^^^^^^^^^^^ МОДЕЛИРОВАНИЕ ^^^^^^^^^^
МИКРО- И НАНОСТРУКТУР
530.145
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХЧАСТИЧНОГО РЕЗОНАНСНОГО РАССЕЯНИЯ С ОБРАЗОВАНИЕМ МОЛЕКУЛЯРНОГО ИОНА
© 2008 г. К. С. Аракелов
Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, Факультет ВМК, кафедра квантовой информатики e-mail:karakelov@mail.ru Поступила в редакцию 24.03.2008 г.
С помощью численного моделирования рассмотрен процесс образования положительного молекулярного иона в процессе резонансного рассеяния положительного иона на собственном атоме. Предложен метод расчета физических характеристик процесса, основанный на представлении эволюции квазиклассической ^-функции системы как классической эволюции всех пар экземпляров первоначальных частиц. Рассчитаны интегральные характеристики модельных процессов образования молекулярного иона. Получены оценки вероятности образования положительного молекулярного иона водорода.
МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 37, № 6, с. 439-447
УДК
РДСБ 34.50.Jb
1. ВВЕДЕНИЕ
Динамика сложных запутанных состояний атомных частиц очень важна для описания химических реакций. Однако, прямой расчет таких состояний из первых принципов для реальных динамических систем затруднен вследствие его вычислительных сложностей даже для двухчастичных процессов. В случае же многочастичных процессов такой расчет становится практически невозможным. Можно ожидать, что для этой цели эффективным будет использование квантового компьютера [1, 2]. Но так как полномасштабного варианта квантового компьютера на данный момент не существует, анализ динамических атомных процессов нужно проводить на обычных компьютерах, используя новые алгоритмические подходы [3-5].
В работе рассматриваются численные эксперименты по моделированию реакций образования молекулярного иона при столкновении положительного иона со своим собственным атомом. В литературе такого рода реакции называются резонансными. В простейшем случае - это атом водорода и протон.
Один из вариантов теории квантовых превращений при двухчастичных столкновениях был разработан в начале тридцатых годов Л.Д. Ландау и К. Зи-нером [9-11]. Ими исследовалась задача о пересечении и псевдопересечении адиабатических термов квазимолекулы, образованной из двух атомных частиц, и квантовых переходах при движении частиц по этим термам.
Термин "квазимолекула" означает совместное рассмотрение взаимодействующих частиц как одной молекулы безотносительно к расстоянию между ними. Для того, чтобы рассмотрение взаимодействующих частиц в рамках представления о квазимолекуле было оправдано, необходимо выполнение для этих частиц адиабатического приближения, впервые сформулированного в работе Борна и Оппен-геймера. В первоначальной формулировке Борна-Оппенгеймера движение атомных частиц предполагалось квантовым. Для задач, связанных с эволюцией квазимолекулы, адиабатическое приближение чаще всего используется в более мягкой форме по сравнению с формулировкой Борна-Оппенгеймера: движение атомных частиц рассматривается классически почти на всей их траектории. Исключение делается для малой области, когда сталкивающиеся частицы проходят расстояние наибольшего сближения адиабатических термов.
В дальнейшем изложении под термином «адиабатическое приближение» предполагается полуклассический его вариант: электроны рассматриваются квантово, атомные частицы (ядра) - классически.
В работе предлагается численная модель образования молекулярного иона при столкновении двух атомных частиц. Теоретической базой для данной модели является модифицированная модель Лан-дау-Зинера [7]. В работе изучаются вероятности образования молекулярного иона в зависимости от внешних параметров: прицельных расстояний и начальных относительных скоростей.
2. ЗАДАЧА ЛАНДАУ-ЗИНЕРА ДЛЯ КВАЗИПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ТЕРМОВ.
ОСОБЕННОСТИ РЕЗОНАНСНЫХ РЕАКЦИЙ - МОДЕЛЬ СОЛОВЬЕВА
Задача Ландау-Зинера в ее классической постановке формулируется для неадиабатических переходов между двумя адиабатическими термами. Такая модель справедлива только в том случае, когда у адиабатических термов существует выделенная точка пересечения в комплексной плоскости межчастичных расстояний Я. При этом 1тЯ отлично от 0, так как согласно теореме фон Неймана адиабатические термы одной симметрии при чисто действи-
тельных Я пересекаться не могут. Такая точка пересечения однозначно соответствует точке пересечения диабатических термов, которые, напротив пересекаются при действительных Я. Напомним, что адиабатические термы - это квазимолекулярные электронные термы. Им соответствуют квазимолекулярные волновые функции. Диабатические же термы рассчитываются в базисе атомных состояний.
Матрица гамильтониана в диабатическом базисе в простейшем двухуровневом приближении записывается в виде:
Н =
Нп Н
12
V Н12 Н22 У
(1)
После диагонализации уже в адиабатическом базисе матрица гамильтониана запишется в виде:
Н =
/ л
#11 0
0 Н22
22
(2)
где для Н11 и Н22 справедливы выражения:
Ни = Е1 (Я) = (Н11 + Н22)/2 + 7(Н11- Н22)2/4 - V2 Н22 = Еи( Я) = (Н11 + Н22) /2-7 (Ни- Н22 )2/4 - V2.
(3)
Здесь Е[(Я) и ЕИ(Я) - адиабатические термы. Ве- тывается по формуле: роятность перехода между этими термами рассчи-
Р - | ехр - |(Еп(Я(г)) - Е1 (Я(г)))йЯ
йЯ.
(4)
о
В модели Ландау-Зинера уравнение движения Я(:) является линейным по времени. Основной вклад в интеграл вероятности перехода вносит область квазипересечения адиабатических термов в комплексной плоскости Я, которое происходит при 1тЯ, отличном от 0.
При резонансном рассеянии в случае двухуровневой системы у адиабатических термов нет точек квазипересечения. Волновые функции в адиабатическом приближении запишутся в виде:
^ = (У1+ V 2 )/72,
^и = (¥1- ¥ 2)/72.
(5)
Здесь ¥1 и ¥2 -диабатические волновые функции. Адиабатические термы е^ и еи будут сходиться на бесконечности.
В этом случае методы, разработанные для решения задачи Ландау-Зинера, без модификаций неприменимы. Рассмотрение такой системы можно проводить на основании теории, изложенной в обзоре [7].
Согласно этой теории в резонансном случае имеются две серии квазипересечений - по терминологии обзора Б-серия и Т-серия. В области квазипересечений из Б-серии происходит квазипересечение электронных термов с различными главными квантовыми числами и одинаковыми квантовыми числами углового момента и его проекции (Еп1т(Я) и Еп+1т(Я)) последовательно для всех п > I + 1. В случае Т-серии происходят квазипересечения термов с различными квантовыми числами углового момента и его проекции.
На рис. 1 изображены Б-серия и Т-серия. Б-серия изображена в виде точки, так как серия "сливается" на масштабах рисунка.
Физически такая картина поведения электронных термов соответствует наличию у системы сталкивающихся частиц двух характерных расстояний.
В том случае, когда межчастичное расстояние становится равным Я1 (рис. 2), происходит перестройка, соответствующая переходу электрона (рассматриваемого классически) от движения в одноямном потенциале к движению в двухъям-ном потенциале. Квантовомеханические превра-
щения при этом соответствуют распределению начального углового момента электрона по всему набору его возможных значений.
В случае, когда межчастичное расстояние становится равным Я5, происходят переходы с изменением главного квантового числа и сохранением углового момента. В связи с этим уместна следующая "классическая" аналогия: в области Я5 происходит релаксация энергии электрона на полном наборе его главных квантовых чисел.
Рис. 2 изображает электронные процессы и соответствующие им пространственные масштабы. Помимо областей S и Т на рисунке выделены также области Р и I. Эти области проявляются в случае нерезонансных процессов [7].
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ДВУХЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ
Можно рассматривать первоначальное состояние частицы в координатном представлении в виде разложения
№>» = о = г" 1= о1Г> •
Тогда двухчастичное состояние в произвольный момент времени можно записать в виде
}
Это выражение записано в предположении коммутативности динамических переменных, соответствующих первой и второй частице. Такое предположение верно для рассматриваемых задач, когда частицы почти всегда эволюционируют классически. Записывая уравнение Шредингера для двухчастичного вектора состояния, умножая справа на этот же вектор и учитывая соотношения ортонор-мированности, придем к системе отделяющихся уравнений Шредингера для каждой пары частиц. Это означает, что эволюцию каждой пары частиц можно рассматривать независимо. Такой метод рассмотрения в [3, 5] назван методом коллективного поведения.
В соответствии с этим методом численное моделирование квазиклассических двухчастичных процессов проводится путем рассмотрения этих частиц как ансамблей частиц (идентичных первоначальным), соответствующим образом распределенных в фазовом пространстве. При этом начальная плотность ансамбля частиц соответствует квадрату начальной волновой функции каждой из первоначаль-
ных частиц. Амплитуда волновой функции конечного состояния в зависимости от межчастичного расстояния Я может быть определена из статистических расчетов как функция распределения межчастичных расстояний пар частиц из ансамбля. Фазы волновой функции, соответствующие выделенной частице из ансамбля, определяются путем компьютерного расчета фейнмановского интеграла вдоль классической траектории частицы.
Проиллюстрируем этот алгоритм на примере од-ночастичной системы в потенциале (этот пример легко обобщается и на двухчастичный случай). Вероятность потенциального рассеяния в определенный телесный угол в квазиклассическом случае может быть смоделирована следующим образом.
1. Начальное конфигурирование. Создается ансамбль частиц, идентичных первоначальной частице (идентичность в нашем случае означает равенство массы и параметров потенциала.). У ансамбля задается распределение координат и импульсов в фазовом пространстве. Плотность распределения
частиц соответствует квадрату модуля начальной волновой функции.
2. Собственно эксперимент. Каждая частица из ансамбля классически рассеивается на потенциале. Амплитуда вероятности рассеяния
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.