ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 97, № 1, с. 108-115
ФИЗИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА
УДК 535.361.22,51-73:535
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОГЕРЕНТНЫХ ЭФФЕКТОВ В УСЛОВИЯХ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ
© 2004 г. В. Л. Кузьмин*, И. В. Меглинский**
*Санкт-Петербургский торгово-экономический институт, 194021 Санкт-Петербург, Россия **Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского,
410026 Саратов, Россия Cranfield University, School of Engineering, Cranfield, MK430AL, UK Поступила в редакцию 19.11.2003 г.
В рамках метода Монте-Карло рассчитаны временная корреляционная функция и интерференционная составляющая когерентного обратного рассеяния от многократно рассеивающей среды. Путем сопоставления стохастического метода Монте-Карло и итерационной процедуры решения уравнения Бете-Солпитера показано, что моделирование оптического пути пакетов фотонов, испытавших n актов рассеяния, в точности соответствует вычислению лестничной диаграммы n-го порядка. Используя это соответствие, метод Монте-Карло обобщили для моделирования временных корреляционных функций и когерентного обратного рассеяния.
1. ВВЕДЕНИЕ
Статистическое численное моделирование с использованием метода Монте-Карло (МК) широко применяется в исследованиях распространения оптического излучения в случайно-неоднородных мутных средах [1]. Методы МК, разработанные в рамках решения данных конкретных задач, ориентированы в основном на расчет интенсивности рассеянного излучения. В последнее время интенсивно исследуются эффекты, связанные с когерентностью лазерного излучения [2-9]. Когерентность является одним из важнейших параметров лазерного излучения и характеризует стабильность и качество его волнового фронта во времени и пространстве. Несмотря на сильное многократное рассеяние, типичное для большинства случайно-неоднородных сред, когерентные эффекты тем не менее заметно проявляют себя, например, в виде усиления обратного рассеяния, пространственно-временных флуктуаций интенсивности излучения и т.д. Численное моделирование подобных эффектов требует специального подхода.
Теория переноса излучения в случайно-неоднородных сильно рассеивающих средах, включая описание когерентных и интерференционных эффектов, успешно описывается в рамках уравнения переноса, или уравнения Бете-Солпитера [10]. В настоящей работе известный стохастический метод МК сопоставляется с теоретическим подходом, заключающимся в представлении решения уравнения Бете-Солпитера в виде ряда по кратностям рассеяния. При этом мы показываем, как обобщается данный метод в рамках единой
методики при переходе от численного расчета интенсивности к расчету временных корреляций интенсивности, обратного когерентного рассеяния и других когерентных эффектов. В работе рассмотрен наиболее распространенный в теоретических исследованиях случай рассеяния оптического излучения в среде, занимающей полупространство с плоской границей раздела. Для ясности изложения рассматривается нормальное падение излучения.
Статья построена следующим образом. Во втором разделе изложен метод МК в применении к расчету интенсивности многократно рассеянного излучения. В третьем разделе описана методика расчета временной корреляционной функции поля и интерференционной составляющей обратного рассеяния в рамках уравнения Бете-Солпитера. В четвертом разделе проведен сравнительный анализ метода МК и решения уравнения Бете-Солпитера. В пятом разделе приведены результаты моделирования временных корреляционных функций и пика когерентного обратного рассеяния. Заключение содержит обсуждение полученных результатов.
2. РАСЧЕТ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯННОГО ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
Численное моделирование распространения оптического излучения в случайно-неоднородной сильно рассеивающей свет среде методом МК реализуется поэтапно. Расстояние, которое пакет фотонов преодолевает между двумя последова-
тельными актами рассеяния, является случайной величиной, принимающей значения от нуля до бесконечности. При этом основное допущение метода состоит в постулировании закона распределения в виде [11]
f (5) = ц exp (-ps),
(1)
Ц = Ц s + Ца
(2)
% = J f( s') dS
(3)
Ц '
(4)
P(ki - ks) = o(q)/JdQsa( q),
(5)
гдеД.) - плотность вероятности того, что случайная величина 5 (длина свободного пробега) принимает значение в интервале [5, 5 + й.], ц = 1/1 - коэффициент экстинкции, I - длина экстинкции, или средняя длина свободного пробега пакета фотонов, I = 5. Таким образом, зависимость рассеяния от конкретных свойств среды (концентрации, размера рассеивателей, разности показателей преломления рассеивателей и среды) интегральным образом содержится в единственном параметре функции распределения - средней длине свободного пробега I.
Потери света обусловлены процессами упругих и неупругих столкновений фотонов с веществом:
Z
y X
где ц. = 1/1 ц - коэффициент упругого рассеяния, Ца = 1/1а - коэффициент собственного поглощения, I. и 1а - длины рассеяния и поглощения соответственно.
Из закона распределения (1) следует, что величина
представляет собой кумулятивную вероятность того, что длина свободного пробега больше заданного значения .. Вместе с тем выражение (3) позволяет найти обратную зависимость - выразить случайную величину . через вероятность Е. Вычисляя интеграл (3) при заданном распределении (1), получаем
Данная процедура является одним из ключевых элементов метода МК и состоит в выборе произвольного значения Е с помощью генератора случайных чисел в интервале [0, 1].
Изменение направления движения пакета фотонов при каждом акте упругого рассеяния определяется индикатрисой или фазовой функцией рассеяния
1S
Рис. 1. Траектория блужданий фотона в случайной полубесконечной среде: 5 - источник, й - детектор фотонов, . - длина пробега между (г - 1)- и г-м актами рассеяния.
деляет изменение волнового вектора, 6s - угол
рассеяния относительно направления k,, JdQs
обозначает интегрирование по всевозможным ориентациям волнового вектора ks, a(q) - дифференциальное сечение рассеяния под углом 6s,
_2
cos 6s = (kj, ks) ki . Соответственно доля рассеянного излучения в элементарном телесном угле dQ.s определяется как p(k, - ks)dQs.
Траектория блужданий пакета фотонов на пути от точки источника rS до детектора rD схематически представлена на рис. 1. Величина детектируемого сигнала определяется посредством набора статистики по траекториям как суммарный вес всех пакетов фотонов, дошедших до приемника. Проблемы, связанные с отражением на границе раздела среды и рассмотренные детально в [12], остаются за рамками данной статьи.
Далее сопоставим изложенную выше схему численного моделирования с теоретическим описанием распространения излучения в рамках уравнения Бете-Солпитера.
3. УРАВНЕНИЕ БЕТЕ-СОЛПИТЕРА
Перенос излучения в сильно неоднородной среде со случайными пространственно-временными флуктуациями диэлектрической проницаемости описывается интегральным уравнением Бете-Солпитера
Г(R2, Ri, t|ks, k) = кo4G(ks - k, t)8(R2- Ri) +
+ к
ÍJdR.3G(- ks + k23, t)Л(R23)Г(R3, Ri, t|k23, k).
(6)
где ki, ks - волновые векторы соответственно до и после рассеяния, |q| = |ki - ks| = 2кsin0s/2 опре-
Здесь Г(К2, R1, t|ks, k,) - функция Грина, или про-пагатор уравнения Бете-Солпитера, описывает распространение пары комплексно-сопряженных
r
D
s
полей, сдвинутых по времени на интервал г, из точки в точку К2, падающих в точку с волновым вектором ^ и выходящих из точки К2 с волновым вектором к,, к0 = 2п/X - волновое число, X - длина волны, к, = к = к = пк0, п = п1 + ¿п2 -показатель преломления среды, п1 и п2 - соответственно вещественная и мнимая части п, (2п2к0)-1 = I. Функция Л(Я) = К2ехр(-Я/1) представляет собой произведение комплексно-сопряженной пары функций Грина соответствующего волнового уравнения и описывает распространение излучения между двумя актами рассеяния. Величина
Э г) представляет собой фурье-образ парной корреляционной функции флуктуаций диэлектрической проницаемости 8е, на которых и происходит рассеяние,
Э(q, г) = -1—. Гйг<5е(0, 0)8е(г, г)> ехр(-г^г). (7) (4п) 2
При г = 0 величина Э (q, 0) с точностью до множителя совпадает с дифференциальным сечением однократного рассеяния.
Оптическая теорема связывает длину рассеяния и проинтегрированное по углам сечение однократного рассеяния. В борновском приближении ее формулировка имеет вид [13]
т, = ко4 Г Э (к,- - к,, о ^ (8)
Фазовая функция р(к, - к,) имеет вид
р(к,- - к,) = Э(к,- - к,, о)/|Э(к,- - к,, 0)йп,. (9)
По аналогии с (9) определим величину
Рг(к,- - к,) = Э(к,- - к,, г)/|Э(к,- - к,, 0)йП,. (10)
При г = 0 данная функция совпадает с фазовой функцией рассеяния:
Р0(к, - к,) = р(к - к,).
С учетом оптической теоремы и определения (10) представим уравнение Бете-Солпитера в виде
Г(к2, К1, г|к,, к,) = ц,Рг(к,- - к,)8(к2- К) + + Рг(к23 - к,)Л(^23)Г(Кэ, К1, г|кз1, к,-)йКэ.
(11)
Уравнение (6) записано в приближении слабого рассеяния (X < I), которое называют также лестничным приближением, поскольку формально оно возникает в результате суммирования ряда по кратностям рассеяния в виде суммы лестничных диаграмм. Основной вклад в рассеянное излучение дают лестничные диаграммы. Физически они описывают две последовательные цепочки процессов рассеяния, одинаковые для обоих полей Е(г, 0) и Е*(г, г). В силу тождественности этих двух последовательностей рассеяния фазовые соотношения между полями не изменяются и, таким образом, лестничные диаграммы описывают некогерентную составляющую. При углах рассеяния, близких к 180°, интерференционная составляющая, обусловленная циклическими, или веерными, диаграммами, становится сравнимой с основной, лестничной.
Для геометрии эксперимента, когда рассеянное излучение наблюдается на большом расстоянии от рассеивающей среды, временная корреляционная функция поля может быть представлена в виде суммы
■Л Ц
СЕ (г| к,, к,-) = С'( г| к,, к,-) + С'(г| к,, к,-), (12)
где С(Ц) и С(У) - некогерентная и интерференционная составляющие рассеянного излучения (в случае, когда направления к, и к, близки к нормальному).
Пусть рассеивающая среда занимает полупрос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.