КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2014, том 59, № 1, с. 5-10
ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
УДК 548.73
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ С ПОМОЩЬЮ ЖЕСТКИХ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ В СХЕМЕ НА ПРОСВЕТ. БЛИЖНЕЕ ПОЛЕ © 2014 г. В. Г. Кон, Н. В. Цвигун*
Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва
E-mail: kohnvict@yandex.ru * Институт кристаллографии РАН, Москва Поступила в редакцию 03.04.2013 г.
Развит метод расчета прохождения жесткого рентгеновского излучения через идеальный и хорошо ориентированный фотонный кристалл, состоящий из плотно упакованных сфер вещества. Метод основан на использовании приближенного решения параксиального уравнения на малых расстояниях. Получена рекуррентная формула для распространения излучения на один период кристалла. Разработана компьютерная программа для численного моделирования изображений фотонных кристаллов в ближнем поле, в частности сразу за кристаллом. Расчет выполнен для силикатных сфер диаметром 500 нм. Показано, что метод стандартного фазового контраста не применим к данным объектам, так как в объеме кристалла происходит весьма сильное изменение интенсивности, обусловленное рассеянием излучения на отдельных сферах.
DOI: 10.7868/S002347611401007X
ВВЕДЕНИЕ
Фотонными кристаллами называются естественные или искусственные материалы с периодическим изменением электронной плотности при условии, что значение периода находится в интервале от десятых долей микрона до одного микрона. Естественными кристаллами такого типа являются опалы. Благородные опалы состоят из глобул кремнезема SiO2 • яH2O, упорядоченных в трехмерную решетку. Искусственные фотонные кристаллы часто изготавливаются из силикатных SiO2 сфер нужного размера, плотно упакованных в трехмерной решетке. По этой причине их называют синтетическими опалами.
Существуют фотонные кристаллы других типов, в том числе двумерные и одномерные. Применяется несколько разных способов синтеза искусственных фотонных кристаллов, но наиболее простым и массовым является метод самосборки коллоидных частиц на вертикальной поверхности [1]. При этом стараются реализовать ситуацию, когда все коллоидные частицы имеют вид сфер одинакового радиуса и образуют плотно упакованную структуру.
При плотной упаковке одинаковых сфер на плоскости возникает треугольная (гексагональная) структура, в которой центры трех соседних сфер образуют равносторонний треугольник со стороной, равной диаметру сферы Б. Каждая сфера образует шесть таких треугольников со всеми своими соседями. При упаковке второго слоя сферы ложатся в центры треугольников, но за-
полняют только три из шести возможных позиций. Различия возникают при упаковке третьего слоя. В нем сферы могут занимать те же позиции, что и в первом слое. Такую структуру в литературе называют АВАВАВ. Она представляет собой гексагональную плотноупакованную решетку. В горизонтальной плоскости сферы заполняют ряды с периодом Б вдоль выбранного ряда и с периодом р = Б cos30o = 0.866Б перпендикулярно ряду, причем сферы в соседних рядах сдвинуты друг относительно друга на Б/2. Период по вертикали равен Н = Б(8/3)1/2.
В другом варианте упаковки сферы третьего слоя заполняют центры треугольников, которые оставались пустыми во втором слое. Таким образом, третий слой не эквивалентен первому. Эта структура получила название АВСАВС. Она представляет собой гранецентрированную кубическую решетку, в которой горизонтальная плоскость соответствует направлению 111.
Обе структуры практически одинаково плотные и обе реализуются в синтетических опалах, а часто и сосуществуют. К сожалению, метод самосборки коллоидных частиц практически всегда создает кристаллы с большим количеством дефектов случайного типа. Поэтому большое значение имеет развитие методов диагностики структуры фотонных кристаллов. С обзором существующих методик можно ознакомиться в [1].
Наиболее интересными являются методы, использующие рентгеновское излучение мощных синхротронных источников с высокой интенсив-
ностью в рентгеновском диапазоне. В частности, широко используется метод малоугловой рентгеновской дифракции, в котором экспериментально детектируют структуру дифракционных пятен от небольшого участка кристалла на большом расстоянии от него ([2—5] и ссылки в них). При этом структура дифракционных пятен позволяет выявить симметрию решетки и возможные дефекты, но никакой информации о самом процессе рассеяния излучения не дает.
Альтернативным является метод наблюдения прямого изображения фотонных кристаллов с разрешением, позволяющим видеть изображения отдельных периодов структуры локально в каждой точке [6, 7]. Это стало возможным благодаря методу HRXRM (high resolution x-ray microscopy) [7, 8], основанному на использовании составной рентгеновской преломляющей линзы (CRL) [9, 10]. С помощью CRL можно не только фиксировать увеличенное распределение интенсивности излучения сразу за кристаллом, но и получать дифракционную картину на коротком расстоянии, а именно, в фокальной плоскости линзы.
Развитие экспериментального метода HRXRM сделало актуальной задачу теоретического расчета распределения интенсивности излучения сразу за кристаллом, т.е. в ближнем поле. В литературе нет сообщений о результатах решения такой задачи. Стандартные методы рентгеновской дифракции в обычных кристаллах неприменимы, так как кристалл имеет очень большой период по сравнению с длиной волны излучения, и условие Брэгга выполняется для большого числа векторов обратной решетки, а рассеяние на одной сфере никак нельзя считать слабым.
Ситуация близка к электронной трансмиссионной микроскопии или эффекту каналирования быстрых частиц в кристалле [11]. С другой стороны, задачу можно решать методом, близким к применяемому при расчете рентгеновского фазового контраста [12]. Однако этот метод должен быть модифицирован, чтобы учесть сильное рассеяние излучения в объеме фотонного кристалла. Настоящая работа посвящена развитию метода расчета прохождения жесткого рентгеновского излучения через толстый фотонный кристалл.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РАСЧЕТА
Пучки синхротронного излучения от источников третьего поколения имеют очень малую угловую расходимость, которой можно пренебречь в задаче о прохождении пучка на малое расстояние порядка толщины объекта. При распространении параллельного пучка (плоской волны) через фотонный кристалл хороший контраст получается только при определенной ориентации кристалла. Этот факт легко понять из аналогии с эффектом каналирования. Ясно, что это должна быть ори-
ентация с малым периодом по направлению пучка.
Пусть на входную поверхность фотонного кристалла в форме пластины, которая перпендикулярна направлению пучка, совпадающего с осью г декартовой системы координат, падает когерентная монохроматическая волна рентгеновского излучения, амплитуда электрического поля в которой равна
Е(х, у, г) = А(х, у, г) ехр (¡кг), к = 2яД, (1)
где X - длина волны излучения. Если волна плоская, то амплитуда волны на входной поверхности (г = 0) постоянна, пусть А(х, у, 0) = 1. Задача — вычислить распределение амплитуды волны на выходной поверхности кристалла, т.е. после прохождения пучка излучения через кристалл.
Для жестких рентгеновских лучей с высокой точностью выполняется параксиальное приближение, поэтому вместо уравнения Максвелла для амплитуды электрического поля достаточно решить параксиальное уравнение для волновой функцииА(х, у, г) [13], которое запишем в виде
dA ., , \ л , i I d A , d A — = -1кцр(х, y, z)A + — I —T + —T
dz
d LA , d2A^
2k ^ dx dy
(2)
Для простоты предположим, что фотонный кристалл состоит из плотно упакованных сфер химически однородного материала, например 8Ю2. При этом комплексный параметр п = 8 — /р = 1 — п, где п — комплексный показатель преломления материала, т.е. с учетом поглощения. Функция р(х, у, г) равна единице в точках, где есть вещество, внутри сфер, и равна 0 в точках, где его нет.
Для произвольной функции р(х, у, г) задача оказывается очень сложной. Но для короткого периода кристалла по направлению пучка, в наиболее интересном случае, можно сделать дополнительное приближение. Будем считать, что на расстоянии, равном периоду к, изменение волновой функции пренебрежимо мало. Тогда (2) можно усреднить по периоду и заменить функцию ^ПР(х, у, г) на
к
а(х, у) = к^(х, у), $(х, у) = - [dz' р(х, у, г'). (3)
к 1
о
В таком приближении коэффициент в первом члене правой части (2) не зависит от г и от него можно избавиться подстановкой А = Вехр(—гаг). Вместо (2) получаем
dB dz
i
2k
d 2b + d^B4
dx2 dy1
+ O(z).
(4)
у
Второе слагаемое правой части уравнения не выписано в явном виде. Оно содержит все члены, получающиеся при дифференцировании ехр(—гаг)
по координатам х и у. При этом оно содержит члены, пропорциональные и г, и г2. Важно, что при малом значении г именно линейные по г члены существенны в первую очередь.
При решении уравнения начало координат на оси г можно выбирать произвольным образом. Каждый раз будем выбирать начало в такой точке г0, где уже известно значение В(х, у, г0), т.е. в (4) координату г надо понимать как расстояние от точки, в которой уже известно решение. Следующее приближение состоит в том, что при интегрировании на малое расстояние вдоль оси г можно пренебречь вторым членом в (4), потому что он приведет к изменениям второго порядка малости.
В таком приближении получаем параболическое уравнение для пустого пространства, решение которого хорошо известно [13]. Его можно записать в виде свертки по координатам х и у известного решения В(х, у, 0) с пропагатором Кирхгофа Р2(х, у, г) = Р(х, г)Р(у, г), где
Р(х'г)=¿т""31' "и
(5)
Для исходной волновой функции А(х, у, г) уравнение имеет вид
А(х, у, I) = ехр (-¡а(х, у)г) х х ^йх'йу'Р2(х - х', У - У', ¿)А(х\ у', 0).
(6)
Физический смысл полученного решения можно сформулировать следующим образом. Пусть известно решение (2) в плоскости (х, у) внутри объекта в какой-то точке г0 на оптической оси. Выбирая начало координат в этой точке, можно получить решение на некотором небольшом расстоянии от нее, т.е. в точке г0 + г,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.