ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2011
УДК 539.3:534.1
© 2011 г. Юрченко А.А.
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПАНЕЛЕЙ ПРИ КРАТКОВРЕМЕННЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ1
Реализован алгоритм решения задач о расчете напряженно-деформированного состояния шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру трехслойных пластин конечного прогиба, моделирующих панели некоторых автотранспортных средств, при кратковременных динамических нагрузках разного типа. Проанализировано влияние формы импульсного воздействия, геометрических и жесткостных параметров на характер деформирования пластин.
Решению геометрически и физически нелинейных задач для неоднородных и многослойных композитных пластин и оболочек при импульсных и ударных воздействиях с использованием высших приближений для аппроксимирующих функций посвящено достаточно много публикаций, например [1—3] и др. Вместе с тем, наряду с расчетом элементов тонкостенных конструкций, обычно применяемых в авиационной технике, энергетике, актуальными сейчас стали задачи обеспечения минной стойкости специальных автотранспортных средств, так называемых кузовов-контейнеров многоцелевого назначения, изготавливаемых из трехслойных плоских панелей [4], которым посвящены пока немногочисленные публикации [4—6].
В настоящей статье проведено подробное численное исследование динамической реакции шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру трехслойных пластин конечного прогиба, моделирующих панели таких конструкций [4], при различных кратковременных воздействиях.
Постановка и решение задачи. Динамическая реакция шарнирно опертых по контуру трехслойных пластин несимметричной структуры по толщине с жестким трансвер-сально изотропным заполнителем, податливым на поперечный сдвиг, и изотропными несущими слоями, описывается уравнениями Григолюка—Чулкова [7], в которых учтены также начальные неправильности формы координатной поверхности, поперечные инерционные силы и внешнее демпфирование. Эта система уравнений в смешанной форме относительно разрешающих функций перемещений и усилий имеет вид
AAF = Eh
( d2w
d2 w d2w
+ 2
d2w
d2wn
d2W d2wn d2 W d2w,
,2-;
>dW dx2 dx22 dxidx2dxidx2 dx2 dx.
dx- дx2 _
Ц 1 - AJAAX -
f 2 i2 Л 2
<9jw + dj^] dF
vdxj2 dxj2 / dx^
f 2 i2 Л 2
d_w+dj^] dl?+
V dx^ dx^ ) dx 2
(1)
+2
_2w
2w
dx 1 dx2 dx 1 dxj dx 1 dx2
d2 F
q - p h
(d2 + d - + E —
Vdt2 dt
1 -- A
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Грант № 10-08-00258а).
В уравнениях w(xb x2, t) = w (xb x2, t) + w0(xb x2) — полный прогиб; w0(xb x2) — начальный прогиб; w (x1, x2, t) — дополнительный прогиб, связанный с разрешающей функцией перемещений х соотношением w = (1 — й2р-1Л)%; F — функция усилий; s — коэффициент демпфирования среды; q = q(x1, x2, t) — внешняя нагрузка, приложенная к первому несущему слою (q > 0, если направлена в положительном направлении
3
оси z); h = X hk — полная толщина прямоугольной пластины со сторонами a, b; hk —
к = 1
толщина k-го слоя, (k = 1, 2, 3), h3 = 2с — толщина заполнителя; D — изгибная жесткость трехслойного пакета; v — приведенный коэффициент Пуассона; в — параметр,
характеризующий жесткость заполнителя на поперечный сдвиг (ü\3 — модуль поперечного сдвига заполнителя (i = 1, 2)); 9 — параметр, характеризующий относитель-
3
ную изгибную жесткость несущих слоев; ph = X Pkhk (pk — удельная плотность мате-
к = 1
риала k-го слоя). Расчетные формулы для параметров, фигурирующих в уравнениях, приведены в [7, 8].
Граничные условия шарнирного опирания F = ЛF = х = Л% = ЛЛ% = 0 удовлетворяли представлением аппроксимирующих функций в виде двойных тригонометрических рядов Фурье
* = XX J t) , X = XX t) sin^j2,
1 J 1 J (2)
w0 = XX w°'^sin Sln ~h~ •
Сложность решения задачи для защемленной по контуру прямоугольной трехслойной пластины с учетом поперечного сдвига в заполнителе при применении уравнений в смешанной форме связана с трудностью построения полной системы ортогональных координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям жесткого защемления [7, 8]. Поэтому для решения этой задачи были получены вариационным методом на основе кинематической гипотезы ломаной линии [7] система пяти уравнений в перемещениях трехслойных пластин несимметричной структуры с жестким несжимаемым в поперечном направлении заполнителем и естественные граничные условия. При этом начальные прогибы не учитывали; рассматривали простейший квадратичный вариант геометрически нелинейной теории пластин.
В уравнениях
Bu
Í 2 2 2 2 2 2 д u i + 1 - vд u i + 1 + v д u2 + 5w d w + 1 - v dw д w + 1 + v дw д w . +
V dx2 2 dx22 2 dx1 dx2 dx 1 dx 2 2 dx idx22 2 dx2 дх1дх
+A11
^ + 1-vA + 1+vjVI+c д_лw = 0,
Vdx2 2 dx22 2 dx1dxiJ dx1
(2 (я2 2 Л ( д2 2
д u1 , dw д w , 1 - v д u1 + dw д wl + 1 + v д u2 , д w д w
+--- +
Ux2 дх1 дх2 2 Ux^ дх1 дx22J 2 1дх1дх2 дх2 дх1дх
+ ____, +
+ А
(д ах 1 - Vй а1 1 + V д а2 1 п д л ^з ( й»! п (-
2 + --2 + -^Т^ЛТ I -лу- ^зНа1 + ^) = ° (х1>х2);
дх2 2 дх22 2 дх1дх2/ дх1 4 дх/ <-
сплл» + Д11
2 л 2 2 2 ' ( д у 1 д уд у
>дх1дх/ дх2 дх22.
- °13 кз
да1 + д ' у;1 г з ,
д" + — I - °23к3
дх1 дх2
да2 , д2у
+ — I +
гдх2 дх21
+ сплГ дд^ + - А,лГ да- + ^ - В
Гдх1 дх2
Гдх1 дх2
"/ 2 2 2 д и1 + 1 + V д и 2 + ^^д^! +
Лдх2 2 дх1дх2 2 дх22 ^дх1
2
2
2
д_и2 + 1 + V д И 1 + Ь-уд^! ду + (
д И 1 д и21 д у (д и 2 д И 11 д у
2
1дх22 2 дх1 дх2 2 дх2 / дх2 Гдх1 дх2 дх2 х2 дх1Удх22
+ (1 - у)^ + ^^
Гдх, дх,/ дх, I
2
Гдх2 дх1-^дх1 дх2_
- А,
222 д а1 + 1+у д а 2 + 1-_уд_аЛ ду +
дх2 2 дх1 дх2 2 дх22 )дх1
д2а2 1 + у д2а1 1 - уд2а2) ду , (да, да21д2у
+ V—- -+
1дх22 2 дх1 дх2 2 дх2 / дх2 Гдх1 дх2Удх2
+ Г^ + Vдаilд_у + (1 - V)íда + ^
Гдх2 дх/ дх2 Гдх, дх,/
д2у
2
^дх2 дх/дх1дх2
- д + 5
^ + = 0; д?
к
и{ — продольные перемещения точек к-го слоя в направлении осей х1 и х2 соответственно; 2са, — абсолютные сдвиги поверхностей контакта заполнителя с внешними
з
слоями; ^ = X РкЬк, Вц, Л11, ..., Бп — коэффициенты, зависящие от геометрических к = 1
и механических характеристик слоев.
Для пластин симметричной структуры по толщине Лп = Сп = Б11 = 0. Для трехслойной пластины, жестко защемленной по контуру, при наличии диафрагмы бесконечной жесткости, препятствующей относительному сдвигу несущих слоев вдоль контура, граничные условия в перемещениях и, = Ж12 = а: = а2 = т = д^/дх, = 0 ( , = 1, 2) удовлетворяли представлением безразмерных компонент вектора перемещений в виде разложения в ряды по фундаментальным балочным функциям
у =
= XX 1 ^ хо) %(Уо), а1 = XX Ау(т) хо) %(У0),
' 1 ' 1
XX А//(т) ^) Zj(yо), И1 = XX1) Z¿( хо) ),
(4)
+
+
2
XX1) Z^(■ хо )Zj( Уо),
' 1
где x0 = xja, y0 = x2/b — безразмерные переменные; безразмерное время т = C*t/a (C* = JE/р — скорость звука в трехслойной пластине); Z(x0), Z(y0) — фундаментальные балочные функции:
Z¡(x0) = sin X¡x0 - sh X¡x0 - a¡(cos X¡x0 - ch X¡x0),
Zj(Уо) = sinXy - shXy - a/cosXy - chXy); a¡ = (sinX(- - shX()/(cosX¡ - chX(-);
Xn удовлетворяет трансцендентному уравнению chXncosXn = 1.
Рассматривали два случая импульсного воздействия: нагрузка, меняющаяся по времени по кусочно-линейному закону [9], который может моделировать воздействие наземного взрыва под днищем автомобиля, и прямоугольный импульс малой интенсивности, но относительно большой длительности по времени (таким нагружением моделируется воздействие сильного взрыва на большом удалении от объекта).
Суммарное давление, действующее на первый несущий слой пластины при приложении кусочно-линейного импульсного воздействия, вычисляли по формуле
0 при t < t0,
A P,
t0 + 2Тобт - t
обт
AP
обт
1 + тм -1
обт
пРи t0 ^ 1 ^ t0 + "W
при t0 + тобт ^ t ^ t0 + ^
(5)
1 + 1обт
0 при t > t0 + т+.
q
Параметры импульсного воздействия вида: т+ — продолжительность фазы сжатия ударной волны; тобт — время от начала отражения ударной волны до начала установления режима обтекания; t0 — время от момента взрыва до начала взаимодействия ударной волны с преградой (момент касания фронта волны ближайшей к месту взрыва точки преграды); ЛРобт — давление в момент установления режима обтекания; ЛРотр — максимальное давление отражения, действующее в момент времени t0 на поверхность пластины, оценивали по методике расчета конструкций сооружений на воздействие взрыва, приведенной в работе [9].
По имеющимся экспериментальным данным для характерных расстояний от центра заряда взрывчатого вещества до преграды 1—3 м и для зарядов массой 0,2—1,5 кг время действия ударной волны составляет порядка 0,002 с [5]. Оно значительно больше времени распространения волны возмущения по толщине пластины (последнее составляет для геометрических и массовых параметров трехслойных пластин в среднем 1,5 ■ 10-5 с, поэтому волновыми процессами распространения деформаций в пластине пренебрегали.
Системы уравнений (1) и (3) с учетом (2), (4), (5) после приведения к безразмерному виду интегрировали методом Бубнова по пространственным координатам. Процедура ортогонализации метода Бубнова приводит к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений по времени и нелинейных алгебраических уравнений, которая для случая шарнирного опирания имеет вид
{% A.S+(32+/Т Xj к ^
m n \ i j
- A
i l +1 k ^ т*^ пА - к115, т1к16, ПЦШЦХ^Н + ^^^^^^^^^^ "
I 1 к I
XX в-1 А4И7 тпА = 0 ,
* 1
XX XX ^ /1)2 + А2 "Л ПрА +
т п \ I }
+ -Ъ ХХХХ {в^ , тНк^А, пЦ [* 1 Рк1Х(/Хк1 + (i 1 +1 к )
4п 1 , ,
I 1 к I
- У'ш5, т1кЬ, пцСРыХуХд + 2 Щк1%1])}^ = 0 ,
где х;1 = Х,/А; Fil = ЕЦ/ЕЬЪ', 11 т1, ..., /6> п)1 - интегралы метода Бубнова.
В уравнениях внутренние суммы с четырьмя индексами суммирования обусловлены нелинейными слагаемыми, а знак суммы X X перед каждым уравнением озна-
т п
чает, что под данным уравнением понимается система тп таких уравнений.
Для жесткого защемления получаем аналогичную систему уравнений относительно
Щр 4р Ац, иф V,.
Системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений редуцировали к нормальным и интегрировали численно методом Кутта-Мерсона. При этом на каждом шаге по времени решали алгебраические уравнения, что позволяло форм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.