МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.3:534.112
© 2008 г. А.П. МАЛЫШЕВ
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
КОЛЕБАНИЙ НИТИ
Рассматриваются пространственные нелинейные колебания упругой нити при плоском гармоническом движении одного из его концов. Другой конец нити неподвижен. Для моделирования используется монотонная разностная ENO-схема второго порядка точности. Исследуются амплитудно-частотные характеристики, биения колебаний в вертикальной и горизонтальной плоскостях, форма нити и ее траектории. На основе анализа движения нити обсуждается возможность применения одномодового приближения для описания ее динамики.
1. Постановка задачи. Нелинейные колебания нити достаточно часто служили объектом исследований, в результате которых были выявлены многие закономерности ее движения. Вместе с тем полученные ранее результаты базируются, в основном, на од-номодовом приближении и получены асимптотическими методами [1-3]. В работе [4] использован метод продолжения решения по параметру в сочетании с процедурой Бубнова-Галеркина и получены результаты для трехмодового приближения. Однако некоторые выводы этой работы противоречат экспериментальным данным [2]. Кроме того, точки крепления нити как правило полагаются неподвижными, либо считаются, что они смещаются только в плоскости, перпендикулярной начальному направлению натянутой нити. В реальных условиях на прядильном и ткацком оборудовании, а также в различных тросовых системах, элементы которых часто можно рассматривать как гибкие нити, последние подвергаются не только поперечному, но и продольному динамическому воздействию. Желание снять указанные ограничения и получить более полное решение заставило вновь обратиться к данной проблеме.
Математическое моделирование движения нити путем прямого численного интегрирования исходных уравнений по времени позволяет воспроизвести всю картину ее колебаний. Уравнения движения нити, натянутой в исходном положении вдоль оси x, имеют вид:
f X u])' = mÜ i + ß и{
VX J (1.1)
,2 ,2 ,2 1/2 X = [(1 + u1) + (u2) + (u3) ] , U = uii, i = 1, 2, 3
Здесь штрих означает дифференцирование по s, а точка - по времени t; s - координата Лагранжа вдоль недеформированной оси; u¡ - смещения точки нити соответственно вдоль осей x, y, z неподвижной декартовой системы координат; T и m - сила натяжения и погонная масса нити; ß - коэффициент внешнего демпфирования. Природа демпфирования здесь не обсуждается. Для упругой нити
T = EFe, е = X -1 (1.2)
где EF - жесткость нити при растяжении.
В дальнейшем координату ^ и смещения щ будем относить к начальной длине нити 10, погонную массу и жесткость - к их характерным значениям т0 и (ЕР)0 соответственно. Остальные безразмерные параметры вводим согласно следующим зависимостям:
I * = СогПо, V] = и/Со, в* = с010в /(ЕБ) 0, с0 = (ЕГ)0/т0
При введении таких параметров уравнения (1.1), (1.2) сохраняют прежний вид. Для краткости звездочки далее опускаем.
Скорость поперечных волн в нити даже при очень сильном натяжении по крайней мере на порядок меньше, чем скорость продольных волн [5]. Поэтому примем, что напряженно-деформированное состояние, которое соответствует продольным возмущениям, устанавливается мгновенно по всей длине нити. Подобная постановка задачи позволяет существенно увеличить шаг численного расчета и время наблюдения за динамическими процессами при моделировании.
В уравнениях движения остаются только уравнения и скорости, соответствующие I = 2, 3. Для определенности примем, что I = 2 соответствует поперечному смещению нити в вертикальной плоскости, а I = 3 - движению в горизонтальной плоскости. В исходном положении начальная деформация нити е0 = и1. Конец нити ^ = 0 остается неподвижным, а другому концу сообщается заданное движение.
2. Метод решения. Для численного моделирования колебаний нити используется стандартная БМО-схема второго порядка точности [6]. Как показали контрольные расчеты, повышение порядка аппроксимации разностной схемы выше второго практически не влияет на результаты расчетов, но существенно увеличивает время вычислений. Поэтому при моделировании точность разностной схемы была ограничена вторым порядком.
Параметры распада разрывов определялись на основе линеаризованной системы уравнений
ти1 = в V, N - = 0 ' ' ' (2.1) N = gui, g = т, I = 2, з
Анализ погрешностей показывает, что эта линеаризация соответствует следующим допущениям:
Ы; V; ^ 1, (Ы; )2 ^ 1, Ы; < 1, V1 ы] ^ П\, [ = 2, 3
В случае постоянной скорости распространения возмущений необходимое условие устойчивости вычислительного процесса для подобных схем имеет вид q < 1, где q -число Куранта [6]. Однако в нашем случае, когда скорость распространения волн меняется и по времени, и по длине нити, устойчивость достигается при соблюдении условия q < 0.25. Расчеты проводились с фиксированным шагом по осевой координате и времени, а устойчивость обеспечивалась соответствующим запасом по величине q. Обычно начальное значение числа Куранта принималось в пределах 0.075-0.1.
При шаге по координате равном 0.001 разностная схема обеспечивала сходимость численного решения не менее, чем в трех значащих цифрах результата. Весьма низкий уровень сеточной вязкости разностной схемы позволил при таком шаге исследовать влияние внешнего демпфирования, уровень которого был всегда, по крайней мере, на порядок выше уровня сеточной вязкости.
Стационарный режим фиксировался после того как изменение параметров от цикла к циклу становилось меньше четвертой значащей цифры. Это требование большо-
2 Механика твердого тела, № 5
33
А, А3
/
в =0.1 = 0.1 / N у у
у у 0.3
\ / г
у / ✓ / г / ! * / У 0.5
0.8
1.0
1.2
Фиг. 1
го времени наблюдения, которое при низших рассмотренных уровнях демпфирования достигало t = 8000.
3. Обсуждение результатов. Сначала были построены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), в качестве которых рассматривались зависимости максимальных смещений средней точки нити от частоты гармонического кинематического возбуждения в вертикальной плоскости при и2(1, 1) = М2соз(ю0 ^ = 1. Начальная деформация е0 полагалась равной 0.005. Чтобы инициировать нелинейную связь между смещениями в вертикальной и горизонтальной плоскостях в момент времени t = 0, нити сообщалась начальная скорость П3(^, 0) = М3зт(л,у). В зависимости от характера этой связи на данной частоте начальное возмущение в горизонтальной плоскости либо затухает, либо с течением времени движение нити приобретает вид установившихся пространственных колебаний. Указанный прием применялся во всех расчетах. Здесь и далее ограничимся рассмотрением однородной нити. На иллюстрациях все смещения, в том числе и их амплитудные значения нормированы по величине М2, а частоты установившихся колебаний - по частоте основного тона собственных колебаний нити.
На фиг. 1 показаны АЧХ при разных уровнях демпфирования и Ик = Иь = 0.01. Штриховыми линиями показано изменение амплитуды поперечных колебаний в горизонтальной плоскости А3, сплошной линией - полной амплитуды пространственных
колебаний А = тах( и2 + щ )1/2. На низких частотах наблюдаются колебания только в вертикальной плоскости, а их амплитуда увеличивается с ростом частоты. Затем колебания становятся пространственными и амплитуда их продолжает нарастать. По достижении некоторой частоты, которую будем называть частотой среза, амплитуда колебаний резко падает и далее наблюдаются лишь малые колебания в вертикальной плоскости. Подобный вид АЧХ, характерный для квазилинейной системы с "жесткой" упругой характеристикой, соответствует полученным ранее экспериментальным данным [2]. Отметим, что этот результат не совпадает с выводами работы [4].
С увеличением демпфирования уменьшается полная амплитуда пространственных колебаний, а в еще большей степени - амплитуда колебаний в горизонтальной плос-
4
2
ю
Фиг. 2
Фиг. 3
кости. Одновременно снижается и частота среза. При высоком уровне демпфирования (в = 0.5) колебания в горизонтальной плоскости вообще исчезают и движение нити на всех частотах остается в вертикальной плоскости.
Несколько парадоксальным на первый взгляд оказывается влияние величины краевого кинематического возбуждения. С увеличением М2 максимальная амплитуда колебаний уменьшается. Соответствующие АЧХ для разных М2 показаны на фиг. 2. Этот эффект можно объяснить усилением влияния нелинейности при больших амплитудах. По той же причине увеличивается частота среза. Влияние на частоту, при которой колебания становятся пространственными, существенно слабее. Варьирование начального возмущения в горизонтальной плоскости показало, что увеличение М3 в пределах от 0.005 до 0.02 практически не влияет на вид АЧХ, только незначительно увеличивая частоту среза.
Эволюцию траектории средней точки нити с изменением частоты можно проследить по результатам, представленным на фиг. 3. Для краткости смещения этой точки в вертикальной плоскости обозначим w, а в горизонтальной плоскости - и. Эти сме-
2* 35
Фиг. 4
щения, как и все остальные, тоже нормированы по М2. При слабом демпфировании (в = 0.1) на частоте ю = 1.1, относительно далекой от частоты среза, форма траектории близка к параллелограмму со скругленными углами. Это свидетельствует о том, что средняя точка нити движется по траектории неравномерно, смещаясь практически попеременно то в вертикальной, то в горизонтальной плоскости. По мере роста частоты форма траектории приближается к эллиптической, а затем и к круговой. Оси эллипса медленно поворачиваются с изменением частоты возбуждения. При стационарных колебаниях на фиксированной частоте оси эллипса остаются неподвижными. В условиях более высокого демпфирования (в = 0.3) указанные особенности траектории, в том числе и поворот осей с изменением частоты, проявляются значительно сильнее.
При взаимодействии с рабочими органами в упругой системе заправки ткацкого станка и многих других приложениях нить подвергается нагружению не только в поперечном, но и в продольном направлении. Будем считать, что внешняя продольная нагрузка вызывает изменение осевой деформации по гармоническому закону е0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.