это уравнение представляется (Ь, А, В)-трой-кой Манакова:
Э, + [Э, А] - БЭ = 0,
при этом Э — двумерный оператор Дирака:
г \ 0 д
V -д 0J
+
( \ U 0
V 0 U J
где д = — и д = — . Отсюда следует, что уравне-
дг дг
ние сохраняет "нулевой уровень энергии" — решения уравнения Эу = 0, деформируя их согласно уравнению ^ = Ау.
д ?
Если и зависит только от х и V = и2, модифицированное уравнение Веселова—Новикова сво-
Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Новосибирский государственный университет
дится к модифицированному уравнению Корте-вега—де Фриза
Ut = 1 Uxxx + 6 UXU2.
Этому факту оно обязано своим названием, поскольку уравнение Веселова—Новикова [2] аналогичным образом является двумеризацией уравнения Кортевега-де Фриза.
Задача Коши и ее регулярность для этого уравнения до настоящего времени не изучались. В данном сообщении мы покажем, что существуют такие гладкие начальные данные задачи Коши, что
они убывают как O(r-2) при r = Jx2 + y2 = \z\ ^ да, и соответствующее решение теряет регулярность за конечное время. Более того, сингулярность решения, продолжаемого на все времена, сосредоточена в одной точке.
Теорема 1. Функция
U(x y t) = 3 ( (x2 + y2 + 3 ) (x2 - y2) - 6x(С - t))
Q (x, y, t)
Q(x, y, t) = (x2 + y2)3 + 3(x4 + y4) + 18x2y2 + (2) + 9(x2 + y2) + 9(С -1)2 +
+ (6x3 - 18xy2 - 18x)(С - t),
где С = const, является решением модифицированного уравнения Веселова-Новикова. При этом
1) функции Uи V вещественно-аналитичны всюду вне точки х = у = 0, t = С = const, в которой они не определены. Функция U имеет различные конечные
предельные значения вдоль лучей x = const, t = С, вхо-
y
дящих в эту точку:
lim U(z, z, С) = -cos2ф при z = ге'ф;
r ^ 0, ф = const
2) функции U и V убывают как O(r-2) при r ^ да при всех фиксированных временах;
146
ТАЙМАНОВ
3) первый интеграл (закон сохранения) | V2 йхйу
к2
уравнения (1) равен 3п при t Ф С и обращается в 2п при t = С.
Приведем для полноты формулу для У(х, у, t):
V
= (z( Y - Y ) - 8z2 - 8) 2 + 2 U
( I yI 2 + I 8 I 2 )2 i + I Z 2
i z(z( Y - Y) - 8 Z2 - 8 )
- 2
(IYI 2 +182 )( 1 + ZI2 )
2
где
22 Y = 1 (x - У ),
8 = y 11 + x -
2У
-i
2x
1+y- x
+ с -1
U( x, y, t )
Данное решение строится с помощью преобразования Мутара для двумерных операторов Дирака [3]. Оно по каждому решению у0 уравнения Эу 0 = 0 строит новый оператор Дирака Эм с другим потенциалом и дает аналитическую процедуру, которая находит все решения уравнения ЭмФ = 0 по решениям уравнения Эу = 0. Это преобразование расширяется до преобразования решений модифицированного уравнения Веселова—Новикова.
Явные формулы для преобразования Мутара довольно громоздки и мы их опускаем. В [4] было показано, что данное преобразование имеет геометрическую интепретацию в терминах конформной геометрии (Мёбиуса) и представления Вейерштрасса поверхностей [5].
Именно с использованием этой интерпретации и было получено решение (2). Объясним его геометрический смысл.
Поверхность Эннепера есть минимальная поверхность, которая погружена в К3. С точностью до сдвигов она задается формулами
и1 (х, у) = у(у - х - + "о,
2 | 2 X 1 2
и (х, у) = у^ 1 + у - 3) + "о,
3/ ч 2 2 3
и (X, у) = X - у + и0,
где и1, и2, и3 — евклидовы координаты в К3, и0 =
= (и\, и0, и0) — образ начала координат х = у = 0 при погружении. Индуцированная метрика (пер-
вая квадратичная форма) является конформно евклидовой: ds2 = g0(x, y)dzd z.
Рассмотрим семейство St сдвинутых поверхностей Эннепера, отвечающих u0 = (0, С — t, 0). Инверсия [3 с центром в начале координат имеет вид
T: u ^ ——, u = (u1, и2, U)е [3. |u|
Сопоставим каждой поверхности St ее образ Zt при инверсии. Поскольку инверсия является конформным преобразованием, то индуцированные метрики на Zt также конформно-евклидовы:
ds2 = g(x, y, t)dzdz. Определим функцию
_ Hjg
2 '
где Н — средняя кривизна поверхности Zt в точке (x, у), а g — конформный фактор метрики в этой точке. Это и будет функция (2). Она имеет особенности только в точках, в которых St проходит через начало координат и которые, тем самым, отображаются в бесконечно удаленную точку при инверсии. Легко проверить, что такая точка единственна: х = у = 0, t = С.
Подробное изложение этих результатов будет дано отдельно.
Заметим, что с помощью преобразования Мутара, связанного с двумерным оператором Шрё-дингера, разрушающиеся решения уравнения Веселова—Новикова были построены в [6, 7]. Однако они не имеют такой геометрической интерпретации.
Работа поддержана Российским научным фондом (грант 14-11-00441).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Богданов Л.В. // ТМФ. 1987. Т. 70. № 2. С. 309-314.
2. Веселое А.П., Новиков С.П. // ДАН. 1984. Т. 279. № 1. С. 20-24.
3. Delong Yu, Liu Q.P., Shikun Wang // J. Phys. A. 2001. V. 35. P. 3779-3785.
4. Taimanov I.A. The Moutard Transformation of Two-dimensional Dirac Operators and the Mobius Geometry. arXiv:/1408.4464.
5. Тайманов И.А. // УМН. 2006. Т. 61. В. 1. С. 85-164.
6. Тайманов И.А., Царев С.П. // ТМФ. 2008. Т. 157. № 2. С. 188-207.
7. Тайманов И.А., Царев С.П. // ДАН. 2008. Т. 420. № 6. С. 744-745.
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 460 № 2
2015
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.