ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 1, с. 76-107
УДК 551.509.333:519.6
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ВАРИАЦИОННОГО УСВОЕНИЯ ОПЕРАТИВНЫХ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ О ТЕМПЕРАТУРЕ
ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА
© 2009 г. В. И. Агошков*, С. А. Лебедев**, Е. И. Пармузин*
*Институт вычислительной математики РАН 119991 Москва, ул. Губкина, 8 E-mail: agoshkov@inm.ras.ru **Геофизический центр РАН 119991 Москва, ул. Молодежная, 3 E-mail: lebedev@wdcb.ru Поступила в редакцию 28.07.2008 г., после доработки 19.08.2008 г.
Сформулирована и численно исследована задача вариационной ассимиляции данных спутников наблюдений о температуре поверхности океана с целью восстановления потоков тепла на поверхности с использованием разработанной в ИВМ РАН глобальной трехмерной модели гидротермодинамики океана и данных наблюдений, приближенных к реально наблюдаемым (по временный м интервалам). Разработаны и обоснованы алгоритмы численного решения задачи, создан блок ассимиляции данных, который был включен в глобальную трехмерную модель. Проведены численные эксперименты на примере акватории Индийского океана. В качестве данных наблюдений использовались данные о температуре поверхности океана за 2000 г. Численные эксперименты подтверждают полученные теоретические выводы и продемонстрировали целесообразность работы модели с блоком усвоения оперативных данных наблюдений о поверхностной температуре.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из методов изучения климата и климатических изменений является метод математического моделирования. Создание адекватной математической модели формирования, динамики и изменчивости природной геофизической среды - это важная и актуальная задача настоящего времени. В данном направлении науки в ИВМ РАН под руководством В.П. Дымникова создаются и совершенствуются различные модели, схемы параметризации, методы вычислений [1-3].
Многочисленные трудности при моделировании процессов климатической изменчивости и происходят из-за целого ряда причин. Одной из них является плохое знание или полное отсутствие данных, требуемых для задания начальных и граничных условий в уравнениях движения, а также ошибки при численном расчете, влияние подсеточных масштабов осреднения и многое другое. Поэтому дальнейшее усложнение уравнений, методов их численной реализации, быстродействия компьютеров и прочих технических деталей не обязательно будет приводить к существенному улучшению качества моделей и позволяет сделать следующее предположение: для того чтобы существенно улучшить наши знания о климатических и вообще геофизических процессах, необходимо "сочетать" математическое моделирование и реально наблюдаемые данные.
Задача сочетания модельных данных (т.е. результатов численных расчетов по математической модели) и данных наблюдений получила в литературе название "задача усвоения (ассимиляции) данных" или просто "задача усвоения (ассимиляции)" и представляет собой нетривиальную научную проблему.
В метеорологии и океанологии, климатологии и в других науках о Земле работы по усвоению появились во второй половине XX века. По-видимому, один из первых результатов здесь был получен А. Гандиным [4]. Им был предложен метод объективного анализа, основанный на оптимальной линейной интерполяции. Метод оказался весьма плодотворным и в настоящее время используется довольно часто (см., например, [5]).
При решении задач усвоения рассматриваются в основном две группы методов: вариационные и статистические. Идея первого подхода состоит в том, что для заданного оператора модели (заданной системы уравнений) ищется такое начальное или граничное условие, при котором траектория решения системы уравнений проходит "максимально близко" от наблюдаемых значений в заданной метрике. Задачи усвоения в вариационном подходе в конечном итоге сводятся к решению обратных задач (или задач управления) и минимизации заданных функционалов. Исследование и решение подобных проблем затрудняется сложностью математических моделей, границ областей (например, реальной конфигурацией океанов и морей), большим количеством узлов
дискретизации и большими объемами информации, необходимой для обеспечения рассматриваемых математических моделей данными. Все указанное требует решения целого комплекса вычислительных и информационных проблем.
Вариационный подход является одним из основных при усвоении данных эксперимента в геофизических моделях вследствие наглядности постановки задачи, ясности физической интерпретации результата и хорошо разработанной математической составляющей данного направления. Большой вклад внесли в разработку и применение данного метода отечественные ученые Г.И. Марчук и его ученики [6-12]. Среди зарубежных работ отметим работы И. Навона [13], Ж. Талаграна, Б. Ле Диме [14]. Обширный обзор полученных результатов содержится в книге С. Коэна [15]. Последние версии вариационного направления, известные как "3Б-уаг" и "4Б-уаг", используются в гидрометеослужбах Франции, Великобритании и во многих научно-исследовательских организациях и центрах прогноза погоды других стран ([34, 35]) и др.).
Другим, в некотором роде альтернативным, подходом к усвоению данных служит схема, основанная на теории статистического оценивания и фильтрации случайных процессов. Наибольшую известность получила схема, предложенная Р. Калманом [16]. Схема в дальнейшем была усовершенствована в ряде работ (см., например [17]).
Метод Калмана оказался весьма удобным для последовательного усвоения данных. Однако в отличие от вариационного метода, в методе Калмана оптимальное решение рассматривается как случайный процесс (поле). При применении "стандартного" фильтра Калмана можно встретить целый ряд трудностей, и строгая теория метода разработана только для случая линейного оператора. Однако современные геофизические модели динамики нелинейны, что делает затруднительным применение в полной мере теории фильтров Калмана. Существующее обобщение теории на нелинейный случай, так называемый "ансамблевый фильтр Калмана" [18], за исключением нескольких простых примеров требует больших вычислительных ресурсов.
В настоящей работе рассматривается задача четырехмерного вариационного усвоения данных спутниковых наблюдений температуры поверхности океана. На каждом шаге по времени производные по £ основной математической модели заменяются разностными аппроксимациями, а процесс ассимиляции осуществляется последовательно на всех подынтервалах по В этом случае процесс усвоения становится трехмерным, что позволяет существенно сократить объем усваиваемой информации и, следовательно, вычислительные затраты. С другой стороны, несмотря на такого рода упрощение, такая задача усвоения данных о температуре поверхности океана является актуальной и остается четырехмерной на всем расчетном промежутке.
В качестве тестовой области в данной работе при проведении численных экспериментов используется акватория Индийского океана, для которой была использована версия математической модели циркуляции океана, разработанная в ИВМ РАН [19-22].
В настоящей работе данные наблюдений сопровождались специальной "маской" - характеристической функцией, которая зависела от временной переменной t и носитель которой не совпадал со всей тестовой акваторией. Таким образом, данные наблюдений приближены к реально наблюдаемой температуре поверхности океана в данный момент времени (без дополнительной интерполяции на подобласти, где данные наблюдений отсутствовали в рассматриваемый момент времени).
Описание постановок задач, рассматриваемых ниже, и алгоритмы их решения даны в [8, 9, 23]. Поэтому они, так же как и используемые ниже обозначения, в настоящей работе приводятся в краткой форме.
1. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ
Введем основные обозначения и уравнения, которые используются в рассматриваемых задачах.
1.1. Рассмотрим сферическую систему координат (X, б, r), где X - географическая долгота, увеличивающаяся с запада на восток, б - географическая широта, растущая с юга на север (б = ф - п/2, ф е [0, п]), r - расстояние точки от центра Земли, средний радиус которой принимается равным R. Долгота X изменяется от 0 до 2п, широта б от -п/2 (Южный полюс) до п/2 (Северный полюс). Часто вместо r удобно вводить координату z = R - r оси Oz, направленной по нормали от поверхности сферы SR радиуса R к ее центру. Единичные векторы в X-, б- и z-направлени-ях обозначим соответственно через eX, ee, ez. Тогда вектор скорости в океане записывается в форме U = ueX + vee + wez = (u, w), или в координатной форме U = (u, v, w) = (u, w), где u = (u, v) - "горизонтальный вектор" скорости в координатной форме, а w - "вертикальная скорость".
Обозначим через Q часть поверхности сферы SR, которую будем называть также "поверхностью отсчета". Поверхность океана будем задавать уравнением z = ^(X, б, t) или /0(X, б, z, t) = ^(X, б, t) - z = 0, где (X, б, R) е Q, а t - временная переменная, t е [0, t] (t < га). Функцию рельефа дна определим как z = = H(X, б) или FH(X, б, z, t) = -H(X, б) + z = 0 при (X, б, R) е Q, где H(X, б) > 0. В дальнейшем мы будем использовать также следующие обозначения: X=x, б = = y, x = (x1, x2, с3) = (x, y, z), U = (u1, u2, u3) = (u, v, w) = = (u, w), u = (u1, u2) = (u, v), u3 = w. Элемент объема в области D(t): D(t) = {(x, y, z): (X, б, R) е Q, £,(X, б, t) < < z < H(X, б)}, t е [0, t] есть dD = (R - z)2cos ydxdydz, а элемент поверхности Q имеет вид dQ = R2cos ydxdy.
Одно из общих упрощений, принимаемых в описании крупномасштабной динамики океана, состоит в приближенной замене r=R - z на R, что базируется
на том факте, что глубина океана намного меньше радиуса Земли. В этом случае dD=R2cos ydxdydz. Однако, как будет видно из дальнейшего, мы будем пользоваться этим приближением для преобразования лишь некоторых уравнений и соотношений.
Введем следующие дифференциальные операции градиента, дивергенции и полной производной в сферической системе координат при r = r(z) = R - z = = R, n = 1/r, m = 1/(r cos y) (оставив за этими операциями известные обозначения из векторного анализа):
Grad9 = [ grad9,
Эф
'dz
DivU = divu +
1 д r2 w r2 dx
¿ф
dt
Эф Э t
+ (U, Уф),
grad Цm ^'n i
du д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.