КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 5, с. 430-439
УДК 629.1
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МАНЕВРОВ МНОГОВИТКОВОЙ ВСТРЕЧИ КА НА БЛИЗКИХ ОКОЛОКРУГОВЫХ НЕКОМПЛАНАРНЫХ ОРБИТАХ
© 2008 г. А. А. Баранов
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 05.12.2007 г.
Предложен универсальный алгоритм, позволяющий свести решение многовитковой задачи встречи двух КА на близких околокруговых некомпланарных орбитах к задаче расчета параметров маневров одного или двух переходов со свободным временем. Рассмотрена задача встречи, как в классической постановке, так и при наличии ограничений на величины импульсов скорости и на вектор эксцентриситета орбиты ожидания.
PACS: 45.40Gj; 45.10Db
Изучение задачи встречи началось с середины 60-х годов. Классическими и до сих пор часто цитируемыми являются работы Марека и Прассин-га [1, 2], рассмотревшего встречу между КА, находящимися на круговых компланарных орбитах, с интервалами перелета от 1 до 3-х витков. В фундаментальной работе Марека [3] проведено довольно полное исследование классической задачи встречи. Показано, какие области элементов орбит могут быть достигнуты при использовании различных типов оптимальных решений (решение обратной задачи).
В конце 60-х годов были осуществлены первые стыковки в космосе. Оказалось, что при решении практических задач часто необходимо учитывать дополнительные ограничения: на моменты приложения импульсов, скорости, их ориентацию и величину, на параметры переходной орбиты и т.д. Задача стала намного сложнее классической задачи, рассмотренной в первых теоретических работах. Для решения задачи встречи в новой постановке стали использоваться численные методы [4, 5].
Цель данной работы - перекинуть мостик от аналитических исследований 60-х, начала 70-х годов к современным сложным практическим задачам и показать, что для их решения можно использовать не только численные, но и численно-аналитические методы, которые на несколько порядков быстрее, и, кроме того, дают объяснение, почему было получено именно такое оптимальное решение. Данная работа продолжает исследования задачи многовитковой оптимальной встречи, начатые в работах [6, 7] (компланарная встреча) и [8] (частный случай некомпланарной встречи).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача перелета между околокруговыми орбитами решается в приближенной импульсной постановке, в рамках невозмущенного кеплеров-ского движения. Получаемое решение линеаризованной задачи достаточно близко к решению задачи в точной постановке. Используя его в итерационной процедуре [5], можно обеспечить выполнение терминальных условий с заданной точностью с учетом всех необходимых возмущений.
Задачу перелета за заданное время с исходной орбиты в нужную точку конечной орбиты в линейном приближении можно записать в виде [10]
N
£(-A Vri cos ф,- + 2Д Vti sin ф,-) = Aex, (1)
i = i
N
£(A Vri sin Ф; + 2 A Vti cos ф,-) = Aey, (2)
i = i
N
£ 2 A Vti = A a, (3)
i = i
N
£[ 2A Vri( 1 — cos Ф; ) + AVri( -Эф,- + 4 sin ф,-)] =
i = 1
= A t,
N
£ —A Vz; sin ф; = Az, (5)
i=i
N
£A VziCOs ф; = AVz, (6)
i=i
4Э0
2AV.
K(efx efy)
A(eox, eoy) Aex
Рис.1. Межорбитальный переход с помощью двух трансверсальных импульсов скорости.
где Аех = еуео8Юу - е0ео8Ю0, Аеу = е^&тщ - е08тю0, Аа = (а,; - а,0)/г0, Аг = ^(¿у - Аг = 10^0, АУ, = = АУг,/У„ АУп = А У*/У0, А^ = А V* V АVzi =А V* /V0. Здесь еу, е0 - эксцентриситеты орбиты КА цели и активного КА соответственно; ау, а0 — большие полуоси орбит; оу, ю0 - углы между направлением на перицентр соответствующей орбиты и на точку встречи; гу - время прихода в точку встречи КА цели, г0 - время, в которое при движении по начальной орбите активного КА проекция радиус вектора на плоскость орбиты КА цели попадет на луч, проходящий через точку встречи; г0 - отклонение активного КА от плоскости КА цели в момент г0; V0, Х0 - орбитальная и угловая скорости движения по опорной круговой орбите радиуса г0 (г0 = а); N - число импульсов скорости; ф; - угол приложения ;-го импульса, отсчитываемый от направления на точку встречи в сторону движения КА (углы ф; не положительные, в точке встречи ф = 0); А^, А^*, А^ - радиальная, трансверсальная и боковая составляющие г-го импульса скорости соответственно.
В системе (1)-(6) присутствуют только отклонения элементов орбит в конечной точке. Поэтому перелет между эллиптическими орбитами с параметрами (е0х, е0у, а0) и (у у,, ау) в линейном приближении эквивалентен перелету с опорной круговой орбиты радиуса г0 на эллиптическую с параметрами (Аех, Аеу, а = г0 + г0Аа). В дальнейшем орбита с элементами (Аех, Аеу, а = г0 + г0Аа) будет называться относительной. Таким образом, для близких орбит с небольшими эксцентриситетами общая задача перелета между произвольными орбитами в данном, линейном приближении эквивалентна более простой задаче перелета с круговой на эллиптическую орбиту (эквивалентная задача). Эквивалентность справедлива, если не учитываются ограничения на элементы переходной орбиты.
Предполагается, что импульсы скорости прикладываются на двух интервалах маневрирования, длина каждого интервала виток, расстояние между интервалами несколько витков. Разделение интервалов маневрирования несколькими витками имеет ряд преимуществ. Во-первых, в случае, когда суммарная характеристическая скорость (АУ) задачи встречи (AVrdv) превышает суммарную характеристическую скорость задачи перехода (АУу), длительный интервал полета на промежуточной орбите позволяет существенно уменьшить эту разницу. Такая ситуация встречается, если, например, КА-цель находится выше активного КА и далеко впереди него. Тогда активный КА сначала ещё больше понижает свою орбиту маневрами первого интервала, чтобы успеть догнать КА-цель за заданное число витков, а затем на втором интервале маневрирования уже существенно повышает свою орбиту. Суммарное изменение большой полуоси будет заметно больше, чем требуется просто для перехода, отсюда AVrdv > AVty, но чем больше витков полета, тем меньше их разница. Во-вторых, существует возможность определить орбиту после первого интервала маневрирования и уточнить параметры маневров второго интервала, компенсировав таким образом ошибки, накопившиеся после реализации первых импульсов скорости. В случае необходимости можно добавить дополнительные импульсы скорости для устранения накопившихся ошибок и т.д. В реальных проектах интервалы маневрирования разделяет весьма значительное число витков. Например, у Союзов и Прогрессов первый и последний интервалы маневрирования разделяет около 30 витков [5], у Shuttle более 40 витков, у европейского ATV более пятидесяти витков и т.д.
Запишем принадлежность импульсов скорости заданным интервалам маневрирования в виде
Ф1 с Fi, ..., фдгi cFi,
фш + 1 с F2, .••, <PN 1 + N2 с F2,
(7)
где N1, N2 - число импульсов на первом и втором интервалах маневрирования ^ = N1 + N2).
Таким образом, необходимо решить следующую задачу: надо определить АVri, АVti, АVz¡, ф; (г = = 1, ...,N при которых минимальна суммарная характеристическая скорость маневров АV
N N
АV = £а V; = ^АУ2 + А V2- + А V2;, г=1 ;=1
при ограничениях (1) - (7).
Легко видеть, что решению задачи в пространствах ех, еу и V;,, -г соответствуют ломаные линии. Примеры таких ломаных линий для двухимпульс-ного решения с нулевыми радиальными составляющими импульсов приведены на рис. 1 и 2.
e
y
y
e
x
На рисунках обозначены углы фе, фг, которые задают направление оптимальной коррекции эксцентриситета и плоскости орбит соответственно
Лёу Лг л
18 фе = Лё' 18 Фг = -Ш' Лф = фе - Фг'
Х г (8)
Л е = ТЛёХ+Лё^, Лг = л/Лг2+Лу2.
На плоскости ех, еу вместо перехода из точки (е0х, е0у) в точку (е^, е^) можно изображать эквивалентный переход из точки (0, 0) в точку (Лех, Леу).
2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Чтобы найти решение задачи, можно воспользоваться необходимыми условиями оптимальности из теории базис-вектора [11].
Базис-вектором называется вектор-функция сопряженная вектору скорости. У оптимального импульсного перелета направление импульса скорости совпадает с направлением базис-вектора в данной точке траектории. Лоуден показал, что на оптимальной траектории модуль базис-вектора не должен превосходить единицы, а импульсы скорости прикладываются в те моменты, когда модуль базис-вектора равен единице. Таким образом, на всей оптимальной траектории годограф базис-вектора не должен выходить за пределы сферы единичного радиуса, а импульсы скорости прикладываются в те моменты, когда он пересекает сферу (в начале и/или конце перелета) или касается её (во внутренних точках).
Для рассматриваемого случая почти кругового движения уравнения для составляющих базис-вектора решаются независимо от уравнений движения. Чтобы это подчеркнуть вместо угла ф, используется более привычный для этих уравнений угол 6. Получающееся решение можно представить в виде [10]
X = -X2cos0 + X3sin0,
(9)
I = 2Х1 + 2А28ш9 + 2А30089 - 3А69, (10) V = А^тб + А50089, (11)
где А,!, А2, А3, А4, А5, А6 - произвольные константы.
Для оптимальной ориентации импульса скорости, прикладываемого в точке 9г необходимо выполнение условия
A Vri/A У{ = X(0;), A V,/A У; = ц(0;), AVJAV; = v(0;).
(12)
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПЕРЕХОДА
Решение задачи начнем со случая, когда X6 = 0. Форма годографа не зависит от времени, т.е. решение задачи встречи является частным случаем решения задачи перехода, в которой время выхода на конечную орбиту не имеет значения. Такая ситуация, когда X6 = 0 и AVrdv = AV^, наиболее часто встречается в работе с реальными КА, т.к. можно выбрать время старта и начальное отклонение вдоль орбиты.
Задача оптимального перехода между некомпланарными орбитами исследовалась в работах Кузмака [10], Марека и многих других авторов. Наиболее полное, компактное и простое по изложению решение задачи дано Эдельбаумом [12]. К сожалению, его решение в настоящее время мало доступно российским читателям.
Эдельбаум показал, что уравнения (9)—(11) -уравнения эллипса в трехмерном пространстве. Существуют три конфигурации годографа базис-вектора в форме эллипса
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.