ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 3, с. 469-487
удк 519.634
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ПРИТЯГИВАЮЩЕМ СФЕРИЧЕСКОМ ПОЯСЕ1)
© 2015 г. В. В. Остапенко*, **, А. В. Спешилова*, А. А. Черевко*, **, А. П. Чупахин*, **
(*630090Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 15, Ин-т гидродинамики СО РАН; **630090Новосибирск, ул. Пирогова, 2, НГУ) e-mail: ostapenko_vv@ngs.ru; ivanovaannav@gmail.com; cherevko@hydro.nsc.ru; chupakhin@hydro.nsc.ru
Поступила в редакцию 24.09.2013 г. Переработанный вариант 09.10.2014 г.
Численно решается задача о распаде разрыва для модели мелкой воды на вращающемся притягивающем сферическом поясе. Построена разностная схема сквозного счета, аппроксимирующая систему законов сохранения, описывающую разрывные решения данной модели. Сформулирована задача о распаде разрыва как развитие волнового процесса из начальных данных, представляющих собой покрытие сферического пояса различными состояниями равновесия и зональными течениями. Проведено численное моделирование двух задач о распаде разрыва: обрушение водяных "хребтов" различной геометрии на состоянии равновесия, распространение возмущений контактного разрыва между состоянием равновесия и зональным течением. Демонстрируются общие свойства таких решений, не зависящих от геометрической конфигурации областей, занятых в начальных данных элементарными решениями. Библ. 36. Фиг. 10.
Ключевые слова: законы сохранения для уравнений мелкой воды на вращающемся притягивающем сферическом поясе, задача о распаде разрыва, состояние равновесия, зональные течения, разностная схема сквозного счета, распад хребтов в виде шевронов и эллипсоидальных колец.
Б01: 10.7868/80044466915030138
ВВЕДЕНИЕ
Под идеализированной гидродинамикой атмосферы будем понимать движение несжимаемой среды (жидкости) на поверхности сферы, вращающейся с постоянной угловой скоростью в поле силы тяжести с постоянным ускорением, направленным к центру сферы. Различным аспектам гидродинамики атмосферы посвящена обширная литература; не претендуя на полный обзор, упомянем [1]—[11]. Для математического описания гидродинамики атмосферы широко применяются различные варианты модели мелкой воды, представляющие собой гиперболические системы квазилинейных дифференциальных уравнений, заданные на компактном многообразии — поверхности вращающейся притягивающей сферы. Важность изучения решений гиперболических уравнений на компактных многообразиях отмечалась в [12], [13]. Одна из наиболее распространенных моделей такого вида (см. [6], [10]) получается интегрированием уравнений Эйлера по глубине. Вращение планеты в ней учитывается введением в уравнения движения горизонтальной, т.е. касательной к поверхности сферы, компоненты силы Кориолиса (влияние центробежной силы не учитывается).
В [14] уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере выведены в рамках длинноволнового приближения из задачи со свободной границей для уравнений Эйлера подобно плановой модели мелкой воды (см. [15], [16]). Показано, что в безразмерных переменных горизонтальные составляющие силы Кориолиса и центробежной силы имеют одинаковый порядок малости относительно параметра длинноволнового приближения. Поэтому в [17] построение непрерывных стационарных решений проводилось с учетом обеих этих сил, что, в частности, позволило получить несферические формы положения равновесия жидкости.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00026), Интеграционного проекта СО РАН № 44 и программы ОЭММПУ № 2.13.4.
Различные варианты гиперболических моделей мелкой воды на сфере и их численная реализация рассматриваются в [18]—[23]. Исследованию модели мелкой воды, учитывающей нелинейно-дисперсионные эффекты, посвящена работа [24]. Несмотря на большое число публикаций по этой тематике, математические модели, описывающие гидродинамику атмосферы, изучены недостаточно. Структура получаемых решений, особенности типа фронтов в атмосферных движениях (см. [1]) требуют более детального исследования. Приложения таких моделей весьма разнообразны.
В настоящей работе изучаются уравнения мелкой воды на вращающемся притягивающем сферическом поясе с "выколотыми полюсами". В этих уравнениях учтены горизонтальные составляющие силы Кориолиса и центробежной силы (см. [14], [17], [25]). Получаемая таким образом базисная система дифференциальных законов сохранения используется для численного моделирования нестационарных разрывных решений. Сформулирована задача о распаде разрыва на сферическом поясе. Детально изучаются задачи о волновых течениях, возникающих в результате распада разрывов начального уровня жидкости в форме "хребтов", и об устойчивости относительно возмущения границы зонального течения на фоне равновесного состояния.
1. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ И ПОЛНОГО ИМПУЛЬСА
Рассмотрим движения идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности р и глубины h на поверхности сферы радиуса r, причем h ^ r. На жидкость действует сила тяжести, создающая ускорение g, направленное к центру сферы. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью w. В рамках длинноволнового приближения (см. [14]) ускорение g = const, давление в жидкости на глубине 2, определяется по гидростатическому закону
p = pg^ (1.1) и осредненная по глубине h скорость жидкости v лежит в плоскости, касательной к сфере.
Дифференциальные уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере с учетом силы Кориолиса и центробежной силы имеют вид (см. [14])
Du = V2ctg0 + r0V cos 0 +1 r02h sin 0 cos 0 - f0he,
4
DV = -u Vctg0 - r0ucos 0 - f0(sin 0)-1h(p, Dh + (sin 0)-1h(V(p + (u sin 0)0) = 0,
(1.2)
где D = д t + ид 0 + (sin 0) 1 Vd t — время, и, V — меридиональная и долготная компоненты вектора
скорости v, 0 < 9 < п — дополнение к широте, 0 < ф < 2п — долгота, r0 = R-1 — параметр, обратный к числу Россби R0 = V0/2rQ, Q — постоянная угловая скорость вращения сферы, направленная вдоль оси Oz, f0 = F— — параметр, обратный к квадрату числа Фруда F = V0/-\¡gH0, H0 — характерная глубина слоя по вертикали, и0, V0 — характерные широтная и долготная компоненты скорости.
От уравнений (1.2) можно перейти к системе, записанной в форме интегральных законов сохранения, которая часто используется в практических расчетах и теоретических исследованиях.
Рассмотрим на поверхности сферы односвязную область S с кусочно-гладкой границей dS (в точках излома границы ее компоненты пересекаются под ненулевым углом). В этой области интегральные законы сохранения массы жидкости и ее полного импульса имеют вид
,/• л
dt = 0,
jhds|t2 + j (Jqndl
S t1 V dS
hi 2 jqd|t2 + j (j(q(vn) + ^n)dl + JhFds
\dS
dt = 0,
(1.3)
(1.4)
где q = к\ — полный импульс, п — единичный вектор внешней нормали к границе , касательный к сфере, ds — элемент площади на сфере, й1 — дифференциал длины дуги, Г = Г + Г, где
(1.5)
(1.6)
= 2w х v,
есть сила Кориолиса,
Fc = w х (w х x) — центробежная сила, x — радиус-вектор.
Предполагая, что ось вращения проходит через центр сферы, рассмотрим декартову систему координат Oxyz, начало которой O лежит в центре сферы так, что ось Oz совпадает с осью вращения. В этой системе скользящий вектор w имеет координаты
w = (0,0, П), (1.7)
где Q — угловая скорость вращения. В сферических координатах (0, ф), связанных с декартовыми координатами (x,y, z) соотношениями
x = rsin0cosф, y = rsin0sinф, z = rcos0, (1.8)
законы сохранения (1.3) и (1.4) можно представить в следующей дифференциальной форме (см. [25]):
(rhsin 0) + (q sin 0)е + Q = 0, (1.9)
(rq sin 0), + 11 uq +
gh
2 Л
sin (
+ (Vq + gh- b)p + rhF sin 0 = 0,
где использованы обозначения
f =8/ (,,0,ф)
f =д/ ((,0,ф)
0 д0 ,
_ д/(,0,ф)
(1.10)
(1.11)
8t 50 дф
q = qa, Q = qb, и = va, V = vb,
a = a(0, ф) и b = b (0, ф) — единичные векторы, касательные соответственно к меридиану ф = const и параллели 0 = const, проходящим через точку s = s (0, ф) на сфере. Покомпонентная форма записи закона сохранения полного импульса имеет вид
2Л
(rqsin 0), + | I qu +
gh
sin (
+ (qV)p - I QV + gh-
2
cos0 = W(Whsin2 0cos0 + Qsin20), (1.12)
(rQ sin 0), + (Qu sin 0)0 +|QV +
gh
2\
+ qV cos 0 = -Wq sin 20,
(1.13)
где Ж = Ог. Дифференциальные уравнения (1.9), (1.12) и (1.13) образуют замкнутую систему для нахождения функций к, q и 0 на сферическом поясе с выколотыми полюсами.
Поскольку сила Кориолиса и центробежная сила представляют собой распределенные источ-никовые члены, не вносящие вклада в условия Гюгонио на сильном разрыве, система (1.9), (1.10), подобно классическим уравнениям мелкой воды (см. [26]), допускает разрывные решения с ударными волнами и контактными разрывами. Точные стационарные решения системы (1.9), (1.10), как непрерывные, так и разрывные, построены в [17].
2. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
В [17] найден и исследован класс стационарных решений системы (1.9), (1.10). Эти стационарные решения представляют собой состояния равновесия твердотельно вращающейся жидкости (и = V = 0), в которых глубина задается формулой (фиг. 1)
h(0) = y(h0, у, 0) = h0 + у sin2 0, (2.1)
где h0 — произвольная положительная величина, у = r02/8/0. Заметим, что используемая система координат является неинерциальной, так что данное состояние равновесия отвечает твердотельному вращению сферы, покрытой слоем жидкости.
Фиг. 1. Распределение глубины жидкости на сфере при состоянии равновесия.
Кроме данного состояния равновесия рассмотрим частные решения уравнений мелкой воды на сферическом поясе, не зависящие от угловой координаты ф. Такие решения были описаны в [14]. В этом случае система базисных законов сохранения массы и полного импульса примет вид
(q sin 0)0 = 0,
(qusin 0)0 + {gh- \ sin 0- QVcos 0 = h/jsin 0, (2.2)
h = 1
- 2 .o
(Qu sin 0)0 + qV cos 0 = -h/2sin 0,
где / = Wcos 0( Wcos 0 - 2V), /2 = 2Wи cos 0, 0 < 9 < п, — широта, и — меридиональная, V — долготная компоненты скорости, h > 0 — глубина слоя, W = Qr, Q — угловая скорость вращения сферы, r — радиус сферы.
Предположим сначала, что в стационарном решении системы (2.2) скорость и = 0. Приведем здесь эти решен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.