ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 1, с. 15-29
УДК 66.096.5:662.61
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ В РЕАКТОРЕ ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ С КИПЯЩИМ СЛОЕМ © 2014 г. В. И. Ковенский
kvico@tut.by Поступила в редакцию 02.08.2012 г.
Рассмотрена проблема численного определения параметров твердой фазы (массы, фракционного состава, потоков уноса, осаждения и слива) стационарного идеально перемешанного кипящего слоя реагирующих частиц в непрерывно действующем проточном либо непроточном реакторе, а также двух реакторах, соединенных перетоками. Предложена система уравнений, позволяющая решить данную задачу при произвольном распределении частиц по размерам в потоке подачи и любой зависимости скорости сжатия либо роста частиц от их диаметра. Получены выражения для расчета массы дисперсного материала и его фракционного состава на стадии индукции. Рассмотрена методика расчета параметров ансамбля частиц в самосогласованном реакторе. Изучены частные случаи — проточный реактор, непроточный реактор, система из двух соединенных перетоками реакторов — для различных зависимостей скорости трансформации частиц от их размера и произвольном фракционном составе потока подачи.
Б01: 10.7868/80040357114010047
ВВЕДЕНИЕ
Приближение идеального перемешивания довольно широко применяется в математическом моделировании различных химических, прежде всего каталитических, процессов [1—6]. Его использование при расчетах аппаратов с кипящим слоем обусловлено высокой степенью соответствия этой гипотезы характерным свойствам данной дисперсной среды — однородности пространственного распределения температуры и концентрации твердой фазы — достигаемым при ее интенсивном перемешивании [7, 8].
В работе [9] была рассмотрена проблема определения параметров стационарного идеально перемешанного кипящего слоя реагирующих частиц. В рамках развитого подхода классифицированы выходящие из слоя потоки дисперсного материала в соответствии с механизмом их формирования (унос, осаждение и слив) и определено различие между проточными и непроточными реакторами (наличие либо отсутствие потока слива соответственно). Для непроточного реактора получены аналитические решения в ряде частных случаев. При этом скорость роста либо сжатия частиц задавалась в виде степенной функции от их радиуса, а фракционный состав подаваемого дисперсного материала характеризовался одним из следующих трех распределений — 8-функцией (монодисперсная подача), равномерным либо кубическим распределением. Более сложные зависимости, как для скорости трансформации частиц, так и для фракционного состава перерабаты-
ваемого сырья, не позволяют получить решение задачи в замкнутой форме. В подобных случаях необходимо использование численных методов. В связи с этим целью настоящей работы является формулировка проблемы определения параметров ансамбля частиц в реакторе идеального смешения с кипящим слоем в виде, допускающем ее численное решение, а также расчет характеристик твердой фазы для ряда конкретных примеров проточных и непроточных реакторов и их систем.
ПЕРЕХОД К БЕЗРАЗМЕРНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ
При численном решении задачи целесообразно использовать безразмерные переменные. Если в потоке подачи диапазон размеров частиц задан
^ гь >0тах ^ гм, то
Я
(1)
отрезком [Г)тт, Г)тах] , причем Г)тт
их безразмерный радиус будет
[>о/^тах, V(г) < 0
1>о/Г0тт, V(г) > 0 Здесь V (г) <0 соответствует случаю сжатия ча стиц, а V (г) > 0 — случаю роста. Безразмерный ра диус частиц в слое записывается аналогично:
[Г/Чтах, V(г) < 0 [гАотт, V(г) > 0 Как видно, безразмерные радиусы Я и Я0 различаются лишь областями определения (для сжимающихся частиц Я е [ДшпЛ], Я) е [ЯэттЛ],
Я =
(2)
Д)ш1п > ЯШп, а для растущих - йе [1, Лтах ], Я0 е
е [1, Яошах]), Яошах < Яшах- Эт0 позволяет в некоторых случаях использовать Я вместо Я0. При этом функции, зависящие от Я0, должны быть доопределены на отрезках [я^п, ^п] либо [Яошах, Яшах] для сжимающихся и растущих частиц соответственно.
Непрерывное либо кусочно-непрерывное распределение по размерам подаваемого дисперсного материала при переходе к безразмерному радиусу трансформируется в соответствии с правилом преобразования для функции случайного аргумента [10] следующим образом:
Ро (Я)
Г)0шахРо Оо) , V (г) < 0 ГошпРо (Г)), V(Г) > 0'
(3)
Аналогично записывается функция распределения по размерам для частиц в слое:
Р (Я) =
Гошах Р ( Г) , V ( Г) < о ГоштР (Г) v (Г) > о'
(4)
Скорость изменения размера частиц V (г) характеризует протекающий в реакторе процесс и считается известной. При переходе к безразмерным переменным
V (Я) = f (Я) =
1
-V (г ), ■V (г ),
V (г) < о V(г) > о
(5)
гошт
¥(Я)=р(Я Я ) яо =
]У(Я, Яо)Ро (Яо)Яо
|Ро (Яо ^Я
Я
Я
]У(Я, Яо)Ро (Яо
-, V(г)<о
(6)
|Ро (Яо )dЯоо
-, v(г)>о
Кинетическое уравнение относительно функции распределения частиц по размерам в идеаль-
но перемешанном кипящем слое после перехода к безразмерным переменным принимает вид
^ -/4Я1 - ± [Р (Я)У (Я)] +
то то dR
+ Я Р (Я)Г (Я) = 0, а уравнение баланса массовых потоков —
1 - / - /1 - /2 + * = о,
где
/1 = /1 (То, Р (Яш )) = 1 = 1о
Го, V (г) < о
[ТР(ЯШ)р(Яш), V(г)> о безразмерный поток осаждения;
/2 = /2 (о, Р (Я ))= I2 =
1 —
\-хо¥(Я)Р(Я), v(г) < о [о, v (г) > о безразмерный поток уноса;
* = * (то) = 1 =
рЯЖ dя, V (Г) < о
(7)
(8)
(9)
(10)
= Зт
о'
(11)
ш Р(Я)Р(Я)dЯ, V(Г) > о
Быстрота трансформации частиц может зависеть не только от текущего, но и от начального размера частиц, т.е. V = У(Я, Я0). В этом случае У(К) определяется как среднее по неполному начальному распределению:
безразмерный сток либо источник массы для сжимающихся и растущих частиц соответственно.
НЕПРОТОЧНЫЙ РЕАКТОР
В непроточном реакторе (рис. 1а) отсутствует поток слива (/ = 0). Для численного определения параметров ансамбля реагирующих частиц используется система, образованная уравнением баланса массовых потоков (8) и условием нормировки функции распределения р(Я).
Для сжимающихся частиц (^Я) < 0, /1 = 0) имеем
/2 - * = 1, (12)
| Р (Я )dR = 1'
(13)
А
Для растущих частиц (^й) > 0, / = 0) имеем
/1 - * = 1, (14)
| р(Я^Я
= 1.
(15)
1
Я
Рис. 1. Схемы реакторов: (а) — непроточный реактор; (б) — проточный реактор; (в) — самосогласованный реактор.
Функция р(Я) находится из решения задачи Ко-ши для кинетического уравнения (7), которое после преобразований принимает вид
dJJR=* R)
3_ R
1 JV (R)
Po (R) ToV (R)'
(16)
V (R) JR
Начальное условие (независимо от характера трансформации частиц) имеет вид
P (R) r=i = Pi' (17)
В качестве неизвестных, определяемых из решения системы (12), (13) либо (14), (15) совместно с задачей (16), (17), выступают параметры Т0 и px. Система решается методом минимизации [11]. В качестве начального приближения используются значения ТО и pi, определяемые из аналитического решения. Такое решение может быть получено для степенной аппроксимации kRa функции V(R) и одного (наиболее близкого к заданному в потоке подачи) из трех распределений — S-функ-ции (монодисперсная подача) [9], равномерного либо кубического (табл. 1, 2). В частности, равномерное распределение следующим образом определяется через параметры R0 и а исходной функции Po(R):
Poh (R) = R-LR-(min < R < Rh max), (18)
-"h max -**-h min
где Rh min = Ro - tf Д Rh max = R + ^
Рассмотрим решение задачи об определении параметров ансамбля сжимающихся частиц. Скорость трансформации задается функцией, представленной на рис. 2 (кривые 1—4), а распределение по размерам в потоке подачи p0(R) — кривой 1 на рис. 3.
Как видно (рис. 2), для рассматриваемого процесса характерен период индукции — этап предварительной подготовки без изменения размера
частиц [12]. Следует отметить, что после усреднения по начальному распределению функция (¥(Я)) = (¥{Я, Я0^| я сохраняет информацию о периоде индукции только для самых крупных из подаваемых частиц (рис. 2, кривая 5).
Находящийся на этой стадии дисперсный материал образует ансамбль частиц постоянного размера и его следует рассматривать как идеально перемешанную подсистему отдельно от основной массы частиц переменного размера. При этом схема подачи усложняется — твердая фаза из внешнего потока попадает в подсистему предварительной подготовки и далее, уже как поток слива из этой подсистемы, поступает в основной
V
10-
10
10
-10
14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
R
Рис. 2. Зависимость скорости сжатия частицы от ее безразмерного радиуса: 1 — Я0 = 1, 2 — 0.78, 3 — 0.39,
4 — 0.095, 5 — V (Я)) > 6 — степенная аппроксимация к1Яа функции V (Я)). Штрихпунктирные участки кривых 1—4 соответствуют периоду индукции.
Таблица 1. Параметры идеально перемешанного кипящего слоя сжимающихся частиц
Параметр
Начальное распределение
равномерное
кубическое
U (R - ^Qmin) r0max (1 - RQmin)
4R U (R - R0m
r0max ( R0min)
4 - a
(l - Rt4-a)
1 - R
-0 min
rmax 2kT0R0min (1 - R0min) (4 - a)
1 R 2-a 1 R0min
2kT0 (1 - R0min )(2 - a)
4 - a
R3-" -
(1 - Rt4-a)
rmax k T0 (1 —
( — R0min )
U (R - R0min) /p3-a p2 p1-a\ (a * 2)
(R - R0minR j, (a * 4)
2kT0R0 min (1 - R0min )
(1 - R?)
_L - 'n ((R0 min) ,
_rmax 2kT0 (1 - R0 min )
2
R?-a —
1 - R
0 min
4kT0R02min (1 - R0min )_ U (R - R0min)
2k T0R0 min (1 - R0 min )
R
R - Romjn |, (a = 2)
( — R0minj R0min ( — R0minj
(5 — a) (4—0)
\
4U (R — R0min) (r 4- a R R3-a ) (a * 4)
-T-4-Г R _R0minR h / ^
kX0 (( R^min ) ; (a * 5)
1 + 4 (1 - Rpmin - R0min'n ((R0min)
R
'n (1/ Rt)
r0max k T0 (1 - R0 min )
4U (R _ R0min) ( _ Romin |, (a = 4)
-'n (1/ Rt)
1 + -
r0max 'П (V R 0min) 2kT0R0 min (1 - R0 min (1 - R02min )
kT0 ( _ R0 min j
R
Rt
4kT0R02min (1 - R0m
U (R - Rq min )
1 + 4 ('n (R0min ) - 1 + R0min)
r0m
(1 - Rt)
4U (R - R0min) ) 1 R0min
2kT0R(2min (1 - R0r
ff 2 ^ R R3
kT0 (1 - Rq min ))R R
kT0 ( - R0min )
, (a = 5)
R2
, (a = 4)
F0r0max (1 -
(1 - Rt4-a)
1 + 1 + R0min 2R0 min -
4F0r0max (1 - Rf " )
(4 - a)k 2 - a - Rq min (4 - a) + 2RQ
2R0min
(4 - a)k
R0min (1 RQmin) (1 _ RQmin)
4-а шт
2R0 min (1 - R0min) (2 - a) ( - Rt " )
(a * 2)
' (a * 4)
R0min (1_ R0min) (4 - a)(1_ ^müi)
F/W (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.