ЭЛЕКТРОХИМИЯ, 2004, том 40, № 5, с. 606-611
УДК 541.135.5
ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИФФУЗИОННОГО ДАТЧИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ВЫСОКИХ ЧАСТОТАХ
© 2004 г. В. М. Агафонов, В. Г. Криштоп1
Московский физико-технический институт 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9, Россия Поступила в редакцию 02.07.2003 г.
Теоретически исследуется амплитудно-частотная характеристика диффузионного преобразователя с сетчатыми электродами на высоких частотах. Показано, что амплитудно-частотная характеристика ведет себя, начиная с частоты ю = D/R2, пропорционально ~ю-3/2 при ю < v/R2 и ~ю-1 при ю > v/R2. Здесь ю = 2nf, f- частота сигнала, v - вязкость электролита, D - коэффициент диффузии, R - радиус нитей, из которых изготовлен сетчатый электрод. Проводится сравнение теоретического расчета с экспериментом.
Ключевые слова: электрохимическая ячейка, преобразование механических сигналов, конвективная диффузия, диффузионный датчик, гидродинамическая длина, диффузионная длина, передаточная функция.
ВВЕДЕНИЕ
Совместное решение уравнений гидродинамики и конвективной диффузии при протекании через электрохимическую ячейку малого пульсирующего потока электролита позволяет получить передаточную функцию диффузионных датчиков механических величин. В ранних теоретических моделях исследовалась в основном сильно упрощенная одномерная задача [1, 2]. Однако расчеты в рамках такой модели не давали качественного согласия с экспериментом, и стало ясно, что необходим последовательный учет геометрии преобразующей ячейки, в общем случае представляющей собой достаточно сложную трехмерную структуру. В последние годы для некоторых конфигураций, близких к реальным электродным системам, задача исследовалась с использованием как аналитических [3-5], так и численных [6-8] методов. В результате были получены передаточные функции, значительно лучше согласующиеся с экспериментальными данными.
Тем не менее полученные до сих пор результаты относятся в основном к области низких частот (от сотых долей до единиц герц), что было связано с преимущественным использованием диффузионных датчиков механических величин в длинно-периодной сейсмологии. Новые сферы применения предполагают расширение частотного диапазона в сторону высоких частот, что в свою очередь требует разработки соответствующих теоретических моделей.
1 Адрес автора для переписки: vgkvgk@2ka.mipt.ru (В.Г. Криштоп).
С физической точки зрения понятно, что, поскольку с увеличением частоты сигнала уменьшается как характерная диффузионная Хв =
= <■]!')/ю, так и гидродинамическая = л/у/ю длина (ю = 2п/, / - частота сигнала, V - вязкость электролита, Б - коэффициент диффузии), принципиально важным моментом на высоких частотах становится учет мелкомасштабной структуры электродного узла. Как правило, электроды преобразующей электрохимической ячейки изготовлены из металлической сетки, сплетенной из нитей диаметром от 20 до 100 мкм. В пределе, если частота сигнала достаточно высока, неизбежна ситуация, когда как диффузионная, так и гидродинамическая длины много меньше расстояния между нитями, из которых изготовлена сетка рассматриваемого электрода, а также расстояний до остальных электродов. В этом случае распределение скоростей в потоке и вызванные протеканием жидкости изменения концентрации можно рассматривать для каждой отдельной нити независимо, представляя ее в виде бесконечного цилиндра с образующей, ориентированной перпендикулярно потоку. Роль остальных электродов сводится к заданию исходного распределения концентрации активного компонента в неподвижной жидкости.
Именно такая ситуация исследуется в настоящей работе. Прежде всего было получено распределение гидродинамической скорости вблизи отдельной нити, а затем при известной гидродинамической скорости найдено решение нестационарного уравнения конвективной диффузии. Оконча-
тельный результат представляет собой достаточно сложное интегральное выражение для выходного тока преобразователя, содержащее две характерных частоты: o>D = D/R2 и o>v = v/R2, где R - радиус нити, из которой изготовлен сетчатый электрод. Показано, что для реальных геометрических размеров ячейки область применимости развитой модели совместима только с условием ю > fflD. В этом случае формула для сигнального тока упрощается, и интегралы могут быть найдены аналитически. Найденные теоретические зависимости используются для интерпретации экспериментальных амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) диффузионных преобразователей в области высоких частот. Стоит отметить, что полученные результаты достаточно универсальны, поскольку сделанные в работе допущения не накладывают существенных ограничений на взаимное расположение сетчатых электродов, их форму, а также геометрию разделяющих электроды диэлектрических перегородок.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В общем случае перенос носителей в электрохимической ячейке описывается уравнением конвективной диффузии [9]:
^ = D Ac - vV c, Э t
(1)
где с - концентрация активного компонента электролита, ^ - гидродинамическая скорость жидкости, £ - время. В качестве граничных условий к (1) обычно задают концентрации на поверхностях электродов и равенство нулю потока на диэлектрических поверхностях, ограничивающих электрохимическую ячейку, если таковые присутствуют в исследуемой геометрии. Для известного распределения концентрации токи через электроды могут быть найдены согласно выражению:
I - -Dq°(V cds).
(2)
1т- С-+VP
divv - 0.
(3)
(4)
р - давление, р - плотность жидкости. Граничными условиями к (3), (4) являются равенство нулю скорости на твердых поверхностях и, в зависимости от способа постановки задачи, скорость или давление на бесконечности.
Рассмотрим катод в форме бесконечного цилиндра радиуса Я, удаленный от остальных электродов на расстояние, значительно превышающее гидродинамическую и диффузионную длины задачи. Наша задача в дальнейшем будет состоять в том, чтобы найти решение уравнений (1), (3), (4) в окрестности этого катода. Прежде всего, найдем распределение гидродинамической скорости. Предположим, что скорость жидкости направлена перпендикулярно образующей цилиндра, на большом расстоянии от рассматриваемого электрода пространственно-однородна и изменяется по гармоническому закону с амплитудой и и частотой ю:
vM - u • e
(5)
Согласно [10], применим к обеим сторонам уравнения (5) операцию rot и представим решение в виде
v = + rotLVf • vMJ = [u + rot • rot(fu)]е'ю', (6)
где f = f(r), r - расстояние до оси цилиндра. Тогда уравнение (3) с учетом (4) принимает следующий вид:
^A(Vf) + A2(Vf) - 0.
(7)
Заметим, что саму функцию / можно не выписывать, так как в выражение для скорости (6) входят только ее производные. Решая (7) и выбирая ограниченное на бесконечности решение, получим
Здесь q - заряд, переносимый через электрод в единичной реакции, 5 - площадь электрода. Применительно к задаче расчета АЧХ преобразователя механических сигналов основной интерес представляет ток через катод, так как именно катодные токи обычно используются в качестве выходного сигнала.
Распределение скоростей, необходимое для решения (1), может быть получено из уравнения На-вье-Стокса и условия непрерывности. При расчете линейного отклика достаточно использовать приближение малых чисел Рейнольдса, дополнив его в нашем случае уравнением непрерывности для несжимаемой жидкости [10]:
г; - aH01)( mr) -iL Я(11)( mr)
mr mr
fr - aH 1?{mr) + A.
r m 1 mr
(8)
(9)
Здесь (тг) и И\ч (тг) - функции Ганкеля первого рода нулевого и первого порядков, соответственно, т - комплексное число, равное по модулю
/О),
. 3п
' 4
гидродинамической длине: т = е 4 л/ю/у, а, Ь -постоянные интегрирования. Подставляя (8), (9) в (6), получим для распределения скоростей в пространстве:
v и = u
. aHQ } ( mr) cos 2 ф Г 2 + 2
аЯ01)(mr) -2aH")(mr) 2b "
mr
mr
J А
(10)
v 1 = 2sin2 Ф
aH0D(mr) -2flHil)(mr) 2b '
mr
mr
(11)
где У||, VI - компоненты скорости, расположенные параллельно и перпендикулярно вектору и, угол ф отсчитывается против часовой стрелки от направления и. Условие прилипания у|г = к = 0 приводит к следующим выражениям для коэффициентов а и Ь:
a =
Н01)( mR)
b = mrz
1 -
2НДmR) ' mRH01)( mR)
(12)
(13)
Подставляя (12), (13) в (10), (11), найдем окончательно для распределения скорости:
v II = u
1-
H 01} (mr) H01)(mR)"
- cos2ф
f H <1}( mr) R2 H 21 ) ( mR)Al
H01}(mR) r2 H01}(mR)yj
(14)
v 1 = -u sin2 ф
f H21}( mr) R2 Hi1 ) ( mR) Л H01}(mR) r2 H01}(mR)
(15)
Aco = 0,
iюc1 = DAc1 - v • Vc0.
(17)
(18)
Найдем решение уравнения (17). Обозначим А = = (Ус0)^ - значение градиента концентрации на большом удалении от электрода. Предположим, что в системе протекает предельный ток, тогда концентрация на поверхности катода равна нулю. Решение (17), удовлетворяющее таким граничным условиям, может быть записано в виде:
Co = (A, г)[ 1- RIj + pln
(19)
Используя (2), параметр р можно представить следующим образом: р = /0/2тсЯД где 10 - стационарный ток, протекающий через единицу длины рассматриваемого электрода. Отметим, что нас интересует не сама концентрация с0, а ее градиент, поскольку именно он входит в правую часть (18). Дифференцируя (19), получим
V Co = Al 1- R
+ 2 ( A, г) • г R2 + q г
r r r r
(20)
Перейдем теперь к решению уравнения конвективной диффузии (1) для распределения концентрации активных ионов. При малых скоростях протекания электролита второе слагаемое в правой части уравнения (1) значительно меньше первого, и решение уравнения конвективной диффузии можно искать в виде ряда, где каждое последующее слагаемое пропорционально амплитуде скорости течения электролита и в более высокой степени. В настоящей работе будем искать только линейный отклик системы и поэтому ограничимся первыми двумя членами разложения:
C = C 0
(16)
Таким образом, подставляя (14), (15), (20) (18), получаем следующее уравнение:
iюc1 - DAc1 = uAQ0(r) + uqcosФ01(г) + + uA cos2 ф Q2(r),
где для краткости обозначено:
Qo(r) = -1 +
H 0^ (mr) H 01 ) (m R)
R
где с0 - распределение концентрации в неподвижной жидкости, с1 - добавка к концентрации, ли
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.