ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2008, том 44, № 4, с. 543-552
УДК 551.466
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНО БЕГУЩИХ ВОЛН НА СВОБОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ ОДНОРОДНЫХ И ДВУХСЛОЙНЫХ ВОДОЕМОВ
© 2008 г. А. А. Бочаров*, Г. А. Хабахпашев*' **, О. Ю. Цвелодуб*' **
*Институт теплофизики им. С.С.Кутателадзе Сибирского отделения РАН 630090 Новосибирск, просп. Акад. Лаврентьева, 1
E-mail: theory@itp.nsc.ru **Новосибирский государственный университет 630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2 Поступила в редакцию 07.03.2007 г., после доработки 22.01.2008 г.
Работа посвящена построению некоторых численных решений предложенных ранее модельных уравнений для трехмерных возмущений малой, но конечной амплитуды в жидкостях постоянной глубины. Продемонстрированы формы прогрессивных установившихся волн (как периодических по двум горизонтальным координатам, так и уединенных). В однородной жидкости они зависят лишь от величин и направлений волновых векторов, а в водоемах с небольшим скачком плотности - еще и от соотношений глубин слоев.
Гравитационные волны в жидкостях служат одним из классических объектов физики океана. Эти вопросы привлекают внимание многих исследователей как ввиду их исключительной важности для технических приложений, так и благодаря их уникальности для изучения фундаментальных закономерностей развития нелинейных волновых структур. На свободных границах имеют место возмущения различных типов: стационарные или нестационарные, регулярные или нерегулярные в пространстве и т. д.
К настоящему времени с достаточной подробностью изучены линейные волновые движения идеальной жидкости. За последние сорок лет появилась обширная литература, посвященная динамике нелинейных возмущений в средах с дисперсией. Несмотря на интенсивность исследования эта проблема решена далеко не полностью. Так, при теоретическом моделировании волновых процессов в случаях, когда характерный горизонтальный размер плоских слабонелинейных возмущений мал или велик по сравнению с глубиной жидкости, выведены и рассмотрены эволюционные уравнения типа уравнения Кортевега - де Вриза, Шредингера, Бенджамина - Оно, Джозефа и им подобные. Но области их применения недостаточно широки: небольшими являются диапазоны длин волн, в которых они могут быть использованы.
В связи с этим одной из актуальнейших задач океанологии, с практической точки зрения, стало совместное описание эволюции длинных и коротких трехмерных возмущений, бегущих по свободным границам. Численные решения исходных систем уравнений гидродинамики достаточно сложны
и трудны для анализа. Это относится и к предложенным в последнее десятилетие так называемым Буссинесковским моделям, основанным на Паде-аппроксимациях (по волновым числам) точного дисперсионного соотношения для волн на поверхности однородной жидкости (статьи [1-5] и др.). Авторы этих работ считают, что они довели свои очень громоздкие системы уравнений не только до учета полной нелинейности, но и до полной дисперсии [4, 5]. Однако на самом деле даже при использовании дробно-рациональных аппроксимаций высоких порядков эти модели имеют ограничение по волновому числу и не могут дать правильной асимптотики в диапазоне коротких волн:
ю2 = 1 + к2 Н2/9 + к4 Н4/945 ghk2 1+4 к2 Н2/9 + к4 Н4/63"
Здесь ю - циклическая частота, g - ускорение свободного падения, Н - невозмущенная глубина жидкости, к - волновое число. А хорошо известно (например, [6]), что при численных расчетах различные эффекты перехода к конечным разностям и округления вводят малые высокочастотные осцилляции даже в том случае, когда изучаемая аналитическая задача удовлетворяет условию длинновол-новости. Лишь в статье [7] коротковолновая асимптотика близка к точной, но степени полиномов увеличены (в числителе до пятой, а в знаменателе до шестой). В результате с помощью упомянутых Буссинесковских моделей пока не найдено трехмерных решений.
Примерно в это же время в работе [8] была использована частотная Паде-аппроксимация точного дисперсионного соотношения:
ю
ghk2 1 + ю2 А
ризонтальным дном, получаем уравнение в частных производных:
О2п - hАDV[(g + О2Ав04п =
где Аю = 1 + аю*, ю* = ю2^^, а а = 0 или 2/3 для моделей первого и второго порядка точности соответственно. С ее помощью было получено одно модельное дифференциальное уравнение, способное правильно описать распространение как длинных, так и коротких слабонелинейных квазистационарных возмущений свободной поверхности однородной жидкости, находящейся над пологим недефор-мируемым дном. Что касается внутренних волн малой, но конечной амплитуды в океане со скачком плотности, то аналогичная модель построена в статье [9].
Целью данной работы является численное нахождение наиболее интересных стационарно бегущих решений нелинейных пространственных уравнений, предложенных в [8, 9], и обсуждение их особенностей. Следует подчеркнуть, что эти модельные уравнения пригодны при произвольных соотношениях глубин слоев и характерного продольного размера возмущения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предполагается, что жидкости являются идеальными несжимаемыми и несмешивающимися, стационарные составляющие их движения равны нулю, возникающие осциллирующие течения потенциальны, а волны характеризуются слабой нелинейностью (т. е. пак/Л(Ш) ~ £, где па - амплитуда возмущения уровня жидкости, £ - малый параметр). Кроме того, не учитываются вращение Земли и капиллярные эффекты.
Использование Паде-аппроксимации точного дисперсионного соотношения и приближения квазистационарности возмущения (т.е. допущения о том, что в системе отсчета, движущейся вместе с волной, форма возмущения меняется медленно) позволило свести исходную систему уравнений неразрывности и движения в однородном слое к дифференциальному эволюционному уравнению [8]. Для установившихся волн, которые бегут по свободной поверхности жидкости с неподвижным го-
(1)
1 2 и . 2
= 11° +т ^ > -
-1 А°[°у - (О2 - и2У2)(пО2п)] + g
+ \ А° (6 °2+ и V)[(О2п)2 ], 2 /
где А° = 1 - аD2h/g, О = и ■ V, и - вектор характерной скорости распространения волны, а оператор градиента V определен в горизонтальной плоскости.
Аналогичным образом эволюционное уравнение для трехмерных возмущений границы раздела двух слоев произвольной глубины было выведено в [9]. Для стационарных волн, которые бегут по внутренней границе жидкости (также с неподвижным горизонтальным дном), имеем похожее дифференциальное уравнение:
О2с - Р*^А°+О2ОУа -^АоО4С =
н
К/
н
\
* *
р*gн
О!+и Ао А2--^ '
2 ) Р*gH
Р*
h*
х А°[О4- (О2 - и"V2)(£О2С)] +
2
Р*g н
т2гт2ч
2 ^ ]%2- а° (6 °2 + и2 V2)[( о2 о2 ].
)2 г
22
х (2)
Здесь £ - возмущение границы раздела слоев, р* =
= 1 - р*, р* = р1/р2, р - плотность жидкости, Н = = h1 + Ь* = индексами 1 и 2 помечены величины, относящиеся к верхнему и нижнему слоям соответственно.
Наконец, в [9] для случая, когда не только относительное изменение плотности мало (р* <§ 1), но
и длина волны велика по сравнению с глубиной
верхнего слоя (кк1 ~ */£), выведено простое дифференциальное уравнение, которое позволяет определить возмущение свободной поверхности, вызванное внутренней волной:
ghlV2 п = - -
КН 4 329
—- о4^ -2;- °2 (С2). (3)
6р*g
В статьях [8, 9] для уравнений (1)-(3) с помощью аналитических методов были приближенно найдены плоские установившиеся бегущие периодические и уединенные возмущения. Что касается пространственных волн, то поиск таких решений чрезвычайно затруднен.
2. ЧИСЛЕННЫМ МЕТОД РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Периодические решения уравнения (1) искались численно с помощью метода работ [10, 11]. Для этого возмущение п(х, у) представлялось в виде двойного пространственного ряда Фурье:
П(*> У) = УЛи, m exp(inkxx + imkyy),
(4)
где Пи, т - комплексные Фурье-амплитуды. Если искать решения, удовлетворяющие условиям симметрии функции п по обеим координатам и ее вещественности, то амплитуды пи, т должны удовлетворять следующим требованиям:
Л-и, m Ли, m, Ли, -m Ли, m,
Ли, m Ли
(5)
Здесь черта означает операцию комплексного сопряжения, т.е., действительно, амплитуды гармоник пи, т - вещественные.
Если оставить в ряде (4) гармоники с индексами суммирования \п\ < N |т| < М и подставить его в уравнение (1), то получим конечную систему нелинейных уравнений. В случае, когда вектор характерной скорости распространения волн и параллелен оси х, имеем систему
N М
Лп, тЛп, т ^ ^ ^пт, П1 т1 Лп^ т1 Ли - П1, т - т^
П1= И т1= т1 222 22 22 Н 444
Ли,т = и и кх - ghAп(и кх + т ку) + -Апи и кх,
g
&пт,п1 т1 = Ни2п кХ + 2НАпи2(п к1 + т2к2)-
7 ч тт2, \2,2, ,2 ,2ч
(6)
- НАпи (п - п1) кх(пп1 кх + тт1ку) +
1 ч тА/ 4,4 2 2, 2, 2, Н . .,6
+ -Апи (п кх + т и1 кхку)--2Апи х
g У 2g
х (7п2к\ + т2к2)(п - и!)2п2к4,
где п = 0, ..., И, п' = п - И, т = 0, ..., М, т' = т - М и
Аи = 1 - аи2п2к2хН^. Выбираем простое условие нормировки искомых решений:
Поо = 0. (7)
Таким образом, полное число действительных и мнимых компонент амплитуд пит с учетом условий (5), (7) составляют (И + 1)(М + 1) - 1 неизвестных. Именно столько вещественных алгебраических уравнений получается из системы (6) после ее разделения на действительные и мнимые части. Это значит, что задав равновесную глубину слоя Н, характерную скорость распространения возмущения и, волновые числа кх и ку, мы можем разрешить эту систему, т. е. найти функцию п(х, у), определяемую конечной суммой (4).
Система нелинейных уравнений (6) решалась обобщенным методом Ньютона. Для данной си-
стемы, условно обозначенной набором уравнений f (zi, Z2, ..., zL) = 0 для i = 1, 2, ..., L, где zi, Z2, • • •, Zl -набор неизвестных, находились алгебраические выражения для производных aij = df /dzj для i, j = = 1, 2, ..., L. После вычисления по этим формулам матрицы ||ау|| определялись поправки к набору
zu Z2, zl- zi —- zi + Azi. Здесь Azi = - Xk" = i(a-) if для i = 1, 2, ..., L, где (arl)ik - компоненты матрицы, обратной к матрице ||aij||.
Процесс итераций продолжался до тех пор, пока не выполнялось условие на малость вычисленных
поправок (XL=1 |Az\)/max|z\ ^ 10-6. В проведенных расчетах необходим
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.