ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2013, том 49, № 6, с. 699- 716
УДК 551.465
ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ ЧЕРНОГО И АЗОВСКОГО МОРЕЙ С ВАРИАЦИОННОЙ ИНИЦИАЛИЗАЦИЕЙ
ТЕМПЕРАТУРЫ И СОЛЕНОСТИ © 2013 г. В. Б. Залесный*, **, А. В. Гусев*, **, С. Н. Мошонкин*
*Институт вычислительной математики РАН 199333 Москва, ул. Губкина, 8
E-mail: zalesny@inm.ras.ru ** Институт океанологии РАН 117997Москва, Нахимовский просп., 36 Поступила в редакцию 28.01.2013 г., после доработки 20.03.2013 г.
Представляется численная модель гидродинамики Черного и Азовского морей, основанная на системе примитивных уравнений в ст-координатах. Модель имеет разрешение ~4 х 4 км по горизонтальным координатам, 40 ст-уровней по вертикали и включает четырехмерную вариационную инициализацию полей температуры и солености. Численный алгоритм инициализации основан на комбинации методов расщепления и сопряженных уравнений. Проведены расчеты полей течений, уровня моря, температуры и солености при заданном атмосферном воздействии за 2008 г. Расчеты проведены в режиме "вариационная инициализация — прогноз". В начале каждого месяца производится инициализация полей температуры и солености. Система оптимальности включает линеаризованные на интервале ассимиляции прямые и сопряженные уравнения переноса-диффузии тепла и соли. Обсуждаются результаты трех численных экспериментов с разными массивами ассимилируемых данных в сравнении с прогностическим расчетом прямой модели.
Ключевые слова: гидродинамика моря, мезомасштабная изменчивость, численное моделирование, вариационная ассимиляция.
Б01: 10.7868/8000235151306014Х
ВВЕДЕНИЕ
Развитие моделей, описывающих динамику водных объектов, особенно интенсивно происходит в течение последних 20—30 лет в физическом, математическом и информационном аспектах [1—8]. Для информационного обеспечения проблемы создаются новые вычислительные методы и измерительные системы, включая спутниковую альтиметрию, плавающие буи ЛЯОО, дрифтеры и др. Разработка эффективных методов решения сложных задач океанологии тесно связана с проблемой обработки данных наблюдений. С их помощью проводится тестирование расчетных алгоритмов, дается оценка адекватности разработанных моделей. К настоящему времени в Институте вычислительной математики Российской академии наук (ИВМ РАН) и Институте океанологии (ИО РАН) разработано несколько новых моделей. Это — модель динамики Мирового океана, используемая в глобальной климатической модели ИВМ РАН [6], модели отдельных океанов и морей, включая Черное и Азовское [7, 8]. Отме-
тим, что прототипом модели циркуляции Черного и Азовского морей явилась модель Мирового океана [8]. В настоящее время ставится задача расширения области применения моделей. Требуется использовать их как для решения прямых, так и обратных задач, включая четырехмерную ассимиляцию данных наблюдений [9].
Для моделирования и прогноза циркуляции Черного моря к настоящему времени создано несколько численных моделей — см. обзор в [10], а также [4, 5]. В рамках проекта "Черное море как имитационная модель океана" при сравнении результатов расчетов мы опираемся на модель, разработанную в Морском гидрофизическом институте Национальной академии наук Украины (МГИ НАНУ) [2, 3].
С физической точки зрения особенность динамики Черного моря связана с его большой, океанской глубиной и относительно небольшим горизонтальным размером. Глубина открытой части Черного моря составляет около 2 км, а горизонтальный размер — порядка 1000 км. Из оценки
климатического вертикального градиента плотности следует, что радиус Россби в Черном море составляет 20—30 км [10]. Он достаточно велик, чтобы воспроизвести мезомасштабную изменчивость Черного моря, на сетке с шагом порядка 4 км. Это можно сделать, не прибегая к мощным вычислительным системам. В этой связи акватория Черного моря является удобным "тестовым бассейном" для апробации различных физических параметризаций и вычислительных алгоритмов.
Нашей основной задачей является разработка физически гибкой модели с эффективными устойчивыми алгоритмами. С помощью модели необходимо решать как прямые прогностические задачи, так и обратные, в том числе задачи четырехмерной ассимиляции данных наблюдений. Основным методологическим приемом при этом является метод многокомпонентного расщепления [8, 12, 13]. Метод несет две основных нагрузки: во-первых, он позволяет экономично решить задачу по времени, во-вторых — построить гибкую, иерархически развиваемую информационно-вычислительную систему [8, 14, 15]. Суть метода состоит в представлении сложной системы в виде набора отдельных более простых подсистем [7, 8]. Для каждой подсистемы можно построить сопряженный аналог, что необходимо для решения задач четырехмерной ассимиляции данных наблюдений. Особенностью и новизной модели ИВМ РАН является то, что ее решение основано на сочетании методов расщепления и сопряженных уравнений. Сочетание методов позволяет построить эффективную технологию решения задач динамики морей и океанов с четырехмерной вариационной ассимиляцией данных наблюдений [11].
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ ЧЕРНОГО И АЗОВСКОГО МОРЕЙ
Модель гидродинамики Черного и Азовского морей основана на системе примитивных уравнений, записанных в сферической системе координат с учетом приближений гидростатики и Бусси-неска. В качестве вертикальной координаты в модели используется безразмерная переменная сте [0,1]:
а = ^,
н-с
где г — направленная вниз обычная вертикальная координата, Н — глубина моря, ^ — отклонение уровня моря от его невозмущенного состояния.
Уравнения модели записываются в симметризо-ванной форме и имеют вид [8]:
Dtu - H(l + £)v = -—
Рогх
- я(pдZ - Zдр
2 \ дх дх
I (2Zp| -
+1 Avdu + Duu, H да да u
(1)
Dtv + H (I + =
Pory
.1 (' - 2Zpi -
pdZ _ z dP
dy dy
, 1 д ,,dv , n +---v--+ Duv,
H da da
-d(p -—Zp) = я(pdZ - z,
da'P 2
dt rxry
JL (Hryu) + f (Hrxv) дх dy
2\ 5a
d
5a,
+ d^ = 0, da
DT = X dvT й! + DT + , H da da da
DtS = ——v S — + DSS, t H da da
p = p (T, S, Z) -
- p (t + T, s + S, P о -z ) - p (T, S, Po -z ).
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
Здесь x — долгота, y — широта, rx, ry — метрические коэффициенты: rx = RE cos y, ry — Re , Re — радиус Земли; Z = Ha,
, »Л . s 1 (dry drx l = 2D. sin y, q =- —- v--x
Vy Удх dy
(8)
I — параметр Кориолиса, О — угловая скорость вращения Земли. Б, — оператор переноса, записанный в симметризованной форме:
Аф-Dt (и)ф = H 1
dt 2rxry
я
дХ{Щщ)
Hryu + (Hrv ф) + Hrv дф
dx dy dy_
(9)
д ( \ , дф —(шф) + ш—
.да да.
и = (и, V, ю) — вектор скорости в а-системе координат, ю — скорость в а-системе, w — вертикальная скорость в г-системе,
ю = w -
(1 u dZ + V dZ
dt rx dx ry dy
(10)
Т, Б — отклонения потенциальной температуры и солености от средних значений Т, Б, Я — поток проникающей солнечной радиации, р — отклонение плотности, V, vT, vS — коэффициенты вертикальной турбулентной вязкости и диффузии. Для
расчета V, vT, vS можно использовать один из трех методов, изложенных в [16], [17], [18]. Для расчета плотности в (7) используется уравнение состояния, учитывающее сжимаемость воды [19].
Оператор боковой диффузии БТ, Бб для тепла и соли в ст-системе координат записан в форме, эквивалентной горизонтальной диффузии в 1-си-стеме координат. Он выбирается одинаковым для Т, Б и имеет вид
На дне океана а = 1:
пу = — ±
гхгу дх
КХН — ду д//дх ду дх д//да да)_
А
ГхГу да
К^хнГу.д//дх (дуу - д//дх ду гх д//да\дх д//дада)_
1 5
ГхГу ду
Н—(ду - д//ду дУ
'у V
ду д//да да)
(11)
А
ГхГу да
куНГх д//ду (ду д//ду ду) гу д//да^ду д//дада)
где Кх(х, у, аН) и Ку(х, у,оН) — коэффициенты горизонтальной диффузии вдоль х и у. Оператор турбулентной вязкости Ви, П в (1), (2) представляет собой комбинацию операторов 2-го и 4-го порядков [21]. Уравнения (1)—(7) решаются в области Е (х, у, а), аппроксимирующей акваторию Черного и Азовского морей.
Граничные условия для (1) — (7) следующие. На поверхности океана а = 0:
__У5м =Тх = Ту ю = 0
Н да р0 Н да р0
кхН д//дх (дТ - д//дх дТ г2 д//д студх д// дст дст^
куН д//ду (дТ - д//ду дТ гу д//да у ду д//да да
да + Чт (Т - ТоЬв ) = ,
Н да
кхН д//дх (дБ - д//дх дБ г2 д// д студх д//дст дст
(12)
куН д//ду (дБ - д//ду дБУ гу д//дст^ду д//дст дстJ
- дСТ + У б (Б - Б*, ) = ^.
Н дст
Здесь тх, т у — компоненты ветра, уТ, у Б — заданные коэффициенты, дТ — нормированный суммарный поток тепла, дБ — нормированный суммарный поток солености.
V ди п \
---= Сп^!
Н да
2 2 2 и + V + еЬи,
V ду ^ I 2 , 2 п
---= Спу1и + V + еЬ^, ш = 0
Н да
_±КхН д/1 дх (дТ д// дх дТ
_ Л КуН-
д//да ^ дх д//да да д//ду (дТ д/1 ду дТ\ + Ут дТ _
д//да^ду д//да да) Н да
_ ± КхН д//дх (дБ _ д/1 дх дБ
(13)
д/]да\дх д//да да д//ду (дБ _ д//ду д^ Vб дБ _
1
/ I / _0,
д//да\ду д//да да) Н да
где Сп = 2.5 х 10 , еЬ = 5 см/с — эмпирические константы. На боковой границе для скорости задаются условия непротекания и свободного скольжения, потоки тепла и соли равны нулю. К уравнениям (1) — (13) присоединяются начальные условия для функций и, V, Т, Б.
2. ЧИСЛЕННЫИ АЛГОРИТМ
Численный алгоритм решения задачи основан на методе многокомпонентного расщепления [12, 13]. Запись уравнений (1)—(7) в симметризо-ванной форме позволяет использовать алгоритм расщепления по физическим процессам и по отдельным пространственным координатам х, у, а
[8, 22]. На каждом интервале г' < г < г'+1 уравнения для функций и, ч,Т, Б линеаризуются и расщепляются по физическим процессам на два макроэтапа: перенос-диффузию и, v,T,Б и адаптацию полей течений и плотности. Внутри этапа переноса-диффузии производится повторное расщепление по отдельным координатам х, у, а. При решении уравнений адаптации используется представление
и = и + и, V = V
+ V, и = |иёа, V = |vda (14)
и выделяется расчет средних скоростей по вертикали и, V. Пространственная аппроксимация расщепленных задач производится на сетке В.И. Лебедева [23], известной в метеорологической литературе как сетка С. Более подробно алгоритм численного решения поставленной задачи изложен в [8].
х
х
3. АТМОСФЕРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ МОРЯ П
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.