ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 5, с. 691-699
УДК 532.517.4:536.25
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРОВ ТРЕХМЕРНОЙ КОНВЕКЦИИ РЭЛЕЯ-БЕНАРА
© 2009 г. И. Б. Палымский
Современная гуманитарная академия 630064 Новосибирск, ул. Ватутина, 71 E-mail: palymsky@hnet.ru Поступила в редакцию 18.02.2008 г., после доработки 02.12.2008 г.
В трехмерной постановке рассмотрена задача о конвекции несжимаемой жидкости между двумя горизонтальными плоскостями при подогреве снизу. Горизонтальные границы предполагаются свободными от касательных напряжений и изотермическими. Рассчитанный временной спектр температурных пульсаций в центре конвективной ячейки при надкритичности 410 хорошо согласуется с измеренным экспериментально. Для пульсаций скорости получены спектры Болджиано-Обухова (БО) k_11/s, k~3 и k-5. Для температурных пульсаций получены спектры Колмогорова k~5/3 и k~2'4. Наличие ясно идентифицируемых спектров в исследуемом конвективном течении позволяет характеризовать данный процесс как развитую турбулентность.
ВВЕДЕНИЕ
Классическая задача о конвекции Рэлея-Бенара в различных постановках исследовалась численно [1-7] и экспериментально [8-12]. Наибольший интерес вызывают исследования при высокой надкритичности г = Ка/Иасг, где Иа и Касг - число Рэлея и критическое значение числа Рэлея, ввиду их очевидной связи с проблемой прямого численного моделирования турбулентности.
При рассмотрении конвекции в приповерхностном слое океана естественно рассматривать конвекцию со свободными граничными условиями на горизонтальных плоскостях. В самом деле, здесь возникает своеобразная трехслойная структура -воздух, полностью турбулизированный приповерхностный слой и относительно слабо турбулизированный внутренний слой океана, где изолированно расположенные очаги турбулентности имеют форму горизонтальных блинов [13].
Высокая степень турбулизации приповерхностного слоя обуславливает высокое значение эффективной (турбулентной) вязкости по сравнению с ее значениями в соседних слоях. Рассматривая динамическое соотношение на границах, ограничивающих приповерхностный слой и устремляя отношение вязкостей к бесконечности, получим в пределе нулевые значения для касательных напряжений на границах приповерхностного слоя. Подобная трехслойная система (газообразный гелий-силиконовое масло-ртуть) использована в лабораторном эксперименте [14], где относительно высокая вязкость силиконового масла позволила исследовать конвекцию в слое со свободными от касательных напряжений границами.
При рассмотрении атмосферной конвекции более правильно рассматривать конвекцию с жесткими (с условием прилипания) горизонтальными границами. При замене жестких граничных условий свободными наибольшее отличие наблюдается для поля скорости, для температуры различия менее выражены [15]. Методические расчеты спектров двумерной конвекции с жесткими и свободными граничными условиями показали, что для температуры и скорости спектры качественно не отличаются. Сказанное, с учетом сравнительно слабой зависимости полей температуры и связанных с ней характеристик от числа Прандтля Рг, позволяет надеяться, что выводы о структуре спектров, справедливые для конвекции в приповерхностном слое океана останутся качественно справедливыми и для атмосферной конвекции.
Основные трудности при прямом численном моделировании турбулентной конвекции связаны с наличием быстрорастущих линейных возмущений. Так, при г = 950 и Рг = 10 существуют возмущения, растущие в линейном приближении как ехр(1980, что накладывает серьезные ограничения на численные методы. Между тем число Рейнольд-са Ие является относительно медленно растущей функцией надкритичности в конвекции Рэлея-Бенара и Ие < 40 при г < 950 (Рг = 10).
Диссипация и генерация энергии турбулентности растут при увеличении надкритичности приблизительно как г13 [1, 15]. При достаточно большой надкритичности большой поток переносимой из области генерации в область диссипации энергии обуславливает образование инерционных интервалов и спектров. Интерес к исследованию спектров обусловлен тем, что наличие четко идентифицируемых
691
8*
инерционных интервалов и спектров характеризует рассматриваемый процесс как развитую турбулентность. В дальнейшем будем обозначать курсивом степенные законы изотропного энергетического спектра, чтобы отличать их от приводимых ниже одномерных спектров. Отметим, что в однородной изотропной турбулентности энергетический и одномерный спектры следуют одним и тем же степенным законам [16].
Известно два основных сценария развития конвективной турбулентности [16]. Изотермический сценарий Колмогорова предполагает наличие двух инерционных интервалов переноса энергий пульсаций температуры и скорости, с формированием одинаковых спектров кг5'3, где к - либо волновое число в случае зависимости от пространственных переменных, либо частота - от времени. Силы плавучести здесь существенной роли не играют.
Напротив, Р. Болджиано и А. Обухов (БО) предположили существование инерционного интервала для переноса энергии пульсаций температуры и в области больших масштабов при равенстве по порядку величины членов плавучести и нелинейного переноса. Это приводит к спектрам к-7'5 для температуры и к-11'5 для скорости.
В лабораторных экспериментах по турбулентной конвекции для пульсаций температуры наблюдались спектр Колмогорова к~5/3, спектр БО к-7'5 и спектр к~2А [8—11, 17]. Для пульсаций скорости наблюдались спектр БО к-11'5 и спектр кг135, но спектр Колмогорова к~5/3 не обнаружен [10, 12].
В немногочисленных численных исследованиях турбулентной трехмерной конвекции при высокой надкритичности для пульсаций температуры были получены спектры БО к-7'5 [3] и к-1 [1], но спектры Колмогорова и кт2А не обнаружены. Для пульсаций скорости - спектры к~5/3, к- [1-3], но спектр БО к-11'5 не наблюдался.
Одно из отличий конвективных течений в океане или атмосферы от течений в лабораторных экспериментах составляет их значительная горизонтальная протяженность и связанное с этим разнообразие погодных, климатических условий, благодаря чему могут создаваться условия для формирования областей с различной стратификацией. В областях с нейтральной стратификацией реализуется сценарий Колмогорова. Имеется огромный экспериментальный материал, подтверждающий закон Колмогорова к5'3 для температуры и скорости в атмосфере и океане [13, 18-20]. А в областях с неустойчивой или сильно устойчивой стратификацией возможно появление других законов, обусловленных стратификацией. В книге [13] можно найти формулы и замечание о возможной реализации сценария Бол-джиано-Обухова для температуры и скорости в стратифицированном океане. А в [20] приведены результаты измерений одномерного спектра пульсаций вертикальной скорости в атмосфере, откуда
видно, что результаты измерений, выполненные в определенном диапазоне высот (до 2500 м), подчиняются закону к~242, близкому к закону Болджиано-Обухова для скорости к11'5. А в более высоких слоях атмосферы (около 8000 м) на малых частотах в спектре скорости отчетливо виден закон к3, обусловленный устойчивой стратификацией на этих высотах [19].
Цель работы - изучение спектров трехмерной конвекции со свободными граничными условиями при умеренно высокой надкритичности (до г < 950) и сравнение рассчитанного временного спектра пульсаций температуры с полученным в лабораторном эксперименте по турбулентной конвекции.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В приближении Буссинеска рассматриваются трехмерные конвективные течения вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольном параллелепипеде единичной высоты, с размерами п/а и п/в в горизонтальных направлениях, где а и в - минимальные волновые числа. Горизонтальные границы области считаются изотермическими.
Исходная система уравнений в безразмерных переменных, записанная в отклонениях от равновесного решения, имеет вид [16]
их + vy + wz = 0,
и' + Рг( ииХ + V иУ + wuz) + Рх = А и,
Vt +РГ( и ух + + w + РУ = А V, (1)
wt + uwx + V wy + wwz) + Рг = А w + Кай,
а+РГ( иОх+V йу+wQz) = рргА й+
где и, V, w, р - компоненты вектора скорости и давление, й - отклонение температуры от равновесного линейного профиля (полная температура равна 0 = 1 - у + й), Аf=/хх + /уу - оператор Лапласа, действующий на функцию f, Иа=gвH3dQ/%v - число Рэ-лея, Рг = - число Прандтля, g - ускорение силы тяжести, в, V, х - коэффициенты теплового расширения, кинематической вязкости и температуропроводности, Н - толщина слоя и dQ - разность температур на горизонтальных границах, х, у и г -горизонтальные и вертикальная координаты. В дальнейшем, для краткости будем называть й и 0 температурой.
Конвекция рассматривается со свободными от касательных напряжений горизонтальными границами иг = vz = w = й = 0 при г = 0.1. Такие граничные условия физически реальны и реализованы в лабораторном эксперименте [14].
(2)
Искомые величины u, v, w, p, Q разыскиваются в виде
K N M
u( t, x, y, z) = XX X uknm( t)pkPnPmcos (akx) X
k = 0n = 0m = 0
x cos (ß ny) cos (n mz),
K-1N-1 M
v ( t, x, y, z ) = XXX Vknm( t )pm Sin (akx)X
k=1n=1m=0
x sin(ßny)cos(nmz),
K-1 N M-1
w(t, x, y, z) = XX X wknm(t)pnsin(akx)x
k=1n=0m=1
x cos(ßny)sin(nmz),
K-1 N M
p ( t, x y, z ) = XXX pknm( t )PnPm sin (akx)x
k = 1n = 0m = 0
x cos (ß ny) cos (n mz),
K-1 N M-1
Q ( t, x, y, z ) = XX X Qknm( t )Pn sin (a kx)x
k=1n=0m=1
x cos(ßny)sin(nmz), где pk = 0.5 при k = 0, N и 1 при 1 < k < N - 1, uaa0 = 0.
"Мягкие" граничные условия первого и второго рода на боковых границах x=0, п/a; y = 0, n/ß ставятся исходя из вида решения (2), например, при x = 0 и 0 < y < n/ß из (2) находим, что ux = v = w = Q = 0 - условия на вертикальной плоскости, проходящей через центр конвективного вала параллельно его оси. Граничные условия при при y = 0 и 0 < x < п/a: uy = v = = wy = Qy = 0 соответствуют условиям на границе конвективной ячейки. Некоторая искусственность такой постановки обусловлена желанием обеспечить преемственность с двумерными расчетами работы [15], где приведено сравнение с экспериментальными результатами при небольшой над-критичности.
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД И ЕГО АПРОБАЦИ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.