ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2014
УДК 539.375
© 2014 г. Мирсалимов В.М., Мустафаев А.Б.
ЧАСТИЧНОЕ ЗАКРЫТИЕ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРЕЩИНЫ В ПЛОСКОСТИ
С ПОМОЩЬЮ НАВЕДЕННОГО ТЕРМОУПРУГОГО ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Азербайджанский национальный академический институт математики и механики,
г. Баку
На основе методов термоупругости проведено математическое описание модели частичного закрытия криволинейной трещины в плоскости с помощью наведенного температурного поля. Определение неизвестных контактных напряжений и размеров зон контакта в каждом приближении сводится к решению сингулярного интегрального уравнения. Находятся нормальные и касательные контактные напряжения, значения размеров концевых зон, где берега криволинейной трещины смыкаются.
Известно [1, 2], что одним из эффективных средств торможения движения трещин могут быть температурные и термоупругие поля. Воздействие теплового источника [3] уменьшает деформацию растягиваемой плоскости в направлении, перпендикулярном трещине, и в связи с этим снижается коэффициент интенсивности напряжений в окрестности конца трещины. В процессе нагружения при некотором соотношении физических и геометрических параметров плоскости и теплового источника будут появляться области сжимающих напряжений, в которых берега трещины на некотором участке войдут в контакт. Это взаимодействие берегов трещины приводит к появлению контактных напряжений на данном участке берегов трещины.
Рассмотрим неограниченную упругую плоскость, ослабленную одной трещиной в начале координат. В реальных материалах из-за структурных и технологических факторов поверхности трещины имеют неровности и искривления. Рассмотрим задачу механики разрушения о трещине в плоскости, полагая, что контур трещины имеет неровности (малые отклонения от прямолинейной формы). Уравнение контура трещины принимаем в виде у = f ^), —€ < x < €. Берега трещины свободны от внешних нагрузок.
Для торможения роста трещины на пути ее распространения с помощью нагрева тепловым источником области до температуры T0 создается зона сжимаемых напряжений. Примем следующие допущения: все термоупругие характеристики материала плоскости не зависят от температуры; материал плоскости представляет собой однородное и изотропное тело. Считается, что в начальный момент t = 0 произвольная область = + S2 + ... + Sи) на пути роста трещины в плоскости мгновенно нагревается до постоянной температуры ^ Остальная часть плоскости в начальный момент имеет температуру T = 0.
Для многих металлических материалов (сталей, алюминиевых сплавов и др.) в диапазоне изменения температуры до 300—400° зависимость термоупругих характеристик слабо меняется с температурой. Это экспериментально установленный факт [4, 5]. Таким образом, для всех конструкционных материалов существует такой диапазон тем-
У
а
о
ао
пературы, в котором допущение о постоянстве термоупругих характеристик материала является корректным, он устанавливается на основании зависимости модуля упругости от температуры.
Пусть под действием внешней растягивающей нагрузки ст" = ст0 и температурного поля напряжений в области сжимающих напряжений берега трещины на некоторых участках —€ < х < А и А2 < х < € (рисунок) войдут в контакт, что будет способствовать появлению контактных напряжений на данном участке. Вне этого участка берега трещины будут свободны от нагрузок.
Параметры А и А2, характеризующие границу области контакта между берегами трещины, должны быть определены в ходе решения задачи. Для рассматриваемой задачи можно отметить, что зона контакта между берегами трещины будет всегда начинаться с концевой точки трещины, находящейся в области сжимающих напряжений.
Считается, что при налегании берегов трещины предельное равновесие не достигнуто и, таким образом, проскальзывание берегов трещины отсутствует.
Граничные условия на берегах трещины для поставленной задачи имеют вид:
при у =/(х), —€ < х < А,!, ст+(х, 0) = ст—(х, 0) = р1 (х), (х, 0) - и-(х, 0) = 0, ■С<Х 0) = т-((х, 0) = д1(х), и+(х, 0) - иГ(х, 0) = 0;
при у =/(х), А2 < х < €, стп (х, 0) = стп (х, 0) = р2(х), и (х, 0) - и (х, 0) = 0,
"С(х, 0) = т-((х, 0) = q2 (х), и+(х, 0) - гТ(х, 0) = 0
на неконтактирующих участках берегов трещины ст+ (х, 0) = ст„(х, 0) = 0, х„+(х, 0) = т"(х, 0) = 0.
Здесь п, ? — натуральные координаты в плоскости; и, и — составляющие вектора перемещений; стп, тп — компонент тензора напряжений; знак плюс и минус означает граничное значение функции на верхнем (нижнем) берегу трещины.
Температурное поле для плоскости определяется решением краевой задачи теории теплопроводности [6]
3* 67
дт т I (х'у е * п
----- = аАТ, Т = •! при t = 0,
д {0 (х, у £ 5)
где а — коэффициент температуропроводности материала плоскости; А — оператор Лапласа.
Пусть для определенности области S1 и S2, нагретые тепловым источником со стороны каждой вершины трещины, представляют собой прямоугольники со сторонами 2хк и 2ук (к = 1, 2), а центр Ок прямоугольника Sk (к = 1, 2) имеет координаты (Ьк, Ьк) (рисунок).
Распределение температуры будет иметь вид Т( х, у, г) = т1( х, у, г) + т2 (х, у, г),
Тк (х, у, г) = Т
Ег/р - Ь + х*Л + Ег/(х-Ъ-_хк
■ Г 2^аг ) Г 24аг
Ег/Г^-^) + Ег/Г^+Ь-- у ■ у 24 аг К 2^аг
При определении температурного поля, для упрощения задачи, не учитывается возмущенное температурное поле из-за наличия трещины. В частности, при симметричном расположении областей Sk (к = 1, 2) относительно оси абсцисс возмущенное температурное поле будет отсутствовать.
Напряженное состояние в плоскости с трещиной представим в виде ах = а + ах ,
сту = ау0 + сту1 , тху = Тху0 + тХу1, где аХо, Сту0, хХуо - решение задачи термоупругости для плоскости без трещины.
Рассмотрим некоторую произвольную реализацию неровной (с малыми отклонениями от прямолинейной формы) поверхности берегов трещины. Так как функции f (х) и f '(х) представляют собой малые величины, то функцию/(х) можно представить в виде/(х) = еН(х), —€ < х < €, где е — малый параметр. Напряжения а , ау , тху , рь д{, р2, д2 и Х2 ищем в виде разложений по малому параметру
а а(0). Еа(1). а а(0). Еа( 1), т т(0), Ет(1). ах1 = ах + Еах + ау1 = ау + Еау + •••, Тху1 = Тху + ЕТху +
(0) (1) (0) (1) (0) (1) Ру = Ру + Еру ' + •, ?1 = д\ ' + е^ ' + • .., Р2 = Р2 + ер2 + •••,
(0) (1) Л .0.1 . .0.1
42 = 92 + Е?2 + •••, = + Е^1 + ••■, ^2 = ^2 + Е^2 + ••••
Значения напряжений при у = /(х) найдем, разлагая в ряд выражения для напряжений в окрестности у = 0.
Используя метод возмущений с учетом предыдущих формул, находим граничные условия при у = 0 и —€ < х <€: в нулевом приближении
С . ..0 (0) (0) + , —{ п (0) (0)
при -€ < х ау = Р1 - аy0, и0 (х> 0) - и0 (х> 0) = 0, Тху = 91 - Txy0,
и+(х, 0) - и—(х, 0) = 0; (1)
^о (0) (0) + , —/ п (0) (0)
при ^2 < х < € ау = Р2 - ау0, ц,(х, 0) - ц,(х, 0) = 0, = 92 - ^ху0, и+ (х, 0) - и—(х, 0) = 0;
на неконтактирующих участках берегов трещины ст( 0) ст т(0) т
СТУ = -СТУ0, Тху = -ТхУ0 (2)
в первом приближении
при -€ < х < а1 стУ1' = р11) - И, и+(х, 0) - и— (х, 0) = 0, т™ = q(11) - Т,
и+ (х, 0) - и- (х, 0) = 0, при <х<€ ст^ = р21)-И, (х, 0)-и— (х, 0) = 0, т™ = q21)-Т,
(3)
и+(х, 0) - и- (х, 0) = 0; и на неконтактирующих участках берегов трещины
ст"' = И, = Т, (4)
где N = 2 СН ¿У., Т = (стГ-^ (5)
Было также учтено, что и = и0 + + ..., и = и0 + Еи1 + ...
Напряженно-деформированное состояние в неограниченной плоскости с трещиной в каждом приближении описывается двумя аналитическими функциями Ф(г) и
ад [7].
На основании граничных условий (1), (2) для определения функций Ф0(г) и П0(г) в нулевом приближении имеем задачу линейного сопряжения
[Ф0 (х) + О 0(х)]+ + [Ф0 (х) + П 0(х)]— = 2/0 (х),
— (6)
[Ф0 (х )-Ц,(х)]+ — [Ф0(х)-п 0(х)]— = 0,
где —€ < х < €, х — аффикс точек контура трещины;
/0 (х) = Р1 (х)-;ql(x)-(стy0-п ) на участке контура -€ < х < А,
У0 У0 (7)
0
/0(х) = Рг(х) - iq2(х) - (сту0 - 'ТхУ0) на участке контура А2 < х < €,
/0(х) = —(ст^ - 1тху ) на неконтактирующих участках берегов трещины. Общее решение краевых задач (6) и (7) будет иметь вид [7]
€ /1-2
.1 ст. Ф (?) + П (?) = _1_ Г11+ ™(х)
Ф0(,)-П0(г) = -1 ст0, Ф0(?) + П,(г) = Г«-^-^ШЖ + ^^(х).,
2 ./2 J г-1 ¡2 ~2
п ч? -€ -€ >41 -€
1
2 2 2
где Дг) = С0г + с1, а под функцией (? - € ) подразумевается ветвь, имеющая при
1
2 2 2 1 €3
больших |г| вид (? - € ) =- + —- + ...
?
Окончательно для комплексных потенциалов Ф0(г) и П0(г) имеем € /1-2
Ф0( ?) = + , П0 (?) = Ф0( ?) + 2 ст0. (8)
2пг'л/? -€ -€ ? л/г -€
Для определения коэффициента с0 необходимо функцию (8) разложить в ряд по степеням z в окрестности точки \г\ —- <» и сопоставить это разложение с выражением
Ф0(г) = — + оГ--;) . В результате получим с0 = а0/2. Постоянную с1 определяем из 4 г2
€
условия однозначности смещений [7] |[Ф+(х) - Ф0 (х)]йх = 0.
-€
Для окончательного определения потенциалов Ф0(г) и 00(г) необходимо найти контактные напряжения на участках контакта между кромками трещины, т.е. при
—€ < х < и < х < €. С помощью соотношения [7]
2цдх("0 + ' Ч,) = кФ0(г) - Ц,(г) - (г - г)Ф0(г)
и граничных значений функций Ф0(г), ^0(г) и ¥(т) на отрезке \х\ > € получим следующее равенство:
Фо (х) - Ф° (х)
2 ц
1 + к
д о — д о —
— (и - и ) + I — (и - и ) _дх дх .
(9)
где к = 3—4v для плоской деформации, к = (3 — v)/(1 о V) для плоского напряженного состояния; ц — модуль сдвига материала; V — коэффициент Пуассона.
Используя формулы Сохоцкого—Племеля [7] и учитывая формулу (8), находим
Ф+(х) - Ф—(х) = - ;
22 х
1 ^0(г )йг + 2 (^ + С1)
J г - х
(10)
В рассматриваемой задаче вместо условий отсутствия раскрытия смещений на участках контакта берегов трещины удобно использовать условие равенства нулю производной от раскрытия смещений на участках контакта берегов трещины
д о — д о —
— (и - и ) + I — (и - и )
дх дх
0.
(11)
Выражение (10) подставим в левую часть уравнения (9) и, учитывая соотношение (11) после некоторых преобразований, находим два сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций нормальных р(0)(х) и касательных д(0)(х) напряжений соответственно
€ €2 1 € €2 1
I -71х"Р(0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.