КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2011, том 49, № 5, с. 436-452
УДК 629.19
ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В НЬЮТОНОВСКОМ ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ПО МНОГОВИТКОВЫМ ТРАЕКТОРИЯМ,
БЛИЗКИМ К ОПТИМАЛЬНЫМ
© 2011 г. Б. Н. Кифоренко1, И. Ю. Васильев2
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев kifor@univ.kiev.ua
2Киевский Национальный университет им.Тараса Шевченко, Украина
igor_v@univ. kiev.ua Поступила в редакцию 03.06.2008 г.
Статья посвящена актуальной теме оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов КА с малой тягой. Излагается разработанный оригинальный подход к решению этой задачи.
Начало практического использования электрических ракетных двигателей в качестве маршевых при выполнении маневров КА в околоземном пространстве ставит проблему определения оптимального управления и вычисления оптимальных переходных траекторий в разряд первоочередных [1—6]. Основная трудность решения указанных задач состоит в том, что уровень реактивного ускорения, развиваемого этими двигателями, на три—четыре порядка ниже уровня гравитационного ускорения на низких геоцентрических орбитах. Поэтому межорбитальные переходы, представляющие практический интерес, могут включать сотни и тысячи витков вокруг притягивающего центра. Двухточечные краевые задачи, к которым сводится рассматриваемая задача при использовании принципа максимума Понтрягина, приходится решать численно даже при использовании простейшей модели ньютоновского центрального гравитационного поля. При этом применение методов подбора недостающих начальных условий для сопряженной системы путем использования производных терминального функционала и/или невязки выполнения условий на правом конце траектории по управлению и/или сопряженным переменным в начале движения сопряжено с серьезными затруднениями, что приводит к медленной сходимости традиционных методов оптимизации, а чаще всего — к невозможности их использования [7—9]. Возможность решения задачи в значительной мере определяются наличием удовлетворительного начального приближения.
Определенные надежды на построение такого начального приближения связаны с использованием метода усреднения [10]. Вначале достаточно эффективно строить усредненные решения в первом приближении удалось для двигателей с не-
ограниченной по величине тягой [11—14]. В дальнейшем был предложен способ усреднения уравнений оптимального движения для более интересных с практической точки зрения двигателей с постоянной по величине тягой [15]. Однако подход, предложенный в этой работе и используемый до настоящего времени [4, 16], не позволяет проводить качественное исследование усредненных уравнений оптимального движения, поскольку правые части этих уравнений содержат квадратуры, которые не удается вычислить в элементарных функциях.
Успешность решения краевой задачи для усредненной таким образом системы уравнений по-прежнему определяется качеством начального приближения [8, 16], либо требует специальных приемов, например, применения метода продолжения по параметру [4]. Предложенный же в работах [17—19] и подробно проанализированный в обзоре [20] прием позволил не только вычислить требуемые квадратуры в элементарных функциях, но и получить неизвестный ранее первый интеграл усредненных уравнений. Это дало возможность построить аналитические частные решения усредненных уравнений для маневров, представляющих непосредственный практический интерес. Речь идет о маневрах, при выполнении которых изменяются большая полуось, эксцентриситет и один из углов: аргумент перицентра, угол наклонения орбиты, или долгота восходящего узла, в то время как два остальных угла сохраняют свои начальные значения [21]. Анализ усредненных уравнений, описывающих движение КА с двигателями регулируемой и постоянной тяги, позволил преобразовать эти уравнения к единой форме, сравнить эффективность этих типов двигателей и подтвердить незначительный уровень
потерь при переходе от регулируемых к более простым нерегулируемым двигателям для перспективных космических буксиров [22—24].
Успешное решение задачи определения усредненных траекторий межорбитальных переходов в центральном гравитационном поле дает основание приступить к поискам подхода к решению исходной задачи численного интегрирования не-усредненных уравнений движения. В данной работе предложен способ построения такого решения.
Вначале приведены примеры, иллюстрирующие проблематичность непосредственного численного решения двухточечной краевой задачи, к которой сводится исходная задача при использовании принципа максимума Л.С. Понтрягина. Общеизвестная неустойчивость сопряженной системы [9] часто усугубляется неунимодальностью функциональной зависимости невязки на правом конце траектории от искомых начальных значений сопряженных переменных [25], что часто приводит к остановке процесса минимизации в одном из локальных минимумов. Даже в случае успешной минимизации невязки до приемлемой величины остается проблема неединственности решений краевой задачи: ведь принцип максимума — всего лишь необходимое условие оптимальности! В качестве примера ниже приведены несколько решений одной и той же задачи о переводе КА с вытянутой эллиптической орбиты на геостационарную. Они обеспечивают весьма высокую точность выполнения заданных конечных условий, но отличаются значением минимизируемого функционала.
Основная идея предложенного в настоящей работе способа преодоления указанных выше трудностей состоит в отказе от поиска строго оптимальных решений и переходе к построению квазиоптимальных траекторий выполнения маневров. Соответствующее квазиоптимальное управление предложено вычислять по формулам, полученным по принципу максимума, с заменой сопряженных переменных, входящих в эти формулы, сопряженными переменными, полученными при решении рассматриваемой задачи методом усреднения. Составленные таким образом точные уравнения квазиоптимального движения интегрируются затем численно. При таком подходе удовлетворительное выполнение условий на правом конце траектории для практически интересных маневров, выполняемых КА с двигателем регулируемой по величине тяги, часто удается получить уже при однократном решении задачи Ко-ши для системы уравнений квазиоптимального движения. Если же КА оснащен двигателем постоянной тяги, начальные значения усредненных сопряженных переменных являются первым приближением, позволяющим выполнить минимизацию невязки квазиоптимального решения до
удовлетворительных значений, используя для этой цели стандартные процедуры. Предложенный подход, естественно, особенно эффективен при вычислении траекторий маневров, для которых получены аналитические решения усредненной задачи.
Проблема оценки близости предложенных квазиоптимальных траекторий к оптимальным исследована в настоящей работе путем сравнения численных решений соответствующих задач с усредненными. Рассмотрены переходы с эллиптических и круговых орбит на геостационарную с поворотом плоскости орбиты. Для этого маневра аналитические решения соответствующих двухточечных краевых задач для усредненных уравнений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, единственны и, потому, могут считаться оптимальными. С высокой степенью точности подтверждена обратная пропорциональность значения функционала задачи о движении с регулируемым двигателем — величины интеграла от квадрата реактивного ускорения — заданному времени выполнения маневра, предсказанная усредненной теорией, а также независимость характеристической скорости оптимального межорбитального перехода с регулируемым двигателем от продолжительности маневра. Исследована зависимость характера переходной орбиты от изменения наклонения в классической задаче о повороте плоскости орбиты.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается движение центра масс космического аппарата. Основной задачей механики космического полета считаем, следуя монографии [27], задачу определения траектории перехода, управления двигательной системой и распределения заданной начальной массы аппарата М0 между массой полезной нагрузки Мп, массой двигательной системы Му и массой начального запаса рабочего тела для движителя Мц0, обеспечивающих выполнение предписанного маневра с максимальным значением Мп. Концепция идеально регулируемого двигателя предполагает отсутствие ограничений на величину тяги движителя и пропорциональность массы Му двигательной системы величине максимальной мощности И0 бортового источника электрической энергии: М„ = vN0. В этом случае основная задача сводится к определению управления величиной и направлением реактивного ускорения w, отвечаю-
щих выполнению граничных условии маневра с минимальным значением функционала:
J = i Jw \t)dt,
(1)
[4, 17, 18], преобразуются следующим образом. Компоненты реактивного ускорения записываются в виде
wk = Wo exp(ax)eb
(3)
где T — заданная продолжительность маневра. Оптимальные значения компонентов начальной массы M0 вычисляются по формулам, приведенным в гл. 4 монографии [27]. Решение задачи в такой постановке дает оценку максимально возможного значения Мп при использовании электрического ракетного двигателя с заданным значением v удельной массы бортового источника мощности.
Нерегулируемым считается двигатель, величина тяги которого P0 и скорость реактивной струи V0 постоянны. Управление полетом осуществляется включением—выключением двигателя и изменением направления тяги. Ниже рассматривается задача выполнения маневра за минимальное время T , позволяющая получить нижнюю оценку Мп для движителя с заданными значениями тяги P0, скорости истечения V0, и начального реактивного ускорения w0 = Р0/ М0.
Уравнения движения центра масс КА в ньютоновском центральном гравитационном поле могут быть записаны в виде
dXj/dt = exp(х)Fjkwk (j = 1,5, k = 1,3), (2) dF¡dt = F60 + exp(x)F6kWk. Здесь Xj — компоненты вектора орбитальных элементов: x1 = х = ln V a(1 - e2) — натуральный логарифм углового момента (a — большая полуось, e — эксцентриситет оскулирующей орбиты), x2 = h = e sin (ю + Q), x3 = k = e cos (ю + Q),
x4 = p = tg (112) sin Q, x5 = q = tg (I/ 2) co
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.