Цена 18 дуб. Переплет 1 р-
Н.Н. Завалишин
(П.4)
(становке коэффициентов (3.3)
1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
2005 год, том 17, номер 1, стр.65-78
ЧИСЛЕННЫИ АНАЛИЗ ДВИЖУЩИХСЯ СОЛИТОНОВ В НЕЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ ШРЕДИНГЕРА С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАКАЧКОЙ И ДИССИПАЦИЕЙ
© Е. В. Земляная, И. В. Барашенков
Объединенный Институт Ядерных Исследований, Дубна 141980, Россия E-mail: elena@jinr.ru
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 03-01-00657), национального научного фонда ЮАР (грант 2053723) и комиссии научных сообществ Кейптаунского университета.
Dgical modeling, 1997, v.99, p.7-17. тем по заданной диаграмме "запа-Г.
using a power-law approximation //
g in Scots pine // Ecological Model-
i study of magnesium flow in a tropi-
углеродного цикла в экосистеме N»4, с.3-18.
руговорота химических веществ в ование экосистем южной тайги", -
ш Т.Е. Conceptual and mathematical tten et al. (eds.), Wetlands and Shal-, The Hague, The Netherlands, 1994. jhic bog ecosystem. I.Linear analysis
trophic bog ecosystem. II. Dynamic , p.259-276.
) бассейна «Таежный Лог» (Новго-систем южной тайги", ред. Базиле-
сибирск, Наука, 1981. |>ференциальных уравнений. "R&C
ских режимов. // В сб. "Математи-
ия. -М; Наука, 1987.
dynamical systems // Tutorial. Ecole
>98).
m динамики. -M.; Наука, 2000. иложения. -М.; Мир, 1980.
Поступила в редакцию 20.11.03
Показано, что при наличии параметрической накачки два и более диссипативных солитона могут образовать комплекс, движущийся с нулевым импульсом, но с ненулевой постоянной скоростью. Представлена схема численного продолжения таких решений по параметру.
NUMERICAL STUDY OF THE TRAVELLING SOLITONS
IN PARAMETRIC ALLY DRIVEN, DAMPED NONLINEAR SHCR6DINGER EQUATION
E. V. Zemlyanaya, I. V. Barashenkov
Joint Institute for Nuclear Research, Dubna 141980, Russia
We show that two or more solitons of parametrically driven, damped nonlinear Schrodinger equation can form a complex travelling with zero momentum at a nonzero constant speed. The continuation scheme for numerical analyzes of the travelling damped solitons is presented.
1. Введение
Амплитуда квазимонохроматической волны, распространяющейся в нелинейной дисперсионной среде, удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера. Нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью самофокусирующего типа имеет вид
гФ( + Фи + 2|Ф|2Ф = -¿7Ф; 7 > 0.
(1)
Член —¿7Ф в правой части уравнения учитывает диссипативные потери, которые предполагаются малыми в моделях, описываемых непосредственно уравнением (1). В физических системах возникновение и поддержание недиссипирующих структур обеспечивается за счет подкачки энергии извне; последняя моделируется добавлением еще одного члена к правой части уравнения (1). В настоящей работе мы ограничиваемся случаем параметрической накачки. Во многих приложениях соответствующее амплитудное уравнение имеет вид
№t + Фхх + 2|Ф|2Ф = /гФе2Шг - нФ.
(2)
Черта над Ф в правой части (2) означает комплексное сопряжение; 7 - коэффициент диссипации, к и П - амплитуда и частота накачки. Уравнение (2) описывает нелинейный фара-деевский резонанс в вертикально осциллирующем канале с водой [1-10]; фазовое усиление солитонов в оптических волокнах [11-14]; волны намагничивания в ферромагнетиках под действием комбинации статического и СВЧ поля [15[; амплитуды синхронизованных колебаний в вертикально раскачиваемых цепочках маятников [16-20] и т.д.
Уравнение (2) имеет солитонные решения [1,2,15] - как устойчивые, так и неустойчивые, которые могут образовывать (устойчивые и неустойчивые) солитонные комплексы [21-25]. В случае ненулевой диссипации все локализованные решения, обнаруженные до сих пор, не имели зависимости йт времени. Что же касается движущихся солитонов, как
3 Математическое моделирование, №1
Цена 18 цуб. Переплет 1 р.
66 Е.В. Земляная, И. В. Барашенков
устойчивых, так и неустойчивых, их удавалось получить только при отсутствии диссипации [26]. Более того, до недавнего времени считалось, что солитоны принципиально не могут двигаться при наличии диссипации. Этот вывод опирался на теорию возмущений, которая предсказывала замедление и остановку солитонов, первоначально двигавшихся с ненулевой скоростью [2,27-31].
Тем не менее, как было показано в самое последнее время [32], движущиеся солитон-ные решения нелинейного уравнения Шредингера с параметрической накачкой и ненулевой диссипацией существуют при определенных значениях параметров. В [32] сформулированы условия, при которых такие решения могут возникать, и представлены соответствующие численные результаты.
Основная трудность численного получения таких решений состоит в том, что каждому значению коэффициента диссипации соответствует строго определенное, заранее неизвестное значение скорости солитона. В результате, схема продолжения по параметру, изложенная в [33] и использовавшаяся для исследования как неподвижных диссипативных солитонов [25], так и движущихся солитонов при нулевой диссипации [26], оказывается неприменимой и требует модификации. В настоящей статье дано описание такой модифицированной схемы, и представлены полученные с ее помощью результаты.
Работа построена следующим образом. В разделе 2 формулируется постановка задачи. В разделе 3 обсуждаются бифуркации, при которых (а) неподвижные диссипативные солитоны (V — 0, 7 ф 0) могут быть продолжены в область V ф 0, и (б) недиссипативные движущиеся волны (7 = 0, V ф 0) могут быть продолжены в область 7 ф 0. В разделе 4 представлена схема продолжения по параметру и обсуждаются результаты численного исследования.
2. Постановка задачи
Полагая частоту накачки П равной единице и производя замену Ф(ж, I) = ег1ф{х,Ь), приведем уравнение (2) к автономному виду
гфг + Фхх + 2\ф\2ф - ф = кф- ¿7ф.
(3)
В настоящей работе мы ограничиваемся рассмотрением солитонов, движущихся с постоянной скоростью, т.е.
ф(х,Ь) = ф{х-УЬ)=ф{^),
(4)
где ф(£) —» 0 при |£| -+ оо. Такие решения удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению
—гУф^ -(- фц -(- — ф = Нф — ¿7ф,
(5)
в котором скорость V играет роль внешнего параметра.
Принципиальное значение имеет устойчивость решений к малым возмущениям. Линеаризуя уравнение (3) в движущейся системе координат и предполагая, что линейное возмущение зависит от времени экспоненциально:
мы получаем задачу на собственные значения
ПоУ = (А + 7Уу, где оператор имеет вид
Ип ~
+ 1 + Л - 6и2 - IV2 Уд^ — Аиу
- 4иу
-д\ + 1 - к - 6у2 - 2и2
(6)
(7)
(8)
а векторных знач Пр
шем излс бы, если ляемый I
Р
и энерги Е
Отметик Р
в то вре Ё
3. Биф 3.
условие Два ра: извести
Эти двг будем с
между
сущест]
условш
четных
равен«
1
где инт
1Все
1емляная, И. В. Барашенков
и отсутствии диссипации принципиально не могут |ию возмущений, которая двигавшихся с ненулевой
52], движущиеся солитон-кой накачкой и ненулевой в. В [32] сформулированы гавлены соответствующие
состоит в том, что каждо-ределенное, заранее неиз-пжения по параметру, из-одвижных диссипативных сипации [26], оказывается о описание такой модифи-хзультаты.
лируется постановка зада-одвижные диссипативные 0, и (б) недиссипативные , область 7 ф 0. В разделе гея результаты численного
замену Ф(ж,г) =
(3)
ив, движущихся с постоян-
(4)
ловенному дифференциаль-
(5)
к малым возмущениям. Ли-едполагая, что линейное воз-
ИУ
„2 I '
(6)
(7)
Численный анализ движущихся солитонов в нелинейном уравнении Шредингера ...
кососимметричная матрица 3 определяется как О -1
67
3 =
1
О
а вектор-столбец = ((5и, 6у)т. Критерием устойчивости является отсутствие собственных значений Л с положительной вещественной частью.
Приведем также характеристики решения, которые будут использоваться в дальнейшем изложении. Это интегралы уравнения (2), или, точнее, величины, которые сохранялись бы, если бы не было диссипации. При 7 = 0 в уравнении (2) сохраняется импульс, определяемый выражением
^ ^ —ос
Ф ~ ФхФ^Х,
(9)
Р
и энергия
/оо
Ш2 + М*-\Ф\* + ^Кеф2)с1х. (10)
-оо
Отметим, что в диссипативном случае (7 ф 0) импульс затухает экспоненциально
Р = -2 7Р, (11)
в то время как изменение энергии происходит по закону
£ = 27 ^у \ф\Ых - Е^ . (12)
3. Бифуркации движущихся диссипативных солитонов
3.1. Продолжение диссипативных решений в У ф 0. Рассмотрим сначала условие продолжения стационарных решений с ненулевым значением 7 в область Уф 0. Два различных по амплитуде и фазе односолитонных решения, обозначаемые ф+ и ф^, известны в явном виде
ф±{х) = е гв± А± БеД {А±х),
(13)
Л± = ^ 1±у/Л2-72,
1 7
9+ = - агевт -г,
2—=
Эти два солитона могут образовывать множество стационарных комплексов, которые мы
будем символически обозначать ф(++), »/'(--), Ф(-\___|-), Ф(__|__) и т.д. [25]. (Здесь, например,
- связанное состояние двух ф+>-солитонов и одного солитона ф-, расположенного между ними.) Предположим, фо(х) = щ + гзд - один из таких солитонных комплексов, существующий при значениях параметров ко и 70. В [32] сформулировано необходимое условие, при выполнении которого решение может быть продолжено в область Уф 0. Для четных функций1 необходимое условие продолжения в У ф 0 из [32] сводится к выполнению равенства ,
т = о,
где интеграл 1(к)
г+оо
/+оо
{уу'0 - гии'0) йх
-оо
1Все решения, найденные в [25], являются четными функциями.
(14)
Цена 18 |>уб. Перейдет 1 р.
68 Е.В. Земляная, И.В. Барашенков
х|/(+++)
^ V,—, (2)
- -
(1)\ - --- (3) у=0.565
Рис. 1. Фрагмент бифуркационной диаграммы для стационарных многосолитонных комплексов из [251 - Представлена зависимость энергии (10) от параметра Л при фиксированном 7. Нижняя
ветвь соответствует симметричным двухсолитонным комплексам >/>(++) и __) и трехсолитонно-
му решению 1/>(__|__). Верхняя ветка включает решения 1/>(+++) и 1/>(___а также пятисолитон-
ный комплекс 1р(__|___|__). Сплошной линией нанесены устойчивые решения, штриховой линией -
неустойчивые. Черные точки изображают точки бифуркации, где интеграл (14) обращается в нуль и, следовательно, могут возникать движущиеся солитоны.
есть непрерывная функция от h\ штрихами над щ и v
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.