научная статья по теме ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АКУСТИКО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СРЕДНЕЙ И ВЕРХНЕЙ АТМОСФЕРЕ Геофизика

Текст научной статьи на тему «ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АКУСТИКО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СРЕДНЕЙ И ВЕРХНЕЙ АТМОСФЕРЕ»

УДК 551.551;551.558;551.511.31;551.511.61

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АКУСТИКО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СРЕДНЕЙ И ВЕРХНЕЙ АТМОСФЕРЕ © 2014 г. Н. М. Гаврилов*, С. П. Кшевецкий**

*Санкт-Петербургский государственный университет 198504 Санкт-Петербург, Петергоф, ул. Ульяновская, 1 E-mail: gavrilov@pobox.spbu.ru **Балтийский федеральный университет им. Иммануила Канта 236041 Калининград, ул. А. Невского, 14 Поступила в редакцию 11.09.2012 г.

Кратко описан численный алгоритм для моделирования вертикального распространения и разрушения нелинейных акустико-гравитационных волн (АГВ) от земной поверхности до верхних слоев атмосферы. Монохроматические вариации вертикальной скорости на поверхности земли используются в качестве источника АГВ в модели. Используемый алгоритм решения гидродинамических уравнений основан на трехмерных конечно-разностных аналогах основных законов сохранения. Такой подход позволяет отбирать физически правильные обобщенные волновые решения гидродинамических уравнений. Численное моделирование проводится в области высот от поверхности земли до 500 км. Вертикальные профили фоновых температуры, плотности, коэффициентов молекулярной вязкости и теплопроводности задаются по моделям стандартной атмосферы. Расчеты выполнены для различных амплитуд волнового источника на нижней границе. Амплитуды АГВ увеличиваются с высотой, и волны могут разрушаться в средней и верхней атмосфере.

Ключевые слова: средняя атмосфера, акустико-гравитационные волны, турбулентность, нелинейные взаимодействия, численное моделирование, конечно-разностный метод.

Б01: 10.7868/80002351513050040

1. ВВЕДЕНИЕ

Акустико-гравитационные волны (АГВ), часто наблюдаемые в верхних слоях атмосферы, могут генерироваться на высотах тропосферы [1]. При распространении вверх АГВ могут терять устойчивость, порождая мезомасштабные возмущения и турбулентность в средних и верхних слоях атмосферы. Некоторые источники АГВ могут быть связаны с мезомасштабной конвекцией и турбулентностью в тропосфере [1, 2]. Эти источники могут быть наиболее активны на высотах тропосферных струйных течений 9—12 км [3, 4].

В [5] численно моделировалось распространение и разрушение нелинейных АГВ в атмосфере Венеры. Авторы моделировали распространения волн в прямоугольной области атмосферы с горизонтальными и вертикальными размерами 120 и 48 км соответственно. Другие авторы [6—9] моделировали разрушение атмосферных внутренних волн и неустойчивость Кельвина—Гельмгольца. Их модели трехмерны, а распространение и разрушение волн моделировалось в прямоугольных

областях с ограниченными размерами по горизонтали и вертикали. Решения гидродинамических уравнений авторы [6—9] искали в виде разложений типа Галеркина и использовали модификации спектрального метода для того, чтобы превратить гидродинамические уравнения в частных производных в обыкновенные дифференциальные уравнения по времени для коэффициентов спектральных разложений.

В настоящем исследовании для решения атмосферных гидродинамических уравнений мы разработали трехмерный численный метод, аналогичный описанному в [10] двумерному алгоритму, использующему конечно-разностные аналоги законов сохранения основных уравнений энергии, массы и импульса. Такой подход обеспечивает консервативность численного метода и позволяет рассматривать негладкие решения нелинейных динамических уравнений. Это позволяет нам выбирать физически правильные обобщенные решения уравнений [11, 12].

В данной статье кратко описан разработанный трехмерный алгоритм численного моделирования нелинейных АГВ в атмосфере. Для иллюстрации работы алгоритма выполнены расчеты волн, генерируемых монохроматическими волновыми вариациями вертикальной скорости на нижней границе. Можно ожидать, что если амплитуда источника достаточно мала, решение должно соответствовать линейной теории АГВ. Таким образом, вблизи источника волны могут оставаться гармоническими. Но с увеличением амплитуды с высотой влияние нелинейности гидродинамических уравнений может стать значительным на больших высотах. В данной статье иллюстрируется такая зависимость нелинейных эффектов в средних и верхних слоях атмосферы от амплитуды волны при фиксированной горизонтальной фазовой скорости.

2. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Наша трехмерная численная модель нелинейных АГВ в плоской атмосфере вычисляет горизонтальные и, V и вертикальную w компоненты скорости вдоль горизонтальных осей х и у, направленных на восток и север и вдоль вертикальной оси г соответственно. Система решаемых трехмерных нелинейных уравнений гидродинамической модели включает в себя:

а) уравнение неразрывности

дрдг + д(р V а)! дха = 0,

(1)

где , —время, р — плотность, va — компоненты скорости вдоль координатных осей ха, по повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование;

б) уравнения движения

+ = _др +рх ^,

д1 дха дх1 дха (2)

I, а = 1, 2, 3

где р — давление, g — гравитационное ускорение, X — плотность массовых сил вдоль 1-й оси, ст(а — тензор вязких напряжений;

в) уравнение состояния идеального газа

р = рят, (3)

где Т — температура, Я — газовая постоянная для воздуха;

г) уравнение сохранения энергии в форме уравнения притока тепла

йТ dp , йО

рСр-= + ^,

где d/dt = д/д, +vaд/дха, dQ/dt — скорость притока тепла в расчете на единицу объема. Используя (3) и (1) можно переписать (4) в виде

— = -урй/уг + (у - 1)—,

(5)

где у = cp/cv — показатель адиабаты. Скорость притока тепла dQ/dt содержит скорости диссипации энергии движений за счет молекулярной вязкости sd и теплопроводности е,:

= р(еt + ей + е); рей = тт

ох.

а; ре( ,(6)

в

дх„

где дта — молекулярный поток тепла, е — удельный приток тепла, отличный от молекулярной вязкости и теплопроводности. Уравнения движения (2) и уравнения притока тепла (5), (6) содержат тензор вязких напряжений <5у, а также молекулярный поток тепла После численного интегрирования уравнений (1)—(5), вычисляются динамические отклонения от стационарных фоновых значений Т0, р0 и р0:

Т = Т - То, р' = р - ро, р = р - Ро- (7)

Если амплитуды волновых вариаций температуры |Т'| <§ Т0, то можно пренебречь волновыми компонентами коэффициентов молекулярной вязкости и теплопроводности. Тогда для вычисления <5у и можно использовать стандартные формулы

Зу- ду , дТ

+~дх ; ^ =-СрКо& ' (8)

Для расчета коэффициентов молекулярной вязкости и теплопроводности при умеренных температурах, характерных для средней атмосферы и нижней термосферы, можно использовать формулу Сезерленда [13 ]

И о

1.46х1о

УТо ();

(9)

ко _ „ ; Ргш _

Рг

(4)

(1 + 11 о/То) Ш х я)

_ 4у 9у - 5,

где Ргт — число Прандля для молекулярной диффузии тепла. На высотах более 100 км появляется зависимость коэффициентов молекулярной вязкости и теплопроводности от состава и среднего молекулярного веса атмосферы. Здесь могут быть использованы параметризации различной сложности, описанные в литературе (см. [14]). На диссипацию энергии атмосферных движений влияют также нерегулярные турбулентные возмущения [15]. Эволюция таких возмущений, имеющих размеры больше пространственных шагов сетки, описывается самой рассматриваемой нелинейной моделью. Влияние турбулентности подсеточ-

ных масштабов в первом приближении можно учесть, заменив в (7) и к0 соответственно на

И, = И0 + Р0К; к, = к0 +Р0К,; К, = К/Рг,, (10)

где К и К — кинематические коэффициенты турбулентной вязкости и теплопроводности соответственно, Рг( — турбулентное число Прандтля.

Верхние граничные условия на высоте Н = 500 км задаются в виде

дТ &) г=

= 0,

£=Н

ди

дг ), =

= 0,

£=Н

а. „=«-=

(11)

Нижние граничные условия на поверхности Земли имеют следующий вид:

(Т•)г=0 = а (и)г=0 = а (V)г=0 = (12)

Источником волн в рассматриваемой модели могут быть вариации вертикальной скорости на нижней границе. В настоящем исследовании они заданы в форме плоской волны

=0 = Ж0 ео8(а, - кх - 1у),

(13)

где Щ0 — амплитуда, а — частота, к и I — волновые числа вдоль горизонтальных осей х и у соответственно. Такие плоские волны могут представлять спектральные составляющие тропосферных конвективных, турбулентных и орографических источников АГВ, действие которых может быть описано вариациями эффективных вертикальных скоростей [16, 17]. Вдоль горизонтальных осей х и у предполагается периодичность волновых полей:

Дх, у, г, 0 = /(х + Ьх, у + Ьу, г,0, (14)

где / обозначает любую из рассчитываемых гидродинамических переменных, Ьх = шкх и Ьу = пку — горизонтальные размеры области интегрирования, т и п — целые числа, Хх = 2п/к и Ху = 2п/1 — длины волн вдоль осей х и у соответственно.

В нелинейной модели несогласованность начальных условий может привести к генерации мощного акустического импульса, который может превратиться в ударную волну и создать значительные вычислительные трудности. Для исключения такого эффекта на первых шагах интегрирования по времени решается система линеаризованных уравнений и полученное волновое поле используется как начальное условие для решения нелинейных уравнений.

Численная схема, используемая в нашей модели, аналогична двумерной схеме, описанной в [10]. Это модификация известной двухшаговой конечно-разностной схемы Лакса—Вендрофа [18]. Наша схема реализует основные гидродинамические законы сохранения плотности, импуль-

са и энергии. Основная разница между нашей схемой и классической схемой Лакса—Вендрофа [18] заключается в использовании неявной аппроксимации гидродинамических переменных на первом полушаге по времени [10]. Было показано, что для конечно-разностных схем такой структуры ошибки, создаваемые акустическими волнами, не накапливаются с течением времени [19—21]. Другой особенностью нашей численной схемы является использование расшатанных "шахматных" сеток по пространственным координатам, когда различные гидродинамические переменные задаются на на различных подсетках, сдвинутых вдоль координатных осей [22].

В данной работе моделирование осуществляется для вертикальных фоновых профилей Т0, р0 и р0, взятых из стандартной модели атмосферы MSISE-90 для января [23]. Расчеты АГВ выполнены для различных параметров волнового

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком