научная статья по теме ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОДНОЙ ОБЛАСТИ СИЛЬНОТОЧНОГО ВАКУУМНО-ДУГОВОГО РАЗРЯДА И КРИТЕРИЙ БОМА Физика

Текст научной статьи на тему «ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОДНОЙ ОБЛАСТИ СИЛЬНОТОЧНОГО ВАКУУМНО-ДУГОВОГО РАЗРЯДА И КРИТЕРИЙ БОМА»

УДК 537.525

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОДНОЙ ОБЛАСТИ СИЛЬНОТОЧНОГО ВАКУУМНО-ДУГОВОГО РАЗРЯДА

И КРИТЕРИЙ БОМА © 2014 г. Я. И. Лондер, К. Н. Ульянов

Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина, Москва E-mail: kulyanov@vei.ru Поступила в редакцию 18.04.2013 г.

Исследована анодная область вакуумно-дугового разряда во внешнем магнитном поле с учетом зависимости отрицательного анодного падения от отношения направленной скорости электронов v0

к их тепловой скорости vT. Решено уравнение Пуассона в слое объемного заряда у анода при различных значениях электрического поля E(0), скорости ионов v, (0) и параметра vq/vT на границе

слой—плазма. Показано, что существует минимальная скорость vf (0) влетающих в анодный слой ионов, при которой электрическое поле обращается в нуль в одной точке внутри слоя. Скорость

V* (0) определяет границу существования стационарного анодного слоя и зависит от отношения volvT. При vq/vT ^ 0 значение vf (0) асимптотически стремится к ионно-звуковой скорости, что согласуется с известным критерием Бома. С ростом v0/vT скорость v* (0) увеличивается. При v, (0) < < vf (0) стационарные решения в анодном слое отсутствуют. Для различных значений параметров E(0) и vq/vt определена область существования стационарных решений в анодном слое. DOI: 10.7868/S004036441405010X

ВВЕДЕНИЕ

В теории плазмы широко используется предложенное Тонксом и Ленгмюром приближение [1], в соответствии с которым ограниченную поверхностями (стенками, электродами) неоднородную плазму можно разбить на две области: область квазинейтральной плазмы (Ые = и узкий слой объемного заряда, который отделяет квазинейтральную плазму от контактирующих с ней поверхностей. При таком подходе электрическое поле в плазме находится из уравнений движения заряженных частиц, а объемный заряд определяется уравнением Пуассона. В слое объемного заряда ситуация противоположная — плотность заряженных частиц определяется из уравнений движения и непрерывности, а затем в результате решения уравнения Пуассона находится электрическое поле. Граница между плазмой и слоем проходит в области, в которой плазму уже нельзя считать квазинейтральной. Математически это выражается соотношением ZíNí(0) — N,(0) = кZ■N'(0)

— заряд ионов), где к < 1 — безразмерный параметр, характеризующий степень отклонения от квазинейтральности на границе слоя. При таком подходе необходимо раздельно решать задачи для плазменной области и для слоя объемного заряда и сшивать решения на границе.

В работе Бома [2] был получен критерий существования стационарного слоя объемного заряда

с монотонно убывающим потенциалом. Согласно этому критерию для существования стационар -ного слоя необходимо, чтобы скорость влетающих в слой ионов VI (0) была больше или равна скорости ионного звука В [2] предполагалось, что электроны в слое положительного объемного заряда распределены по закону Больцмана, а поток ионов ускоряется без столкновений в электрическом поле. В такой модели уравнение Пуассона в безразмерных переменных имеет вид

,2

^ = exp(n) - (1 - к)-1(1 - 2M-V1/2.

(1)

Здесь 2, = z¡^в — безразмерная координата,

X в = 0кТе/е2Ме(0) — дебаевская длина, N,(0) — концентрация электронов на границе плазмы и слоя, п = еф/кГе — безразмерный потенциал, VI (0) — скорость ионов на входе в слой, V;,, = ^ккТе/М)1/2 — ионно-звуковая скорость, М0 = VI (0)/ V;,, — безразмерная скорость ионов (число Маха) на границе плазмы и слоя. Начало координат выбрано на границе плазмы и слоя, ось Z направлена к аноду, п(0) = 0. Определим условия существования стационарного слоя положительного объемного заряда. Для этого найдем решение (1) при п ^ 0 [3]. Разложим правую часть (1) в ряд Тейлора по степеням п и оставим линейные по п члены. Поскольку правая часть (1) является только функци-

ей п, уравнение (1) можно один раз проинтегрировать. Получаем

П

п'2(0) + 2к(1 - к)-1п + (1 - М-2)п2

-12

(2)

В уравнении (2) "штрих" означает дифференцирование по £,. В [2] при решении задачи предполагалось, что к = 0, п'(0) = 0, т.е. задача решалась с нулевыми граничными условиями. В этом случае решение существует (объемный заряд в слое положителен) только при М0 > 1 [2, 3]. Таким образом, скорость потока ионов на границе слоя должна быть не меньше скорости ионного звука. В работах [2, 3] было показано, что при М0 < 1 стационарное решение уравнения Пуассона в слое отсутствует. Условие М0 > 1 называется критерием Бома для образования слоя [3].

Отметим, что модель Бома с нулевыми значениями к и п'(0) не согласуется с моделью плазмы Тонкса и Ленгмюра, согласно которой на границе неоднородной плазмы и слоя значения электрического поля и объемного заряда отличны от нуля. Кроме того, при наличии потока электронов на анод зависимость концентрации электронов в слое от потенциала Д,(п) не описывается законом Больцмана [4, 5], причем степень отклонения от этого закона зависит от отношения направленной скорости электронов v0 к их тепловой скорости vг. Поэтому необходимо обобщить критерий Бома на случай ненулевых значений к и п'(0), а также отказаться от предположения о больцманов-ском законе распределения электронов в слое. Для разрядов низкого давления такая задача решена в [6], где показано, что минимальное значение М0, при котором еще существует стационарное решение уравнения Пуассона, зависит от параметров к, п'(0), щ/и может быть заметно меньше единицы. Таким образом, в разрядах низкого давления область существования стационарного слоя шире области, определяемой известным критерием Бома. В этой работе был сформулирован обобщенный критерий Бома. Показано, что граница области стационарных решений в анодном слое определяется условием обращения в нуль минимального значения электрического поля внутри слоя, а объемный заряд в слое представляет собой "сэндвич", в котором области положительного объемного заряда вблизи границы с плазмой и вблизи анода разделены областью отрицательного объемного заряда. Такая структура слоя связана с зависимостью концентрации электронов от потенциала, отличной от закона Больцмана, а также с зависимостью концентрации ионов от потенциала [6].

В настоящей работе получен критерий, определяющий границу области существования стационарных решений уравнения Пуассона в анодном слое сильноточного вакуумно-дугового разряда (ВДР) во внешнем магнитном поле. Физическая

модель анодной области ВДР кардинально отличается от физической модели анодной области других электрических разрядов с отрицательным анодным падением, в которых поток ионов на анод формируется в прианодной плазме за счет ионизации газа. Вакуумно-дуговой разряд — это короткий сильноточный разряд с плотностью тока ~1 кА/см2. Диффузная форма ВДР реализуется в вакуумных выключателях с внешним аксиальным магнитным полем. В полностью ионизованной плазме ВДР поток ионов с энергией 50—100 эВ формируется в прикатодной области. Быстрые катодные ионы движутся к аноду против направления электрического поля, создаваемого током Холла и градиентом давления заряженных частиц. Физическая модель короткого сильноточного ВДР является двухмерной [7—10]. Этот факт связан с наличием азимутального магнитного поля и магнитного поля тока Холла, которые зависят от координат. Эффективная проводимость плазмы ВДР также зависит от координат, она уменьшается от оси к периферии разряда [8, 11]. При уменьшении внешнего аксиального магнитного поля указанный эффект приводит к контракции электронного тока на аноде. В ВДР на катодной границе плазмы отношение v0/vг ~ 0.1. В результате сильной контракции тока на аноде отношение v0/на оси разряда может достигать значения ~0.5, поэтому в таком разряде отклонение зависимости Д,(п) от закона Больцмана весьма значительно [4].

В настоящей работе найдена область существования стационарных решений уравнения Пуассона для анодного слоя ВДР. Для расчета параметров плазмы ВДР и определения значений

параметров V0/vT, Ё(0), к на границе плазмы и слоя использовалась 2D кинетическая модель короткого ВДР во внешнем магнитном поле [12].

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Ключевой вопрос математического описания бесстолкновительного слоя объемного заряда заключается в том, каким именно образом описывать зависимости концентраций заряженных частиц от потенциала. Для описания зависимости концентрации ионов от потенциала используется

выражение Щц) = ^(0)(1 - 2М-2г|)-1/2 [3]. Ситуация с электронной плотностью не столь однозначна. Большинство авторов вслед за Ленгмю-ром априори предполагают, что электроны в слое распределены по закону Больцмана. Однако, как показано в [4, 5], такой подход применим только в случае малых значений v0| чт < 10-2. Например, при определении потенциала изолированной стенки в положительном столбе электрического разряда низкого давления, когда имеет место режим амбиполярного движения заряженных ча-

стиц, на границе слоя v0/vT œ (m/M)l/2. В условиях ВДР отношение v0/vT, как уже упоминалось, составляет 0.1—0.5. При таких значениях v0/vT использование для электронов распределения Больцмана некорректно [4, 5].

В [4] разработана кинетическая теория отрицательного анодного падения Ua, учитывающая явную зависимость функции распределения электронов по скоростям от отношения v0/vT. Получены аналитические выражения, определяющее зависимость Ua от v0/vT. Эта зависимость отличается от формулы Ленгмюра для расчета Ua. Показано, что при увеличении отношения v0/vT модуль Ua монотонно уменьшается, стремясь к нулю при v0/vT ^ да. Зависимость величины na = = eUa/kTe от параметра v0/vT, рассчитанная в работе [4], приведена на рис. 1, из которого следует, что na < 0 для всех значений v0/vT. Там же приведена зависимость na от v0/vT, определяемая формулой Ленгмюра. Выражение для na при произвольных значениях v0/vT можно записать в виде na = nLb(v0/vT ), где функция b(v0/vT) является поправкой к формуле Ленгмюра. Расчеты показывают, что b = 1.015 при v0/vT = 10-2, b = 1.05 при v0/VT = 3 x 10-2 и b = 1.25 при v0/vT = 0.1. Отметим, что при v0/vT ^ 0.25 поправка b стремится к бесконечности. Таким образом, область применимости формулы Ленгмюра ограничена услови

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»