ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 4, с. 693-716
УДК 519.634
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ КУЭТТА
ПРИ НЕБОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА1}
© 2007 г. Б. В. Пальцев, Ä. В. Ставцев, И. И. Чечель
(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: paltsev@ccas.ru Поступила в редакцию 21.07.2006 г.
Переработанный вариант 24.11.2006 г.
На основе разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением граничных условий решения осесимметричной первой краевой задачи для стационарной системы Навье-Стокса в шаровых слоях проведено исследование основных сферических течений Ку-этта (СТК) вязкой несжимаемой жидкости в широком диапазоне отношения R/r радиусов внешней и внутренней граничных сфер: 1.1 < R/r < 100, осуществлена классификация таких СТК. Найден важный режим баланса в случае противовращения граничных сфер. Методы сходятся при небольших числах Рейнольдса (Re), однако, как показывают сравнения с данными натурных экспериментов, для СТК в тонких шаровых слоях сходятся для значений Re, достаточно близких к Rekp. Они обеспечивают 2-й порядок точности в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления и обладают высокими скоростями сходимости при решении краевых задач для систем Стокса, возникающих на простых итерациях по нелинейности. Численными экспериментами, в частности, установлено, что для используемых методов решения нелинейной задачи экстраполяционная процедура Ричардсона обеспечивает увеличение порядков точности для функции тока до 4-го, для скорости - до 3-го, оставляя, однако, порядок точности для давления вторым, но тем не менее ощутимо уменьшая ошибку и для давления. Это свойство использовалось для построения достоверных картин линий уровня функции тока в случае больших значений R/r. Рассмотрен также вопрос о конфигурациях траекторий частиц жидкости. Библ. 12. Фиг. 30. Табл. 2.
Ключевые слова: основные сферические течения Куэтта, классификация, стационарная система Навье-Стокса, несжимаемая жидкость, методы с расщеплением граничных условий, шаровые слои, экстраполяция Ричардсона, траектории частиц.
ВВЕДЕНИЕ
Данная статья посвящена численному исследованию задачи о стационарных течениях вязкой несжимаемой жидкости в шаровом слое
Q. = {x = (Xj, x2, x3) : x e [R3, r < p =f |x| < R} (1)
в случае, когда внутренняя и внешняя граничные сферы
Г = {x : |x| = r} и Ге = {x : |x| = R}, Г = Г и Ге, (2)
вращаются относительно одной и той же оси, например Ox3, с некоторыми угловыми скоростями roi и юе соответственно. Для определенности условимся, что положительность значения угловой скорости сферы соответствует вращению этой сферы против хода часовой стрелки, если смотреть на нее с положительной части оси Ox3. Такие течения жидкости называются сферическими течениями Куэтта (СТК).
Экспериментальному, численному и теоретическому изучению таких, а также и аналогичных нестационарных течений, разработке численных методов их расчета ввиду, в частности, и их практической значимости посвящено значительное количество работ разных авторов. Не задаваясь целью привести какой-либо обзор этих работ, сошлемся лишь на хорошо известный обзор [1], а также на сборник [2], по имеющимся ссылкам в ряде статей которого читатель может составить некоторый список более поздних, чем в [1], работ.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00725).
Скорость и и давление р в СТК являются решением следующей краевой задачи в О: (и, V)и - vAu +gradр = 0, и = 0 в О,
и| г = «,[ е, X ]|г, и|, = [ ез, х ]|г, /р* = 0, (3)
О
где V > 0 - кинематический коэффициент вязкости, [е3, х] - векторное произведение единичного вектора е3 декартовой системы и вектора х = (х1, х2, х3).
Как хорошо известно (см., например, [3] и [4]), задача (3), как и более общая первая краевая задача для стационарной системы Навье-Стокса в ограниченной области (с границей, удовлетворяющей некоторым условиям гладкости), имеет по крайней мере одно обобщенное решение, гладкость которого повышается с повышением гладкости данных задачи. При достаточно малых значениях числа Рейнольдса
Яе = (4)
где I - характерный размер области, и^ - характерное значение скорости течения, такое решение единственно и устойчиво, если его рассматривать как положение равновесия для соответствующей начально-краевой задачи для нестационарной системы Навье-Стокса в области О. В этом случае течение обычно называют основным СТК.2)
С возрастанием же числа Рейнольдса (при фиксированнй области), как было обнаружено вначале натурными экспериментами, а затем подтверждено и численными работами, возникают различного характера явления, порождаемые нелинейностью задачи, такие как потеря устойчивости основного течения, образование так называемых вторичных течений - течений с дополнительными вихрями Тейлора-Куэтта в экваториальной зоне, также устойчивых, причем иногда одновременно с основным СТК, бифуркации на спиральные вихри Тейлора-Гертлера и т.п. и, наконец, переход к хаосу. Выяснение механизмов образования таких явлений и создание достоверных методов их расчета представляет значительный интерес и связано с огромными математическими и вычислительными трудностями. По большинству возникающих здесь вопросов до сих пор не имеется достаточной ясности.
Для численного изучения задачи о СТК, как стационарной, так и нестационарной, обычно используются либо спектральные, либо конечно-разностные методы, причем при формулировке задачи (в режиме осесимметричности) в основном в переменных "функция тока - соответствующая компонента вихря". В случае методов, оперирующих в физических переменных "скорость-давление", возникает проблема с аппроксимацией граничного условия для давления, а в случае методов с использованием переменных, включающих функцию тока, имеет место проблема с аппроксимацией граничного условия для ф-компоненты вихря.
В настоящей работе проводится достаточно подробное численное изучение, а также классификация только основных СТК на основе разработанных и исследованных в [5]-[7] эффективных новых итерационных численных методов с расщеплением граничных условий (ГУ) решения осесимметричной первой краевой задачи для стационарной системы Навье-Стокса в шаровых слоях. Каждый из этих методов состоит из итераций двух типов: внешние - итерации метода последовательных приближений для задачи вида (3), когда конвективные члены (и, V)u вычисляются с предыдущей внешней итерации, и внутренние итерации - для решения возникающей на каждой внешней итерации первой краевой задачи для линейной системы Стокса. В [6] должным образом построены достаточно простые конечно-элементные (КЭ-) аппроксимации упомянутых выше конвективных членов. Итерационные численные методы с расщеплением ГУ для решения первой осесимметричной краевой задачи для системы Стокса в шаровых слоях разработаны в [5] и [7]. Созданный в [5] численный метод представляет собой удачным образом построенную КЭ-реализацию предложенного и обоснованного на дифференциальном уровне в [8] итерационного процесса с тремя релаксационными параметрами, алгоритмы вычисления оптимальных значений которых приведены в [7]. Этот метод, как показали численные исследования в [7], оказывается наиболее эффективным в случае 1 < Я/т < 25-27. Для случая же Я/т > 25-27 в [7] построен другой, более эффективный и даже более простой итерационный процесс с расщеп-
2) Под основным СТК понимают также и такое устойчивое течение, которое может быть получено при непрерывном возрастании угловых скоростей в задаче (3) с сохранением структуры картин линий уровня функции тока в меридиональной плоскости от очень малых значений юг- и юе, при которых имеет место единственность решения, до значений, при которых имеется и другое стационарное решение задачи (3).
лением ГУ, а также его КЭ-реализация, аналогичная построенной в [5]. Этот последний метод зависит всего лишь от одного релаксационного параметра, оптимальные значения которого тривиально вычисляются.
Методы решения первой краевой задачи для системы Стокса, разработанные в [5] и [7], обладают следующими важными достоинствами.
1. Они оперируют в физических переменных "скорость-давление" и в пределе итераций правильно выстраивают граничное значение Эр/Эп|г, а вместе с этим и решение всей задачи.
2. На итерациях они приводят к расщепленным и вспомогательным эллиптическим краевым задачам, существенно более простым, чем исходная.
3. Обладают высокими скоростями сходимости, обеспечивая при рекомендованном выше использовании того или иного метода (в зависимости от величины R/r) уменьшение ошибки за 1 итерацию не менее чем в 8.9 раза.
4. При аппроксимации и скоростей и давления одними и теми же специально разработанными конечными элементами типа билинейных (см. [5], [9]) обеспечивается 2-й порядок точности по шагу сетки в норме максимума модуля численных решений, причем как для скорости, так и для давления. При этом не требуется выполнения каких-либо дополнительных условий согласования аппроксимаций для u и для p типа известного трудно проверяемого условия устойчивости Ла-дыженской-Брецци-Бабушки.
5. Итерации методов хорошо сочетаются с итерациями (V-циклами) многосеточного метода Р.П. Федоренко, применяемого для разрешения КЭ-расщепленных и вспомогательных задач (см. [7]). Это обеспечивает и реально высокую скорость сходимости разработанных методов.
В целом же созданные методы и для нелинейной системы Навье-Стокса, как установлено численными экспериментами, также обеспечивают (тогда, когда они сходятся) 2-й порядок точности численных решений в норме максимума модуля и для скорости, и для давления, причем вплоть как до оси симметрии, так и до граничных сфер.
Естественно, используемые методы для стационарной системы Навье-Стокса, основанные на простейшем методе последовательных приближений, сходятся при небольших числах Рейнольд-са. Однако, как показывают сравнения с известными результатами натурных экспериментов, для СТК в тонких шаровых слоях при вращении только внутренней сферы они сходятся в области, близкой к области докритических знач
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.