КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2007, том 52, № 6, с. 1085-1091
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
УДК 548.12
ЧИСЛОВОМ ОБЗОР ПОЛНОГО ВЫВОДА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП МАГНИТНОЙ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
© 2007 г. А. Ф. Палистрант
Молдавский государственный университет, Кишинев E-mail: mepalistrant@yandex.ru Поступила в редакцию 08.06.2006 г.
Дано решение задачи, поставленной еще в начале 70-х гг. прошлого столетия, по нахождению так называемых пространственных групп магнитной симметрии с кристаллографическими углами поворота вектора спина. Выявлены те Р-симметрии, с которыми необходимо обобщить трехмерные пространственные федоровские группы G3. Группы G3 обобщены с каждой из них.
PACS: 61.50.Ah
ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Начатая в [1] и продолженная в [2, 3] задача вывода пространственных групп магнитной симметрии с кристаллографическими углами поворота вектора спина, порождаемых 230 группами симметрии G3, поставленная еще в 1963 г. в [4], наконец-то получила свое завершение. Ее полное математическое решение, как выяснилось в [5], оказалось непосредственным образом связанным с решением трудоемкой и громоздкой задачи обобщения пространственных групп симметрии с так называемыми 32 кристаллографическими Асимметриями в геометрической классификации, когда группа Р подстановок качеств, приписанных точкам пространства, изоморфна последовательно каждому из 32 кристаллических классов G30. Именно получаемые при этом новые
группы 01р, изоморфные классическим G3 (младшие согласно [2, 6]), при соответствующем физическом толковании индексов и знаков, приписанных точкам пространства, совпадают, как отмечено в [5], с интересующими нас группами магнитной симметрии кристаллов по [4]. Таким образом, для вывода пространственных групп магнитной симметрии кристаллов нужно использовать методы теории Р-симметрии [2, 6]. Решить эту задачу методами, примененными в [4] при поиске трехмерных точечных групп Ор магнитной симметрии кристаллов, не представляется возможным ввиду того, что для 230 бесконечных пространственных групп с трехмерными подгруппами параллельных переносов всплывает хотя и конечное, но слишком большое количество возможностей добавлять к образующим элементам каждой классической группы симметрии в качестве сомножителей ориентационные элементы групп изменений вектора спина, чтобы полученная при этом новая совокупность элементов удо-
влетворяла определяющим соотношениям взятой классической группы симметрии [4].
НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ТЕОРИИ Р-СИММЕТРИИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
Приведем необходимые для решения нашей задачи понятия и факты из теории Р-симметрии, подробно изложенной в [2, 6].
Припишем каждой точке фигуры хотя бы один индекс 1 = 1, 2,..., р и зафиксируем некоторую группу Р подстановок этих индексов. Преобразованием Р-симметрии рассматриваемой фигуры с расставленными в ее точках индексами называем ее изометрическое преобразование, переводящее каждую точку с индексом 1 в точку с индексом к, так,
/ \
« 12 ••• Р
чтобы подстановка индексов £ = Г
V к 1 к2 ••• кр у
принадлежала отмеченной группе Р. Совокупность всех преобразований Р-симметрии взятой фигуры составляет группу G. Такие преобразования разлагаются на преобразования симметрии 5 из группы £ отмеченной фигуры и подстановки качеств £ из группы Р. Множество преобразований симметрии 5, входящих в преобразования Р-сим-метрии группы G, составляют ее порождающую группу £, а подстановки качеств £ - группу Р1. При Р1 = Р называем G группой полной Р-симметрии, а при е с Р1 с Р - неполной (тогда ее можно считать группой Ргсимметрии).
Если G-группа полной Р-симметрии, то Н = G п п £ - ее подгруппа симметрии, а Q = G п Р - подгруппа подстановок индексов. Группу G называем старшей при Q = Р (тогда Н = £, а G = £ х Р), младшей при Q = е (тогда G изоморфна £) и Q-средней при е с Q с Р. Всякую группу G полной Р-симмет-рии можно вывести из ее порождающей £ путем
разыскания в S и P таких нормальных делителей H и Q, для которых существует изоморфизм фактор-группы S/H на P/Q, попарным перемножением соответствующих по изоморфизму смежных классов и объединением полученных произведений. Для младшей группы G, где P/Q совпадает с P, разыскивается гомоморфизм групп S на P (т.е. представленные группы S подстановками), и на каждую подстановку из P умножается ее полный прообраз в S. Практически младшие группы P-симметрии, которые и будут интересовать нас в этой статье, можно получить из классических групп G3 методом Шубникова-Заморзаева: в конечной системе образующих элементов каждой такой группы ее преобразования симметрии заменяются на соответствующие элементы P-сим-метрии, связанные с группой P, задающей рассматриваемую P-симметрию; во множестве новых групп, полученных этим методом из каждой группы G3, необходимо найти одинаковые, устранить лишние (не являющиеся младшими) и доказать различие остальных. Но при непосредственном выполнении первой части задачи возникает много лишних вариантов, отбрасываемых во второй части [2, 6, 7]. Поэтому задача вывода пространственных групп уже известных частных случаев P-симметрии расчленялась на более простые: а) вывод всевозможных младших точечных групп P-симметрии из 32 порождающих; б) решение такой же задачи с взятой P-симметрией для каждой из 14 подгрупп переносов; в) решение основной задачи с помощью результатов а) и б) [2, 6, 7].
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ Р-СИММЕТРИИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ИСКОМЫЕ ГРУППЫ
Выпишем интересующие нас кристаллографические Р-симметрии, по которым должны распределяться искомые пространственные группы магнитной симметрии кристаллов. Для этого снова вернемся к [4]. Выделив из точечных групп магнитной симметрии кристаллов, приведенных в этой работе, различные группы изменений вектора спина, можно убедиться, что таких групп ровно 32: 11 групп с ориентационными элементами и, V, w, и3, и4 и т.п.; 11 групп с теми же ориентационными элементами и операцией инверсии времени Я в качестве самостоятельного элемента; 10 групп, где ориентационные элементы и, V, w, и3, и4 и т.п. скомбинированы с операцией Я, не являющейся самостоятельным элементом. Отсюда следует, что при выводе 598 трехмерных точечных групп магнитной симметрии кристаллов (32 классических плюс 566 "цветных") в [4] неявно различались 32 Р-симметрии. Но это означает, что классификация ориентационных групп изменений
спина сходна с классификацией трехмерных точечных групп симметрии.
Для обозначения этих Р-симметрий авторы [5] воспользовались результатами [8], в которой среди 32 точечных групп симметрии различались 11 осевых, 11 центральных и 10 планальных. Если 11 осевых групп обобщить с понятием антисимметрии [7, 9], то получим 11 порождающих (1, 2, 3, 4, 6, 22, 32, 42, 62, 23, 43), реализующих 11 поворотных групп изменений спина, 11 старших (1, 21, 31, 41, 61, 221, 321, 421, 621, 231, 431), являющихся реализацией 11 групп изменений спина, в которых элемент Я изображается антитождественным преобразованием 1, и 10 младших (2, 4, 6, 22, 32, 42, 42, 62, 62, 43), реализующих 10 оставшихся групп изменений спина, а всего - 32 осевые группы симметрии и антисимметрии, интерпретирующие 32 кристаллических класса G30, если входящее в них антитождественное преобразование 1 истолковать как инверсию [5].
Таким образом, обобщение 230 федоровских групп G3 с указанными 32 Р-симметриями в геометрической классификации позволит целиком описать пространственные группы магнитной симметрии с кристаллографическими углами поворота вектора спина. Освещение такого описания с использованием полученных ранее результатов по выводу пространственных групп конкретных Р-симметрий и составляет главную задачу настоящей статьи.
ЧАСТИЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Приступим теперь к решению поставленной задачи, т.е. к числовому обзору полного вывода пространственных групп магнитной симметрии кристаллов. Для этого нужно указать количество младших групп, порождаемых пространственными группами G3 при их обобщении с каждой из 32 кристаллографических Р-симметрий. Для компактного изложения такого обзора воспользуемся отношением изоморфизма Р-симметрий, разбивающим, как показано в [10], множество нужных нам 32 кристаллографических Р-симметрий на 22 класса. А так как для каждой Р-симметрии из одного класса изоморфных Р-симметрий с общей порождающей выводится одинаковое число младших групп, то для обзора полного вывода интересующих нас пространственных групп упомянутых Р-симметрий достаточно сделать подробное исследование лишь для одной Р-симметрии из каждого класса изоморфности [10].
Итак, при обобщении 230 групп G3 с 1-симмет-рией получаем эти же 230 групп, являющихся порождающими группами при обобщении этих групп с любой нетривиальной Р-симметрией, в связи с тем, что 1-симметрия является классической симметрией. Все эти 230 групп подробно
прокоментированы в [11], гл. II п. 8, и полностью выписаны в таблице П1 [7] в трех символиках: федоровской, заморзаевской, отражающей полную систему образующих элементов рассматриваемых групп, и интернациональной.
При 1-, 2- и 2-симметрии категория G3 порождает по 1191 младшей группе, ибо 1-симметрия, как отмечено в [5], является антисимметрией, а 1-, 2- и 2-симметрии изоморфны (всего 1191 х 3 = = 3573 группы).
В таблице П2 [7] приведено сравнение младших пространственных групп 1-симметрии (шуб-никовских), впервые полученных в [12] в заморзаевской символике, с этими же группами в интернациональной символике, полученными в [13], и с этими же группами в двучленных символах, опубликованных в [14], тоже в интернациональных обозначениях.
Дополнительный материал, описывающий антисимметрию (двуцветную симметрию) и ее обобщение в виде многоцветной симметрии с красочным иллюстративным изображением приводимых понятий, содержится в [11, 15, 16].
Пространственные группы р-цветной симметрии [6, 15] (р = 3, 4, 6), впервые полученные в [17] в заморзаевской символике, а затем и в интернациональной символике [18], полностью выписаны в таблице П2 [6] в заморзаевской и двучленной символиках с использованием интернациональных обозначений групп, фигурирующих в представлен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.