ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 10, с. 1773-1782
УДК 519.634
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ МАХА1)
© 2015 г. В. А. Балашов, Е. Б. Савенков
(125047 Москва, Миусская пл. 4, ИПМ РАН) e-mail: vladislav.balashov@gmail.com; savenkov@keldysh.ru Поступила в редакцию 20.01.2015 г.
Переработанный вариант 03.02.2015 г.
Работа посвящена численному исследованию применимости вычислительных алгоритмов на основе квазигидродинамической системы уравнений для расчета течений при числах Маха порядка M = 10-2—10-1 в рамках модели течения вязкого теплопроводного сжимаемого газа. Представлено краткое описание вычислительного алгоритма и результаты его применения для расчета ряда двумерных и трехмерных тестовых задач. Проведено сравнение с известными ранее результатами расчетов. Библ. 18. Фиг. 9. Табл. 1.
Ключевые слова: квазигидродинамическая система уравнений, слабосжимаемые течения, уравнения Навье—Стокса, численные методы решений разностными методами.
DOI: 10.7868/S0044466915100063
ВВЕДЕНИЕ
Квазигазодинамическая (КГД) и квазигидродинамическая (КГиД) системы уравнений являются модификациями системы уравнений Навье—Стокса, в которые включены малые физически обоснованные слагаемые диссипативного характера (см. [1]—[3]). С точки зрения построения разностных аппроксимаций эти слагаемые играют роль регуляризаторов и позволяют использовать для построения соответствующих разностных схем простые центральные разностные аппроксимации. Малость этих слагаемых гарантирует, что модифицированные модели можно использовать для анализа течений, описываемых классическими моделями гидродинамики.
КГД система была впервые построена в 1980-х годах как первое дифференциальное приближение кинетически-согласованных разностных схем для решения уравнений газовой динамики (см. [1]). Результаты дальнейшего развития этого подхода представлены в монографиях [2], [3]. Позднее был предложен альтернативный способ построения КГД уравнений, основанный на усреднении классических уравнений гидродинамики по малому временному интервалу. КГиД система была предложена и детально исследована в работах Ю.В. Шеретова в 1997 году (см. [3] и библиографию). От КГД системы ее отличают допущения, в рамках которых она была получена. В частности, КГиД уравнения справедливы лишь в том случае, когда в течении не реализуются резкие изменения гидродинамических полей, характерные для течений с ударными волнами. КГиД система также может быть получена усреднением классических уравнений гидродинамики по малому временному интервалу (см. [4]).
Оба подхода активно развиваются в последние годы. В частности, предложены варианты КГД системы для задач теории мелкой воды (см. [5], [6]), магнитной гидродинамики [7], [8]. Перспективные результаты получены при использовании КГД подхода для расчета турбулентных течений в [9]. Активно ведется и теоретическое исследование свойств КГД и КГиД систем: для КГиД системы установлены условия параболичности и равномерной параболичности по Петровскому, доказана локальная по времени теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (см. [12]), найдены общие точные решения систем Эйлера, Навье—Стокса и
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 14-11-00549).
1773
КГиД для плоских установившихся течений (см. [11] и ссылки там), исследованы свойства решений КГиД системы в баротропном приближении (см. [10]).
Варианты КГиД уравнений для описания течений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости успешно применялись при расчетах разнообразных задач (см. [2], [3]). Однако применительно к слабосжимаемым течениям вязкого газа эта модель практически не изучалась. Единственной работой на эту тему является тестирование КГиД уравнений на примере одномерных задач о распаде разрыва (см. [14]). Тем не менее, применение этих уравнений для расчетов дозвуковых течений слабосжимаемого газа может являться весьма перспективным, поскольку указанные уравнения существенно проще КГД уравнений, допускают использование широкого класса уравнений состояния и, кроме того, построенные на их основе явные разностные схемы легко распараллеливаются.
Целью настоящей работы является восполнение указанного пробела. На примере двумерных и трехмерных задач гидродинамики для течений с малыми числами Маха проведено качественное и количественное сравнение результатов, полученных с использованием явных центральных разностных аппроксимаций КГиД системы с опубликованными результатами расчетов, полученных в рамках классических уравнений Навье—Стокса. Рассмотрено влияние присутствующих в КГиД системе дополнительных диссипативных слагаемых на качественные и количественные характеристики течения, а также влияние схемных параметров на допустимые значения шагов по времени.
2. КВАЗИГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
Квазигидродинамическая система уравнения для описания течений вязкого теплопроводного сжимаемого газа имеет следующий вид (см. [2], [3]):
др + V- к = о, (1а)
^ + V - (}т ® и) + -Цур = р Г + V-П, (1б)
д уМ2
Щ + V - (\тИ) + V- q = уМ2Г - \т + уМ2 V - (П - и), (1в)
о?
где р — плотность, и = (их, иу, иг) — вектор скорости, }т — вектор плотности потока массы, Г — вектор массовой плотности внешних сил (в настоящей работе Г = 0), П — тензор напряжений в жидкости, Е — полная энергия единицы массы, Н — энтальпия, q — вектор плотности теплового потока, у — показатель адиабаты, Яе — число Рейнольдса, М — число Маха.
Выражения, определяющие вид вектора плотности потока массы ^ тензора напряжений П и вектор плотности теплового потока q, имеют вид
П = -1
Яе
\т = Р(и - ) ,
4 + ри ® W,
(V® и) + (V® и)Т- 21(V- и)
с| = --х_± VT,
у - 1 Ре
где Т — температура, I — единичный тензор, Ре — число Пекле.
Символом V обозначен стандартный оператор Гамильтона, строчные буквы в жирном начертании (а) обозначают трехмерные векторы, прописные (А) — тензоры соответствующего ранга. Символом ® обозначено тензорное произведение. Способ введения безразмерных параметров приведен в разд. 3.
Уравнения (1) отличаются от классических наличием в них дополнительных слагаемых, зависящих от вектора w, который имеет размерность скорости (в размерных переменных) и определяется выражением
w = т
(u • V)u + -1— Vp - f yM p
(2)
Здесь т — положительный вещественный параметр, имеющий размерность времени (в размерных перменных). В случае течений разреженных газов параметр т может быть физически интерпретирован как среднее время столкновений между молекулами газа.
При описании течений плотных газов и жидкостей входящие в уравнения (1) члены, пропорциональные т, следует рассматривать как физически обоснованные регуляризаторы, обеспечивающие монотонность центральных разностных аппроксимаций, входящих в уравнения дифференциальных операторов. В этом случае т — малый регуляризующий параметр, вообще говоря, зависящий от шага пространственной сетки. Термин "физически-обоснованные" здесь отражает как способ получения системы (1) (осреднение классической системы уравнений гидродинамики по малому интервалу времени т), так и факт наличия у КГиД системы естественных для математических моделей гидродинамики (и механики сплошной среды в целом) свойств — в частности, соответствующих балансовых соотношений для энергии и энтропийного неравенства (см. [2], [3], [12]).
Приведенные выше уравнения должны быть дополнены уравнением состояния. В настоящей работе используется уравнение состояния совершенного газа:p = pT, е = 7/(у — 1). Скорость звука и давление определяются выражениями
с = - \pp = -JT, p = (y - 1 ){e- -YM2u2p mV p M v 1 'У 2 F
Выражения для полной энергии Е и энтальпии Н имеют вид
E = píe + -yMV) , H = 1 (E + p). v 2 ; p
Во всех представленных ниже расчетах использовались значение показателя адиабаты y = 7/5 и число Прандтля Pr = 2/3.
3. ОСОБЕННОСТИ ПОСТАНОВКИ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ
Для аппроксимации системы уравнений (1) использовались явные аппроксимации по времени и центральные разностные производные по пространству (см. [2]). При этом монотонность получающейся схемы обеспечивается наличием в уравнениях членов, пропорциональных т. Во всех рассмотренных ниже случаях использовалась равномерная ортогональная декартова сетка с одинаковыми шагами по координатным направлениям.
Величина регуляризирующего параметра т выбиралась в каждой ячейке расчетной сетки в соответствии с выражением
т = а * -, (3)
с
где к — шаг сетки, а* > 0 — заданный схемный параметр, не меняющийся в ходе расчета, с — скорость звука в ячейке. Заметим, что поскольку т = ©(к) при к —0, то значение регуляризующего параметра т и, как следствие, вклад дополнительных слагаемых с w исчезающе мал при измельчении сетки.
В представленных ниже расчетах использовалась приведенная выше постановка (1) с учетом эффектов сжимаемости и неизотермичности. При этом результаты проведенных расчетов сравнивались с представленными в литературе численными решениями задач, полученных в рамках несжимаемого приближения. Для корректного сравнения полученных результатов с "эталонными" параметры течения задавались такими, чтобы в расчете реализовывался случай практически несжимаемого течения (числа Маха М = 10-2—101, что обеспечивает относительное изменение плотности Ар ~ М2 = 10-4—10-2). Относительные отклонения плотности и температуры от начального значения контролировались и не превышали величину порядка процентов.
Таблица. Используемые в работе параметры подобия
Обозначение Определение
Яе
М V /С г ГО/ '"ГО
Sh
Рг ЦСр/к
Ре Ре =Рг х Яе
Выбор шага интегрирования по времени производился в соответствии с критерием Куранта. Подробнее этот вопрос рассмотрен в разд. 5.
Система (1) записана в безразмерном виде. Связь между размерными и безразмерными параметрами имеет вид
и = У»и, х = ~~Ь, у = уЬ, г = ~Ь, г = ~Ь/У», Р = Р »Р, Р = р»р , т = (Тр») / (р»Д), а = У» а, е = ~р»/р», q = У»р»(~, ~ = (У» ~)/ь,
\т = Р»У»~ т, = У»Й, Т = ТЬ/У»,
где L, V»,рш и рш — масштабы длины, скорости, давления и плотности, соответственно. Конкретные значения эти
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.